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“那我们怎么去增加闰月呢？在哪一年加闰月呢？” 学生问道。
“哦，这的确是个问题，比如增加了一个30天的闰月，可是还没有完全弥补33天的差距，还少3天。”
“这可怎么处理，古人也碰到了这个棘手的问题了吧？他们是怎么解决的呢？”
“这个问题可不光是中国人遇到了，古希腊人、希伯来人都遇到过这个问题，这个问题折磨了古人几千年。因为他们也采用了阴阳混合历，就是每个月根据月亮的圆缺来决定，但是一年的长度又根据太阳的回归年来确定，这就要通过增加闰月来调和。阴历和阳历需要互相折中、互相协调，才有可能融为有机的一体。”
如果把阳历比作太阳、而阴历比作月亮，那么这幅画里既有太阳又有月亮，就像阴阳混合历里既有阳历又有阴历，需要互相折中、互相协调，才有可能融为有机的一体。（from flickr 公开图片）
“我印象里，每次加闰月好像很随机，没有什么规律。不像公历里面的闰年，总是在2月的最后加一天，农历的闰月不一定加在那个月，而且不一定哪一年有闰月。这个挺复杂的。” 学生说道。
“我们不妨从简单的开始考虑。先做一些粗线条的估计，然后再不断细化和优化。我想古人应该也是这么考虑的。先删繁就简试试看。”
“好的，那我们开始吧。” 学生说到。
“可是在开始之前，先要确定两个最基本的数值，这两个数值分别是一个回归年的长度和一个朔望月的长度。因为这是两个最基本的量，而且基本上不随时间波动（至少在数百年间如此），只有确定了这两个数值的大小，才好进行闰月的计算。”
“那好。首先确定一年的长度。”
“一年的长度可以通过计算两个冬至时刻之间的时间来确定，也可以通过计算两个春分之间的长度来确定，总之是地球绕太阳一圈的时间。这个数值古人在春秋战国时期就已经估算到大约是365.25天，大约相当于每四年增加一天，当然这个数值后来经过了不断优化变得更加精确，目前的精确值是365.24219...天。历代天文学家不断优化这个值，以后我们再讨论这个数值是怎么计算来的。”
“那一个朔望月的长度呢？”
“这个就比较容易了。古人也发现一个月并不是整数天。”
月相的圆缺变化周期称为一个朔望月：29.5306天 (from Wikimedia)
“是怎么发现的呢？” 学生问到。
“古人发现月亮每29天或者30天就完成一次圆缺周期，每个月的十五或者十六刚好月圆，如果规定每个月都是是29天整，那下一个满月之日就会比“十五”提前半天到来，再下一个满月之日会提前到“十四”，这样满月之日就会越来越提前到来。”
“每过两个月，满月的日期就会提前一天？”
“对，12个月以后就提前了6天，也就是说初九、初十的时候月亮就圆了，这就严重偏离了历法。”
“只需一年就可以发现这个问题？”
“对。反过来也是，如果一个阴历月规定是30天整，那么满月之日就越来越推后到来，过了12个月，就要到这个月的“二十一”日左右才会看到月圆。”
“一年之内就有这么大的误差！那一定有问题。那古人怎么解决这个问题呢？” 学生问到。
“古人解决这个问题的时候遇到了一个困难，那就是如果一个阴历月不是整数天，那么如果这个月月圆时刻是在半夜，那么下一次月圆可能是在正午，而这时是看不到月亮的。”
“所以不能像测量一年的长度那样，直接测量一个朔望月的长度了！”
“你说的没错。但是古人立刻就想到了一个间接的方法。这方法有点像称一粒米的重量。单独称一粒米的重量是不现实的，那么可以称一碗米的重量，然后数一数有多少粒米，二者相除就得到了一粒米的重量。”
“那就测量很多个满月，然后用总共的天数除以满月的次数？” 学生猜到。
“对。连续测量比如100个月圆之间的日期数，比如是2953天，那么月亮的圆缺周期大约是29.53天。”
“我算算，2953天，大约是8年多。时间也不算太长，只要持续记录月圆就可以了，这个方法比较简单。”
“那我们有了这两个基本数值，一年大约是365.25天，一个月是29.53天。接下来我们就可以做下一步了，就是计算在哪一年当中来插入闰月。”
“好的。”
“我们先看一下12个阴历月就是29.53x12=354.36天，而1年是365.25，两者差了10.89天，三年就差了32.67天，比一个月还多，所以我们如果每3年就插入一个闰月（每个月平均是29.53天），可是这样还少3.14天。”
3年1闰，增加一个闰月后，仍有误差
“那可怎么办呢？”
