重庆市第八中学高2022届12月考第22题：仿射变换

纵观2022届重庆各大校高三的试卷，压轴题都不是特别繁杂。另一层意思是不惊艳，甚至比不上网络上某些疯传的试题，玄而又玄，不可思议。有人称之为“钓鱼题”，随意替换特殊的位置，擅自篡改合理的结构，使得难度突破天际。

我不知道这样做出于什么目的，尽管算不上鄙视，但也丝毫提不起兴趣。我喜欢做那些自我感觉良好的事，舍不得浪费时间去钓那不曾令我心仪的“美人鱼”（主要是不会）。

心动也不钓。我一向都是守株待兔的，并且运气也还不错，所以总能有所收获。重庆八中2022届高三第3次月考的压轴题已是囊中之物。题目略长，图形稍乱，但丝毫不会影响食欲，拿去，大快朵颐。

本题的容量不小，内涵丰富：求方程、证明点在定直线上、计算面积之比的最值，一应俱全。事实上，压轴题都有这个毛病，恨不得将考点一网打尽。高考题也不例外，只不过结构更严谨，梯度更明显，包装更精巧，模拟题望尘莫及。

法1，常规操作，毫无波澜，我竟找不到可圈可点的对象。但这些都是必备的技能，老生常谈也在所不惜。

只要功底扎实，勇气可嘉，拿分当仁不让。

当然，我的目的不是告诉你这些。我想说，冬天到了，胡思乱想不如老老实实管用。那些看似高明的奇技淫巧，不过是华而不实的粗制滥造。

这和冬天有什么关系？

冬天，昼短夜长，正是酣睡的好时节。

法2，仿射变换（伸缩变换更贴切），将椭圆转化为圆。于是联立方程没有了，韦达定理消失了，运算也变得简单了，但内心竟泛起一丝遗憾，好像若有所失。

大概是改变了习惯，一旦不习惯，就忘了自己，忘记了存在的意义。存在的意义肯定不会是变量，那什么才是永恒不变的呢？

这就是冬天容易惆怅的问题，错综复杂又扑朔迷离。

单就本题，不言而喻。在伸缩变换下，长度会变化，面积会变化，但比值却不变，这是伸缩变换的特点，亦是法2的依据。

最值已然不是解析几何的内容，换元也好，均值不等式也罢，不在话下。还有什么值得一提的呢？什么也没有，除了伸缩变换本身。

无庸赘述，涉及到斜率与面积，伸缩变换简单，因此计算相当方便；而弦长就算了吧，我不知道它能带来多大好处，单就这丑陋的形象就教人退避三舍。

伸缩变换常应用在椭圆，应用在双曲线（可变为等轴双曲线）和抛物线中，也不无裨益。当然都不如椭圆来得方便。

最后，伸缩变换是否可以恣意妄为，是个问题。耗子尾汁。