来源：广发证券张超的研究报告
一、传统均线交叉策略
（一）传统均线交叉策略简介
移动平均线（MovingAverage，简称MA）是技术分析中的常用工具。移动平均线作为一类非常简单的数学模型，被广泛用于股票、期货、外汇等金融市场的分析中，可谓简单、有效、应用广。另一方面，许多其他的技术指标，也建立在移动平均线的基础上。因此，移动平均线在技术分析领域占有重要地位。我们先对移动平均的定义做一个准确的数学描述。设某证券的收盘价为Pt，该证券k个时间单位的移动平均为Mt(k)，则有
基于移动平均的交易策略非常多，本篇报告主要研究均线交叉策略。当快速均线（k值较小）上穿慢速均线（k值较大）时，均线交叉策略发出做多信号，此时的均线形态一般称为“金叉”；当快速均线（k值较小）下穿慢速均线（k值较大）时，均线交叉策略发出做空信号，此时的均线形态一般称为“死叉”。同样地，我们通过公式对该策略做一个准确的数学描述。当两条均线交叉时，设St+τ(k1,k2)为信号变量，k1、k2分别为使用的均线周期，则有
其中，τ=0,1,2……且k1<k2，St+τ(k1,k2))=1时为做多信号，St+τ(k1,k2)=0时为做空信号。在均线交叉策略中，常用的均线周期（即k值）有5、10、20、30、60、120、240等。
（二）传统均线交叉策略表现
传统的均线交叉策略表现如何呢？我们对其进行了回测。回测数据选取2010年4月16日到2015年4月7日的沪深300股指期货连续合约10分钟收盘价。策略考虑0.0002的双边交易成本，累积收益率采用复利计算。我们对常见的均线周期5、10、20、30、60、120、240两两组合，均进行测试。测试结果如表1及图1所示。可以看到，传统的均线策略并非对所有的均线组合都有效，接近一半的组合呈现出负的收益率。这样的回测结果体现了传统均线交叉策略的不稳定性。当市场风格发生转变时，有可能使策略从有效变为无效，从而造成投资者的损失。
二、改进的均线交叉策略
（一）策略介绍
介绍策略之前，我们先介绍一下凸组合。策略的基本思想将根据凸组合提出。设实向量空间中的一组有限数据点x1，x2，……，xn，，则定义x为这些数据点的一个凸组合，如果x满足
其中实数αi（i=1,2,……,n）满足αi>0且α1+α2+……+αn=1。根据定义，凸组合可以看成是数据组的一个“期望”。
提出的改进均线交叉策略，主要是改变传统策略的平仓条件。开仓条件仍由传统的金叉、死叉确定，平仓条件则是由开仓价格与当前价格来确定。若当前价格不小于开仓价与当前价的凸组合，则继续持有多单，无需平仓；若当前价格不大于开仓价与当前价的凸组合，则继续持有空单，无需平仓。
同样地，我们使用数学语言对策略的开平仓条件进行描述。策略的开仓条件与传统策略相同，即金叉开多单，死叉开空单。如报告第一部分所述，传统策略的开平仓信号为St(k1,k2)，t为信号发出的时刻。设开仓时间为ti，开仓价格为Pti，当前价格为Pti+τ，其中τ>0。那么，若已持有多单，在任一时间点继续持有多单的概率为P[Sti+τ(k1,k2)=1]，平仓多单的概率为P[Sti+τ(k1,k2)=0]=1-P[Sti+τ(k1,k2)=0]，已持有空单的情况同理。我们将开仓价格Pti与当前价格Pti+τ的凸组合定义为证券价格的“期望”P*ti+τ
非常自然地，我们希望证券的当前价格大于或等于P*ti+τ，才有足够的理由继续持有多单。换句话说，继续持有多单的条件为Pti+τ≥P*ti+τ；同理，继续持有空单的条件为Pti+τ≤P*ti+τ。通过求解上述两个不等式可以知道，在概率无法估计的情况下，继续持有多单的条件为Pti+τ≥Pti，继续持有空单的条件为Pti+τ≤Pti。
非常重要的一点是，在持仓过程中，Pti的值有可能发生改变，否则策略将永远在亏损时平仓。以开多仓的情况为例：均线金叉时开多仓；随后均线死叉时，若仍满足Pti+τ≥Pti，，则继续持仓；随后再次出现金叉，则Pti替换为最新的金叉价Pti2，此后继续持仓的条件则变为Pti+τ≥Pti2。以数学语言描述此过程，有：
其中ti为传统策略中每次发出金叉信号的时刻。对于所有小于等于t的ti，令tL=max(ti)，表示最新的金叉时刻。那么，改进的均线交叉策略的多单平仓信号可以定义为，均线交叉时：
