单位与量纲（五）量纲分析

【单位与量纲】系列文章之（五）

        假如一个物理量只需要用长度和时间表达，那么它的单位将会是长度（Length）和时间(Time)的一定幂次，记为[L]^a[T]^b，这样的表达式就称为该物理量的量纲，其中的a和b称为量纲指数，可以为正负数。比如力=质量(Mass)乘以加速度，所以单位为kgm/s^2，其量纲表达就为[MLT^-2]。假如所有的幂次为零时，这个物理量就被称为无量纲数。量纲可以用于快速检验公式的正确性，只有等式两端的量纲相同，公式才合理。也只有量纲一致的条件下，物理量之间才可能进行加减操作。

        量纲分析是考场上记不清公式时的一根救命稻草。自由落体公式中，s=gt²/2，假如记不得了，我们可以猜测自由落体与地球重力加速度有关，与时间有关，跟别的事情无关。s的量纲是长度[L]，重力加速度的量纲是[LT^-2]，时间的量纲是[T]，所以[L]= [LT^-2]^a[T]^b=[L]^a [T]^b-2a，以[L]和[T]两个量纲分别列方程，对[L]，推出a=1，对[T]，推出b=2，所以s跟gt²成比例关系。这个例子比较简单，我们接下来利用量纲分析推出开普勒第三定律。

        开普勒定律的是牛顿力学建立的重要基础，其中开普勒第三定律又称为周期定律，指行星绕太阳转动周期的平方与椭圆轨道长轴立方成正比。我们现在忽略历史，假设我们处在牛顿的年代，刚被苹果砸了脑袋，意识到了引力的存在，想到了万有引力常数G。那么，量纲分析将帮助我们最快地验证自己的理论。首先，我们知道行星绕太阳转动，那么转动有周期T，涉及时间[T]，行星跟太阳有距离r，涉及长度[L]，如果引力有作用，需要太阳质量m，涉及[M]，为什么行星质量可以不出现？因为既然称为定律，那么对不同质量的行星都必须成立。假如周期的表达式写为T=f(m,r,G)，G为万有引力常数，量纲为[M^-1L³T^-2]（详细推导见说明）。我们将写下如下等式：

        [T]=[M]^a[L]^b[M^-1L³T^-2]^c=[T]^-2c[M]^a-c[L]^b+3c

        我们分别对[T]、[M]、[L]列方程：

        1=-2c

        0=a-c

        0=b+3c

        这时候，这样简单的方程组可以解出c=-1/2，a=-1/2，b=3/2。也就是说T正比于r^3/2(Gm)^-1/2,换个写法就是r³/T²正比于Gm，正比于一个固定的常数，也就是开普勒第三定律的数学表达。那么经过这段简单的运算后，我们就可以知道所设想的引力关系与天文观测吻合。

        从上面两个例子可以看出，量纲分析能给我们公式的形式，当方程复杂并且涉及大量变量时，量纲分析的重要性就能体现出来，甚至可以应用于科研之中。量纲分析常被应用的领域是流体力学。流体力学中，所涉及的量纲只有[T]、[M]、[L]三个，但是流体力学中的方程形式往往特别复杂，涉及的物理多并且难以直接从理论上推导。量纲分析定出几种方程的可能形式将有助于对实验数据的分析和拟合，定出合理的公式形式后，再通过实验数据给出等式两边成比例的系数或者常数。

        从上面的方程推导过程中，我们可以猜测出，当方程里面出现指数、对数、三角函数等形式时，这些函数的自变量必须是无量纲的。以指数为例，exp(x)= 1+x+x²/2+……+xⁿ/n!，因为相加的各项必须量纲相同，所以，展开式的每一项都与无量纲数1的量纲相同，所以x只能是一个无量纲数。举例来说，统计物理的公式中经常出现exp（-E/kT），那么可以迅速判断玻尔兹曼常数k的单位一定是能量除以温度。对数和三角函数里面变量一定为无量纲量的原因与指数一样：当函数被展开时，可以展开为变量不同幂次的累加。掌握量纲的规律，有助于验证和猜测复杂的公式。

        有一些重要的物理量不存在量纲，比如流体力学中的雷诺数和瑞利数，前者决定了流体是否出现层流还是湍流，后者决定了流体中的热传播主要是对流还是传导。一些物理常数也可能是无单位的，如著名的精细结构常数，它由相对论中的光速，量子力学中的普兰克常数，电磁学中的电荷和真空介电常数定义，所有的单位互相抵消，数值为1/137.036。我直接翻译wiki上的一段话来说明这个常数的重要性：如果精细结构常数比它实际值大，我们无法区分物质与真空，我们也几乎无法去了解自然规律，精细结构常数是1/137是自然规律本身。作为一个无量纲数，它最重要的特点就是不管我们如何去定义单位，它的数值本身不受影响。有些物理学家甚至认为，物理规律本质上不需要量纲。这个问题上我认识很肤浅，也就只是这么人云亦云。

        物理量的单位和单位定义，是实验物理最根本的问题。历史上人们未认识到各个基本物理量之间的联系，单独从长度、时间、质量等方面单独定义测量标准。随着对物理规律的了解，将来的单位定义将更多地通过一个基本物理量的测量和物理常数，如光速、普兰克常数、单位电荷、玻尔兹曼常数、阿伏加德罗常数等，来引出。可以预见的是，尽管通过玻尔兹曼常数（单位：能量/温度）和普兰克常数（单位：能量*时间）可以用时间单位定义温度单位，由于温度的开尔文温标的定义方式，温度的具体测量还将保持复杂的标准。本系列文章从定义和测量的角度谈单位，并顺便介绍量纲分析这个工具，单位和量纲系列到此结束，谢谢阅读。

 

        说明：万有引力常数G的量纲

F=Gm0m1/r²,又因为F=ma，所以G的量纲与（ma r²/ m0m1）相同，为[M][LT^-2][L]²/{[M][M]}，化简后为[M^-1L³T^-2]。

（作者：锁相）