“我们想想办法试试”，老师说，“例如把3年拉长3倍变成9年，阴历和阳历之间的时间差达到了10.89x9=98.01天，9年中需插入3个闰月（平均需要29.53x3=88.59天），这样误差就是98.01-88.59=9.42天。”
“对，这很容易理解，相当于把3年1闰的误差3.14天放大了3倍。”
“是的，但是我们知道每年阴历比阳历少了10.89天，和这个9.42天非常相近，有可能刚好把两者抵消，从而大大减少误差。”
“怎么抵消呢？”
“我们把9年变成8年，就少了10.89天，这样就很大程度上抵消了9.42天，也就是说不是9年3闰，而是8年3闰，误差就会大大减小。我们来验证一下：8年内阴历和阳历差了10.89x8=87.12天，而3个闰月如果按89天计算，这样8年中插入3个闰月，误差只有1天多。这误差已经是比9年3闰的误差小了很多了。”
“嗯。”
8年3闰：8个回归年vs. 99个朔望月，误差比3年1闰大大减少
“看来这种把时间等比拉长然后从分母里减去1年的方法可行，那我们继续吧。现在我们把3年拉长4倍变成12年，需插入插入4个闰月（29.53x4=118.12天），12年总共少了10.89*12-118.12=12.56天。在这个基础上，我们不要等到12年，而是到了11年就把4个闰月全部插完，11年4闰，这样11年总共差了10.89*11-118.12=1.67天。这样每11年的误差有1.79天，比起12年4闰的12.56天的误差也大大减少了。”
“嗯。我似乎有点明白了，我们可以继续这样，把插入闰月的周期同比拉长，看能不能找到更好的近似值。”
“对，就是这个思路。现在我们在11年插入4个闰月的基础上，继续翻倍，也就是22年增加8个闰月，同样误差加倍就是3.34天，也就是比正常日期少了3.34天。”
“让我看看，这个3.34天和最初的三年一闰少的那3.14天比较接近。”
“对，我们离春秋战国时期采用的历法只有一步之遥了。”
“啊哈！看出来了！我们把这22年8闰的误差3.34天全部归结到是其中的一个三年一闰的3.67天产生的，那么只要把22年8闰减去3年1闰，变成19年7闰，就可以用3.34去抵消3.14，这样误差就很小了！”
“很好，我们来验算一下”，老师说，“19年总共是6939.602天，插入7个闰月后，总共有19x12+7=235个朔望月，也就是6939.691天。这样每19年的误差只有不到0.1天！”
“真的非常小了。”
“是的，这对没有精准测量仪器的古人来说已经非常不错了。”
“19和235这两个数有什么特殊之处吗” 学生问到。
“19年里有12年是平年，每年12个月，另外7年是闰年，每年13个月，总共是235个月。我们可以构造出一幅漂亮的图形来代表这几个数字。首先最完美的图形是圆形，所以我们先画一个圆；其次六边形也是非常完美的形状，雪花和蜂巢都和六边形有关，所以在这个圆周围添加6个圆，总共就有了7个圆。这7个圆代表7个闰年，每年有13个月，所以我们在圆里写上数字13，这样我们就有了91个月。”
“那另外12个平年呢？”
“每个平年用一个写有数字12的圆表示，它们均匀地围绕着中心的6个圆，与之相切并两两相切，你会看到这12个圆和6个圆吻合和严丝无缝，最后外围这12个圆又和一个更大的圆相切，吻合得非常好（左图）。因为这12个圆表示平年，所以总共有144个月。144个月加上闰年的91个月，刚好是235个月！”
19和235的秘密图形：左图：19年中有7个闰年，表示为中心的一个圆和与之相切的6个圆，每个闰年13个月，所以有13x7=91个月；剩下12个平年表示为最外围的12个相切的圆，每个平年12个月，有12x12=144个月，加起来有91+144=235个月。右图：原理和布局与左图相同，都是中心一个圆，中间6个圆，外围12个圆，只是圆与圆之间不是相切，而是通过圆心相交 (右图from infinity-codes.net)
“真是完美！” 学生说道。
“还可以变得更美。第一个圆和它周围的6个圆如果不是相切的关系，而是相交，中间的圆的圆周通过这6个圆的圆心；此外，中间的6个圆的圆周也刚好经过外围的12个圆的圆心，那么就可以画出一个更美丽的图案出来！（右图）”
“没想到这么漂亮！对了，古人是怎么推导出19年7闰的呢？”
“一方面，古人通过大量数据的积累，可以进行一些猜测从而逼近实际的观测结果。另外一方面也有一些数学方面的计算方法。”
“有哪些方法呢？”
