前两天说了说解析几何的故事,今天超模君又忍不住去找找关于几何学的故事……
结果故事没找着,倒是搜到了一大堆有关“古希腊三大几何问题”的资料……
Part 1:“倍立方体”问题
Question:如何只用直尺和圆规作出一个立方体,使得该立方体的体积为已知立方体的体积的两倍。
传说在公元前429年,一场不知名的瘟疫袭击了希腊提洛岛(Delos),岛上四分之一的人都因为瘟疫而丧生。
面对可怕的瘟疫,岛上的居民们推举出一个代表,到神庙里去询问阿波罗的旨意。
太阳神阿波罗
听到阿波罗的旨意,人们便把祭坛的边长都加长了一倍。但是,当新的祭坛做好时,瘟疫并没有得到控制,反而愈加严重。
此时有人质疑说这样做根本不对,阿波罗说的是把祭坛的体积变成原来的两倍。于是人们又把祭坛的体积修改为原来的两倍,但是祭坛的形状变成了一个长方体,瘟疫依旧肆虐。
但是他们发现,这个问题远比想象的要复杂,以至于最后柏拉图并没有成功地用尺规作图来解决这个问题。
柏拉图:这回丢脸丢大了……
万芝尔的大致证明过程是这样的:
假设已知的正方体棱长为a,体积为已知正方体的正方体棱长为x,由问题的要求,列式得x^3=2a^3,解出x等于2a^3的三次方根。
由于2的三次方根是无理数,而尺规作图能够作出的线段长度均为有理数,所以“倍立方体”问题无法只用尺规作图解决。
“倍立方体问题”可以转化为另一个问题:即在a与2a之间,插入x、y两个数,使a、x、y、2a成等比数列。因为a:x=x:y=y:2a,整理后可得:x^3=axy=a(2a^2),也即x^3=2a^3,符合问题的本意。
而柏拉图的解法为:
1. 作互相垂直的线M,线N,交点为P;
2. 在M上取 PC=a,在N上取PD=b=2a;
3. 取二曲尺,使一曲尺通过C点,且顶点在N上,另一曲尺通过D点,且顶点在M上,且二尺的另一边互相密合,如此,便分别在M,N上产生A,B点,则四边形ABCD中的PA(或PB)即为所求。如下图:
但正如万芝尔证明的那样,在尺规作图的限制内,“倍立方体”依旧是个无解的问题。
Part 2:三等分角问题
Question:在只用直尺和圆规的情况下,将任意给定的一个角三等分。
公元前4世纪,在亚历山大城城郊,有一座圆形的城堡,里面住着一位公主。公主的居室正好建立在圆心处。城堡南北围墙各开了一个门,城中的河上建了一座桥,桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。
大概就是这种感觉
国王每天赏赐的物品,从北门运进,先放到南门处的仓库,然后公主再派人从南门取回居室。
一天,公主问侍从:“从北门到我的卧室,和从北门到桥,哪一段路更远?”侍从不知道,赶紧去测量,结果是两段路一样远的。
国王满口答应,小公主的城堡很快就动工了,当把南门建立好,要确定桥和北门的位置时,却出现了一个问题:怎样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢?
O是卧室,Q、K、P分别北门、桥和南门
阿基米德:这么简单的问题还来问我
阿基米德看了看他们的问题,给出了解答:
他在直尺上做了个标记,使得标记和尺头之间的距离等于圆的半径r。
接着阿基米德让标记在圆上滑动,使尺头落在∠KOP的延长线上,并且让直尺通过角的终边与圆O的交点上,这样直尺和延长线的角就是∠KOP的三等分角。
(如下图,A为尺头,B为标记)
“这个确定北门位置的方法固然可行,但只是权宜之计,它是有破绽的。”
因为阿基米德在直尺上做标记的做法,违反了尺规作图的原则。那么,如果真的只用尺规作图,三等分角又能否做出来呢?
答案是:不能。
至于给出证明的人,还是上面提到过的法国数学家万芝尔。
而三等分角不能用尺规作图的理由,跟“倍立方体”问题类似,都是因为尺规作图所能够作出的线段长度只能够为有理数,而三等分角问题涉及到了无理数,这是尺规作图所不能够达到的。
Part 3:化圆为方
Question:在只使用直尺和圆规的情况下,作一个正方形,使其面积等于已知圆的面积。
公元前5世纪,安纳萨戈拉斯因为发现太阳其实是一个“大火球”(在那时候也确实可以这么认为),而并非阿波罗神,被判了“亵渎神灵”的罪名,关入监狱。
在监狱里,安纳萨戈拉斯睡不着。圆圆的月亮透过正方形的铁窗照进牢房,他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣。他不断变换观察的位置,一会儿看见圆比正方形大,一会儿看见正方形比圆大。
最后,安纳萨戈拉斯想到了一个问题:圆月和铁窗,它们的面积会不会是一样大呢?
希波克拉底,被誉为“医学之父”
安提丰:古希腊哲学家
这位天才,就是达芬奇。
用一个以已知圆为底,高度为已知圆的半径的一半的圆柱体,在平面上滚动一周,所的出来的矩形的面积即为:S=2πr·1/2r=πr^2,然后将这个矩形化为等面积的正方形即可。(如下图)
那么,这个问题到底有没有真正的解法呢?
跟前面两个问题一样,希腊人捣鼓出来的这个“化圆为方”的问题,在尺规作图的限制下,依旧……无解。
但是这并不能怪希腊人,因为到了1882年,德国数学家林德曼,才证明圆周率π是一个“超越数”。而同样在19世纪,有人证明了如果设任意给定长度单位,则标尺可作的线段段长必为“代数数”。
代数数指能满足整系数代数方程的数,而超越数则是不能满足整系数代数方程的数。如2的平方根是代数数,因为它满足方程x^2-2=0;而π则是超越数。
希腊人捣鼓的都是什么东西啊?一个个都是根本没有解的问题,有意义么?
其实,即便无解,这三个问题的存在依旧很有意义。先不说为了解决倍立方问题,数学家发现了诸如蔓叶线等一系列的特殊圆锥曲线,就说最后的化圆为方问题,安提丰所提出的“穷竭法”,是近代数学重要概念极限的雏形。
蔓叶线
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