《怎样解题》是美国著名数学家和数学教育家波利亚老师的一部名著，这本书自出版后经久不衰，适合初中以上水平人学习。大家都知道，学习数学离不开解题，市面上各种解题的著作琳琅满目，那么，波利亚老师这部名著与这些书籍相比好在什么地方呢？以笔者的陋见，好处实在是太多，其中，最大的好处有两点：1、提出了解题的一般模式（problem-solving model）；2、波利亚老师的问题不仅仅只是数学问题，而是包括生活工作等领域中更广泛的问题；3、波利亚老师讲授解题是潜移默化培养学生将来发现新知所需要的思维。笔者就第一个益处谈谈个人学习波利亚老师这部名著的一点点心得体会。
1、波利亚解决问题的一般模式（problem-solving model）[1]
波利亚老师将解决问题的一般模式分成四个步骤：
（1）理解问题（understand）
（2）制定方案（plan）
（3）执行方案（solve）
（4）检查结论（check）
数学题目分“求解题”和“证明题”。对于“求解题”而言：
理解问题（understand）包括：
（1）未知量是什么？
（2）已知数据是什么？
（3）条件是什么？
只有脑海里面对这3个问题有明确的区别和思辨，才能说理解了求解题目的意思。
制定方案（plan）：
就是要运用以前获得的知识和经验，通过定义思考、类比、变造（变化基础上的构造）、归纳、普遍化、特殊化等思维手段，产生一个最终能够解决具体问题的好念头（good idea），在此基础上制定一个解决问题的方案，为了将头脑思维有序化，可以思考这样几个问题：
（1）你知道一道与本题有关的题目吗？
（2）观察未知量，并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目。
（3）这里有一道题目和你的题目有关而且以前解过，你能利用它吗？
执行方案就是将制定的方案按照顺序执行一次，对于“求解题”而言就是写出每一个求解步骤。
检查结论包括：
（1）已知数据全部用上了吗？如果有没有用上的已知数据，就要高度警觉制定的方案是否存在漏洞？
（2）符号化。符号化的意思是说把“求解题”的具体数字用数学符号来替代，在此基础上进行如下检查：
（a）量纲检查
（b）变化趋势检验
（c）极限值验证
（d）对称性验证
（3）创造新题。运用如下手段，在原题基础上，创造一些新题出来，从而达到扩展思维的目的。
（a）将已知量和未知量互换
（b）改变已知量或者未知量形式
（c）普遍化
（d）特殊化
（e）类比
（f）将某些定量视为变量
波利亚老师这部名著虽然是以数学问题作为立论，其用意远远超过这一点。波利亚老师眼中的问题不仅仅包括数学问题，而也包括生活和工作中遇到的问题。可以说，波利亚老师这个解决问题的模式，寓意深远。
2、具体实例
下面就用一个具体题目来阐述波利亚老师的解题思想。这个题目来自《怎样解题》一书，本文略为做了一点改动，用意是让读者能更加深入领会波利亚老师的思想。
题目：有一间长方体的教室，长10米、宽5米，高3米，求其对角线长度。
图1 长方体教室示意图
假如学生没有学习过立体几何知识，但具备勾股定理平面几何知识。老师如何给学生讲这道题目呢？
我们可以设想一下我们中国老师通常是怎么教的：
第一类老师是平铺直叙型。这类老师会直接将长方体两个顶点D和G用虚线连接起来，如图2所示：
图2 长方体教室示意图
然后老师告诉学生，作辅助线DG，因为长方体每一个侧面都是矩形，三角形DCG是直角三角形，因此线段DG的长度是：
因为，线段AD垂直长方体底面DCGH，因此，线段AD也垂直线段DG，故三角形ADG也是直角三角形。所以，长方体对角线AG长度是：
第二类老师是普通启发式型。这类老师会提出一些问题来启发学生思维。有可能是以如下方式提问：
“我们是否该引入一条辅助线呢？”
“我们是否考虑怎么应用勾股定理呢？”
“在长方体里面，什么地方画一条辅助线能够构成一个直角三角形呢？”
第三类老师是波利亚式启发型。我们一起看看波利亚老师是如何启发学生的：
“你是否知道一个与此有关的问题?”
“看着未知数，你是否知道一个具有相同未知数的问题?”
“好，未知数是什么?”
“平行六面体的对角线。”
“你是否知道任何具有相同未知数的问题?”
