重庆市第八中学高2021届第五次月考第22题：导数与数列不等式

按照惯例，每年的这个时候，高考命题便开始组队了。

今年是重庆新高考的第一年，从“八省联考”便可瞥见端倪——难度不会太低。这也在教育部《2021高考命题要求和原则》中得到了印证。

“题目立意情景和设问科学、可信、新颖、灵活；选择题的题干应围绕一个中心，和选项的关系一致，干扰项的有效性和迷惑性能反映考生的典型错误，各选项的结构和语言长度大体一致；试题层层设卡，环环相扣，每一问都要拦住一批考生，只有最优秀的才能走到底；高考试题一定要增大探究性，扩大开放性，体现创新性……”。

你品品，细思极恐。

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

数列不等式曾一度是高考的拦路虎，因其方法多，技巧性强，思维层次高等特点令人不寒而栗。好在近几年高考鲜有涉及，仅在2017年昙花一现。

导数与数列不等式，前面介绍了许多，基本思路是根据前问得到的不等式，赋值累加证明结论。此外，亦可借助重要不等式进行放缩或利用数学归纳法证明。当然，更高层次的莫过于构造定积分证明（将来探讨）。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

第（1）问，分类讨论，亦可分离参数，但分离参数注意检验。此问考查复合函数的求导运算，函数的单调性与极值，为下一问证明作铺垫。

第（2）问，利用前问的结论得到超越不等式，赋值累加即可证明结论。第二问的关键是将不可求和的不等式放缩为等比数列求和。

这句话看似云淡风轻，却暗藏风卷云涌。我已失去了对其他方法的兴趣，只想彻底明白其中的玄妙——如何赋值？

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

当你一筹莫展之时，不妨逆向思索，或许会柳暗花明。

观察不等式结构，左侧每项的次方与右侧分子的次方一致，遂将右侧分子除掉。如此，左侧变为结构相似的项，而右侧变为常数。继而左侧从通项入手，对其分离常数，即可化为熟悉的结构。

如此，赋值岂非一目了然。指数赋值相对较少，对数赋值司空见惯，但两者套路并无二致。换我出题，更倾向于①式作为结论。没有特别的缘由，仅仅是看着顺眼。

当我做到①式时，脑海很自然地浮现出这个画面：

但一时又找不到合理关联，暂时搁置于此吧，待他日捋顺了再做了断。

4  操作

形同陌路，抑或一见如故