当Ct+τ(k1,k2,tL)=1时继续持有多单,当Ct+τ(k1,k2,tL)=0时平仓多单。对于开空仓的情况同理可得。
总而言之，改进的均线交叉策略主要包括以下几点：
1.开仓信号由传统策略的金叉、死叉决定：金叉开多仓，死叉开空仓；
2.一旦开仓，则平仓信号由上述的Ct+τ(k1,k2,tL)信号决定；
3.当传统策略发出一次开仓信号后，又发出一次平仓信号和一次开仓信号，而在此期间Ct+τ(k1,k2,tL)信号没有发生改变，则平仓条件中Pti的具体值会发生改变；
4.改进策略和传统策略的平仓信号并不同步。
图2的流程图以更直观的方式给出策略的执行步骤。
（三）实证分析
本小节将使用历史数据进行回测，对比传统策略与改进策略的风险收益表现，证明上文的理论分析。
实证使用2010年4月16日至2015年4月7日的沪深300股指期货10分钟行情数据。在实测中，每次交易我们考虑0.02%的双边交易成本，累积收益率的计算采用复利。均线采用MA60和MA120。
图3给出了传统均线交叉策略的累积收益率曲线，可以看到，在MA60和MA120均线下，传统策略亏损。
图4和表2分别给出了改进的均线交叉策略的累积收益率曲线和交易统计数据。根据测算结果，改进的策略显示出了优秀的风险收益情况。虽然策略的胜率较低（13.43%），但平均盈利率高达2.77%，亏盈比的值为9.11。这意味着，策略对于错误的开仓能迅速止损，对于正确的开仓又能最大化利润。
三、不同均线类型下的策略表现
（一）EMA、WMA与LLT
为了研究策略是否对各种类型的均线均适用，这部分将使用指数移动平均线EMA、加权移动平均
线WMA、低延迟趋势线LLT均线进行测算。
图5给出了根据沪深300股指期货日行情数据计算所得的三种均线，其中时间
参数取120天。
（二）测算结果
我们同样使用2010年4月16日至2015年4月7日的沪深300股指期货10分钟行情数据。在实测中，每次交易我们考虑0.02%的双边交易成本，累积收益率的计算采用复利。均线采用MA60和MA120。
图6和表3分别给出了使用WMA时改进的均线交叉策略的累积收益率曲线和交易统计数据。可以看到，使用加权移动平均线WMA时，风险收益情况都有了显著提升。测算区间内累积收益率达203.83%，年化收益率达24.65%，最大回撤-14.15%。图7和图8分别给出了使用EMA均线和使用LLT均线时策略的累积收益率曲线。三者对比可以看到，当均线参数选择为MA60和MA120时，WMA均线有着最好的风险收益表现。
四、不同均线参数下的策略表现
在MA60和MA120参数下，使用WMA均线策略表现最佳。那么，是否在所有的参数下都应当选用WMA均线呢？针对此问题，我们同样做了实证研究。
表4和图9是使用SMA（即简单移动平均线，simplemovingaverage）时，各参数下的策略表现；表5和图10是使用EMA时，各参数下的策略表现；表6和图11是使用WMA时，各参数下的策略表现；表7和图12是使用LLT时，各参数下的策略表现。
从测算结果可以看到，在不同的均线参数下，最优的均线类型不同，这是因为各类均线有不同的延迟性和平滑度。但相比于传统策略（请详见表1和图1），改进策略在大部分情况下都有明显优异的表现。传统策略在不同参数下并不稳定，根据第一部分的测算结果，有接近一半的情况出现负的收益率；改进策略则在89%的参数组合下有正收益。另一方面，改进策略在各种参数、各种均线类型下的累积收益率及最大回撤，较传统策略有显著提升。
五、总结
本篇报告提出了一种改进的均线交叉策略。通过改变传统均线交叉策略的平仓条件，使得风险收益表现显著提升，同时策略的稳定性也有了较大的改善。策略的一大特点在于引入浮动止盈机制，将盈利最大化，因此策略的亏盈比相当高。同时，我们通过随机游走理论，详细阐述了策略的逻辑思想。最后，我们对策略在不同均线参数、不同的均线类型下的表现，进行了全面的研究。实证结果表明，改进的均线交叉策略在大多数情况之下都较传统均线交叉策略有明显的优势。
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