“不，我们还没有任何关于平行六面体对角线的问题”
“你是否知道任何具有相似未知数的问题?”
……
“你看，对角线是个线段，就是直线的一段。你从来没有解决过一个未知数是直线长度的问题?”
“当然，我们曾经解决过这样的问题，例如找出直角三角形的一个边。”
“好啊! 这里有一个知你的问题有关的问题，且早已解决，你能利用它吗？”
“你真走运，你想起了一个与你当前问题有关的问题，而且这个问题你以前已经解决了。你愿意利用它吗?为了能利用它，你能否引进某个辅助元素?”
“看这里，你所想起的是一个关于三角形的问题。图中有三角形吗?”
我们希望这最后的提示已明白得足以诱发出解题的思路(即引入一个在图1中用阴影画出的直角三角形)。这个引入的直角三角形的斜边就是我们所要求的对角线。但是教师应当对下述情况有所准备：即使这样明白的提示也不能使学生开窍，那么他应当动用所有越来越明显的提示。
“你是否想在图1中有个三角形?”
“在图中，你想有哪种三角形?”
“你现在还不能求出这对角线；但你说过你能求出三角形的一个边。那么现在你该怎么办呢?”
“如果对角线是三角形的一个边，你能找出它吗?”
经过或多或少的帮助后，学生终于成功地引进了决定性的辅助元素，即图中阴影三角形，在鼓励学生进入实际计算之前，教师应确信其学生对问题的理解已有足够的深度。
“我想，画出那个三角形是个好主意，你现在有了个三角形，但是你是否有未知数?”
“未知数是三角形的斜边，我们可用毕达哥拉斯定理去计算它”
“如果两边为已知，你会计算。但它们是已知的吗?”
“一个边已给定，是c。另一个边，我想也不难求出。是的，另一边是另一个直角三角形的斜边。”
“很好!现在我看出你有个计划了。”
对比上面3种不同的教学方法，波利亚老师这种无疑是三种中最好的。波利亚老师的方法好在是遵循他提出的“教与学”教育原则：1、主动学习；2、最佳动机；3、阶段序进。“主动学习”的意思，就是教师要用生动和艺术化的语言，激发学生学习的兴趣。要实现这一点，波利亚老师也给出了一个妙招：在解决问题之前，先让学生猜测结果，然后再来求证。这样做的好处是，学生还是有自尊心的，一旦他给出了猜测，那么，他就不会在课堂上捣蛋，去搞一些小动作，因为，学生的自尊心使得他们会聚精会神地看下一步的求证是否真的证明了他们的猜想，最终结果一旦被证实，学生自尊心一定得到了一次强化；如果猜测有误，教师仍然还是要肯定学生这种勇于猜测的精神，并鼓励学生数学家和科学家就是从众多猜测中排除了错误猜测后才获得正确结果。对于本题而言，教师可以和学生一起复习勾股定理和矩形对角线长度公式后，让学生猜测长方体对角线长度的表达式。这样做，更能激发学生学习兴趣。“最佳动机”的意思是学生应该对所学习的材料感兴趣并且能在学习中找到乐趣。“阶段序进”的意思用德国伟大的哲学家康德话来说是指“人的认识是从感觉开始，再从感觉上升到概念，最后形成思想”。波利亚老师的注解是“学习从行动和感受开始，再从这里上升到语言和概念，最后形成该有的心理习惯”。对于教师教学而言，教师向学生提出问题要从学生储备的知识中与本题最接近的地方开始，例如“你是否知道一个与此有关的问题”等，唤醒存储在学生脑海里面的静态知识，让学生脑海里面的相应知识开始活动起来，产生“生理及化学反应”，于是，好念头（good idea）就产生了。
下面按照波利亚老师的解题模式第4步检查结论（check）对本题进行检查，我们可以得出很多既有趣味又富有深意的结论。为了能够进行结论检查，必须将本问题符号化。千万别小看这一步，这一步是将一个特殊问题一般化，并且从“数值思维”上升到“符号逻辑思维”。可以这样说，“符号逻辑思维”是现代数学和科学的灵魂。为了将本问题一般化，我们可以设长方体的长宽高分别为a，b，c，对角线长度为x，那么我们可以得出如下公式：
检查结论（check）包括如下几个方面：
检查（check）
（1）量纲检查
设长度的量纲为米，等式左右边量纲都是米，因此，上述公式符合量纲检查要求。
（2）变化趋势验证
我们知道长方体的长、宽、高，不论那个增加或者缩小，对角线长度也是增加或者缩小。这个公式满足这个要求。
