重庆市南开中学高2021届第四次月考第15题：极化恒等式

重庆·云师堂

大雪。大雪已过。

“有梅无雪不精神，有雪无诗俗了人。”突然有种想写诗的冲动。

嗯，诗呢？

今天来到火锅店，口水馋到掉一片。七分肉肉三分素，不海吃一顿不舒服……

好诗。百般享受，无非是为了掩饰对寂寞的忍受。人生苦短，数学万难，挣扎已不知从何而起，唯有大快朵颐，方能忘乎所以、逍遥自在。

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

题目短小而精巧，这才是数学题该有的样子。不像某些题目，似乎说了许多，又似乎什么也没说，装饰华丽的外表下是一大堆无关紧要的废话。

解决向量问题，常见的方法有基底法和坐标法，辅助于几何意义（平行、垂直、圆、三角形的四星等）可以事半功倍。

另外，复数与平面向量有着千丝万缕的关系，因此，平面向量的许多操作手法可以类比到复数（本次南开中学月考的第7题便是如此）。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

坐标法是处理向量问题的基本方法，大多数题采用建系的方式都能圆满解决，本题也不例外。建系应使得向量的坐标简单为依据，尽可能让更多的向量落在坐标轴上。

通过建系可以很明确地判定点B在定圆A上（如上图），点C在动圆M上，观察可得│OC│≤│OM│+R，而R=1，且│OM│≤│OA│+│AM│=2，故│OC│≤3。

由于本题的几何意义十分明显，不建系反而更加快捷，法2便是如此。

法2，首先利用垂直得到直角边不大于斜边，然后利用绝对值三角不等式放缩求出结论。这里充分体现了向量运算的优越性。

需要注意的是，两个向量的数量积等于0是两个向量垂直的充要条件，切忌误认为两个向量本身为零向量，这是极易犯错的地方。

法3，首先利用绝对值三角不等式求得│b│的范围（事实上只需最大值），然后利用极化恒等式（见脑洞）将向量的数量积转化为模，最后借助绝对值三角不等式求出结论。

法1常规而朴素，却未必看得起；法2直截了当，又未必学得来；法3，一番操作猛如虎，临场发挥却未必靠谱。你选哪种？

照单全收，只有小孩子才会选择。

只怕那是噩梦般的开始，理想与现实总是存在着强烈的反差，贪，最终欲罢不能。

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

1.极化恒等式：

2.平行四边形模式与三角形模式：

4  操作

行同陌路，抑或一见如故