“很遗憾，具体的方法已经无法确切知道了，古人只留下了结果，而没有给出推导过程。我们只能够根据结果去猜测过程了。”
“真是很遗憾！”
“是的，这有点像考古发掘。比如我们挖掘到一直骨头做的笛子，知道远古之人曾经发明和使用过这样的乐器，但是古人是用什么方式做出来这样的笛子，以及笛子吹出来什么样的音乐，我们就只能猜测了。”
“那我们猜测古人是怎么推导出来的呢？” 学生问到。
“一种猜测是古人是用了一种分式不等式的方法来逼近这个结果的。”
“什么是分式不等式？” 学生很好奇。
“先看一个分式不等式的例子，例如1/2小于2/3，如果把1/2和2/3的分子部分相加，也就是1+2=3，作为新的分子，把分母部分相加2+3=5，作为新的分母，也就得到一个新的分式3/5，也就是0.6，而新的分式的大小刚好是处于1/2和2/3之间。”
“哦，这很简单。写成代数表达式就是，如果a/b 小于c/d，那么(a+c)/(b+d)介于a/b和c/d之间。”
“对，比方我们刚才的例子，4/11小于3/8，那么7/19就介于这两者之间。”
“可为什么刚好是7/19最接近实际呢？” 学生还是有些疑惑。
“这是个很好的问题！实际上这已经是关于数学的问题了。”
“是的。”
“正是。刚才我们说过地球绕太阳一周是365.25天，而月球绕地球一周是29.53天，那么也就意味着，当地球绕太阳一周的时候，月亮绕了地球12周多一些，但不到13周，确切说是绕了365.2422/29.5306=12.36826周，而这个数不是整数，也就是说用12个月来代表一年则少了10多天，而如果用13个月来表达一年又多出去将近20天。”
“所以只能折中一下，在有些年份用12个月，有些年份用13个月。”
“如果3年1闰，出现闰月的年份的比率是0.333，误差较大。
如果8年3闰，出现闰月的年份的比率是0.375，误差有所减少。
如果11年4闰，出现闰月的年份的比率是0.3636，误差继续减小。
如果19年7闰，出现闰月的年份的比率是0.3684，误差已经很小。
你有没有察觉出来一种趋势？”
“哦，我看到了，越来越趋近于12.36826的小数部分0.36826，而且是从上下两个方向逼近的。”
从3年1闰到8年3闰、11年4闰、19年7闰，数字从0.33333 一直逐渐逼近到0.36826：上下波动地趋近，而不是单边趋近
“对。我们无意中已经越来越趋近于一个固定的常数，而这个数字决定了我们在一段时间里要设置多少个闰月，而且知道了这个数值的大小，我们也就知道了每隔多少年，太阳、月亮和地球又会重新回到原来的相对位置，开始新的一轮循环。反过来，如果这个数值有所改变，那么我们的历法也要做调整了。”
“除了中国人还有其它国家的人推导出这个数值吗？”
“有，古巴比伦人很早以前就推导出了19年7闰。后来古希腊的天文学家默冬（Meton）于公元前431年宣布推导出来，因此19年7闰这个周期在西方又称为“默冬章”。中国人在公元前589年开始即已掌握19年7闰法则。”
“既然已经确定了19年里加7个闰月，那接下来，这7个闰月加在哪些年份的呢？”
“一般来说每隔2-3年就要设置一个闰月，古希腊人在这方面的设置没有统一的立法，每个城邦都有自己的方法。其中一个比较有规律的方法就是把闰年的设置固定到特定的年份。现在人们估计当时的默冬历法里，在19年的第3、第6、第8、第11、第14、第17、第19年里增加闰月。在有些希腊城邦里，闰月通常置于波塞德昂月之次月，即第二个波塞德昂月(闰6月)，但在另外一些城邦闰月的设置是随意的。”
古希腊某些城邦的19年7闰：在固定的年份（第3、第6、第8、第11、第14、第17、第19年）增加闰月
“那古代中国人的闰月又插入到哪个月后面呢？” 学生问到。
“说到这一点，中国人提出的方法可以说独步于世界了。一开始中国人曾经采用过固定把闰月放在年底的方法，但是这种方法不能很好地调和月份和季节。后来到了公元前104年的汉朝，中国人找到一种更加巧妙的方法，并应用在当时的《太初历》里面，这种置闰方法一方面月份和季节非常符合，另一方面还非常简洁优雅！”
“这是什么方法呢？”
未完，待续....
参考文献
江晓原. 巴比伦—中国天文学史上的几个问题[J]. 自然辩证法通讯, 1990(4):40-46.
徐松岩. 古希腊历法简述
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