（3）极限值验证。
当高度为0时候，公式应该能变成长方形对角线公式。这个公式满足这个要求。
（4）对称性验证。
长方体的长、宽、高本身是交换对称，任意维度都可以定义为长、宽或者高。换句话说把长、宽、高任意互换，结果不变。这个公式满足这个要求。
创造（creation）
对于求解数学题目而言，创造是指在已经正确求解题目的基础之上，运用如下创造策略：
（1）将已知量和未知量互换；
（2）改变已知量或者未知量的形式；
（3）普遍化；
（4）特殊化
（5）类比
（6）将题目中有些定量视为变量
创造出新的题目，从而达到拓展数学思维的目的。这种学习方法，也是一种高效的思维训练方法。下面几道题目就是这样创造出来的，读者朋友有兴趣自己求解一下。
题目1：已知长方体对角线长度和长、宽长度分别是l，a，b，求长方体的高度c。
题目2：建筑物的长方形屋顶长21米，宽16米，要在中心竖立一根8米的旗杆。要求四根等长的缆绳来支撑这根旗杆。这四根缆绳必须从旗杆顶端以下2米处同一点出发，另一端系在建筑物顶的四个角上。求每一根缆绳有多长。
题目3：设想将长方体的中心与八个顶点用直线连接起来，这样将得到六个四棱锥，请问这六个四棱锥体积相等吗？试求出其中一个四棱锥的体积（提示棱锥体积 v = 1/3*s*h，其中s为棱锥的底面积，h为棱锥的高）。
特别说明，本文的思想全部来源于波利亚老师的名著《怎样解题》，笔者只不过是在学习的基础上，进行了一点点归纳整理工作，并无什么真正的贡献。波利亚老师讲授数学解题，与中国老师讲授数学解题区别有二：1、波利亚老师是为了数学新的发现来讲授解题，而国内老师是为了分数来讲授解题；2、波利亚老师虽然是在讲授数学解题思维，但是着眼点除了数学问题之外，还包括日常生活和工作中遇到的实际问题，而中国数学老师讲授数学解题思维仅仅着眼于数学问题。换句话说波利亚老师眼中的数学问题是广义的，而中国数学老师眼中的数学问题是狭义的；3、波利亚老师讲授解题是潜移默化培养学生将来发现新知所需要的思维。
最后笔者以此文向杰出的数学家和数学教育家波利亚老师致敬！
参考文献：
1、《怎样解题》，【美】G.波利亚著，涂泓、冯承天译，上海科技教育出版社，2007.5
1、问题：
等式中的s、h、e是十进制表示的个位正整数，求s、h、e各是多少？
2、解题策略
美国著名数学家和数学教育家波利亚老师，在其名著《怎样解题》和《数学的发现--对解题的理解、研究和讲授》中介绍：“一道数学求解题是由已知数据、未知量和连接两者的‘桥梁’条件组成的，条件又可以分解为一系列子条件。”[1]。用符号语言可以这样来表达求解问题：
Q：question（问题），KQ：known quantity（已知数据），C：conditions（条件），UQ：unknown quantity
C1，C2，......Cn ，代表子条件1，子条件2，......。各个子条件之间通过逻辑关系（与或非等）构成问题的符合条件。
解数学题目（一般问题也是如此），可以视为一场“战斗”。解题者是进攻方，数学题目是防御方。进攻方（解题者）是拼命想突破防御方（数学题目）的防守。那么，进攻方如何选择进攻策略呢？一般进攻的策略都是从防御方最薄弱的地方下手。
对于数学题目而言，哪个地方是防御方（数学题目）最薄弱的环节呢？为了解决这个问题，波利亚老师告诉我们，要从数学题目的条件入手，这是数学解题思维之一。
数学问题的条件一般都是复合条件，因此，可以将条件分解为一系列子条件C1、C2、C3、......。对于代数这类求解问题，每个条件都会与未知量相关。与未知量数目相关越少的条件，就是防御方（问题）越薄弱的环节。因此，尽可能从最简洁的条件入手，是解决问题的最佳突破口。
我们下面运用波利亚老师教授的这个解题策略，具体来看看如何解答出上面的列出的数学问题。为了看清这个数学问题蕴藏的条件，可以将原题变换一下：
其中s、h、e都是正整数，1 =< h，0 =< e <= 9，1 =< s <=9。
现在有3个未知数：s、h、e，我们脑袋里面先思维求解哪一个未知数呢？伟大的德国数学家莱布尼兹称这样的选择问题为“十字路口问题”。在日常生活中，到了十字路口，我们一般也要停顿下来，要判断从哪一个方向走。解数学题目也是一样，会遇到很多选择，那么，我们将如何选择其中的某项选择呢？莱布尼兹和波利亚老师告诉我们，要从最容易和最简单的选择开始，并且下一步的选择能够将上一步的选择获得的战果扩大。波利亚老师还进一步告诉我们，将数学题目蕴藏的条件分解之后，从最简单的子条件着手。
就本题而言，s、h、e三个未知数，有3个不同方向的选择。如果选择先解决s，我们再去读题，会发现能够解决s这个问题的可利用的数据和条件不多。事实上（10h + e）2表达式的个位数只与e2相关。而等式左边she的个位数是e，那么就要求e2后的个位数与e本身相等。因此，本题选择求e的值是一个最佳突破口。
我们把0~9的平方数都写出来：0, 1, 4，9, 16，25, 36，49, 64，81。发现其中只有0, 1，5，6满足这个条件。
e的取值范围：0, 1，5，6 ---- （3）
到目前为止，我们已经选择往前走了一步，那么下一步又如何选择呢？波利亚老师说，下一步的选择是要能够利用上一步已经取得的成果，用我们中国人的话说就是“继续扩大战果”。
从（he）2 = she 这个表达式中，我们应该能够看出有如下条件存在：
下面如何扩大战果呢？就是结合e的选择只能是0, 1，5, 6，而h的选择只能是1, 2，3，那么he的组合可能的形式是：
10 ，11，15，16
20， 21，25，26
30， 31 --------- （4）
继续扩大战果，将上面10个数的平方罗列出来：
100, 121, 225，256
400, 441，625, 676
900, 961 ---------（5）
我们观察上面的这些数据，就会发现只有一个数据625满足要求。从而s = 6，h = 2，e = 5。
（25）2 = 625
3、猜字谜：题目是 Flat both ways ( 5 letters)，中文译文是“两边都是平的（五个字母）”
这个单词的意思是“平的”，由5个字母组成，反着看也是这个“平的”意思 ，也就是回文单词。
这个题目的条件可以分成两个部分：1、单词的含义是“平的”（flat）；2、单词有5个字母，把它倒着念也还是“平的”意思。问题又到了莱布尼兹的“十字路口问题”，该考虑哪个条件呢？那我们是从条件1来突破，还是从条件2来突破呢？
我们就要评估，哪个条件是防御方（问题）最薄弱的环节。如果从条件2来突破的话，英文有26个字母，从中选择5个字母来组成单词，这个组合数目是非常巨大的。显然，这个条件不是防御方（问题）的薄弱环节。我们再来考虑条件1，要求单词的意思是“平的”，我们每个人脑子里面或多或少记得一些具有“平的”意思的单词。我们在脑海里面把这些具有“平的”单词都浮现出来，然后再用条件2来筛选。于是，我们脑海里面慢慢浮现如下单词：
even（平等的）、smooth（平滑的）、plain（平整的、平易的）、horizontal（水平的），当然还有level（平的）
从满足条件1中，筛选能够满足条件2的单词，因此，我们就找到了问题的答案：level。
这个题目来源于波利亚老师的名著《数学的发现--对解题的理解、研究和讲授》。
波利亚老师的名著虽然是关于数学解题方面，但是，他眼中的问题不仅仅是数学问题，而是包括工作生活中遇到的一般问题。因此，波利亚老师的数学解题策略和思维，不仅仅对数学解题有极大的帮助，而且也可以运用于解决工作生活中遇到的一般问题方面。
4、数学题目：一个四位数乘以9就颠倒了数字次序（即得到另一个四位数，它的各位数字的顺序正好与原数相反），这个数是什么？
这道数学题目，就留给亲爱的读者朋友练习如何运用波利亚老师传授的解题策略吧。
参考文献：
1、《数学的发现--对解题的理解、研究和讲授》，波利亚著、刘景麟等译，科学出版社，2011,1
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