检查数学题答案的三种方法

做数学题最郁闷的，大概就是会做的题目，辛辛苦苦算完了，结果答案错了。

家长们最郁闷的，大概就是明明可以考100分，结果“粗心大意”，总要扣掉几分。到了下次考试之前，忍不住要反复叮嘱，一定要仔细啊，一定要检查啊。等到成绩一出来，又丢分在了“粗心大意”。

检查这种事情，说起来容易，做起来难。自己写的文章，盯着看几遍都看不出里面的错别字。因为我们的大脑，在看熟悉的东西时，能自动把里面的错误过滤掉。就像这句话，你读起来没有一点碍障，即使面里有不少错误。

波利亚在《怎样解题》里，讲了检查答案的三种方法：

一、量纲检验

听起来很玄，其实意思很简单，就是检查答案的单位。

之前我们举过这样一道题目：

一个四面体的所有棱长都是a，四个顶点都在同一球面上，求这个球的表面面积。

（本题可以把四面体补全成立方体再计算）

我们就可以用量纲检验来检查答案。比方说，算出来的答案是：

边长a的单位是长度单位，假定是米，那么表面积的单位就是平方米。而答案的单位是立方米，所以，这个答案显然不对。

老师们总是叫学生们要带上单位计算，也有一部分是这个目的。单位正确了，答案才有可能正确。

二、特殊化

我们之前讲过，可以用一个特殊的例子来帮助找出问题的思路，同样的方法也可以用来检查答案是不是正确。

举个例子，在《比例问题（五）：算错了？那是因为没掌握好运算法则和验算方法》这一期的时候，我们讲到了这样一道题目：

有甲乙丙三个梯形，他们的高之比是1:2:3，上底之比是6:9:4，下底之比是12:15:10，已知甲梯形的面积是30平方厘米，那么乙、丙两个梯形的面积之和是多少？

当时我们是这么算的：

甲、乙、丙三个梯形的面积比就等于，(6+12)×1÷2:(9+15)×2÷2:(4+10)×3÷2=6:8:7

甲梯形面积为30平方厘米，所以乙梯形面积等于30÷6×8=40平方厘米，丙梯形面积等于30÷6×7=35平方厘米，乙丙两个梯形的面积之和为75平方厘米。

这个答案对不对呢？我们来一个特殊的例子来验算一下。

我们假设甲梯形的上底为6厘米、下底为12厘米，这样假设是为了下面计算简便。根据甲梯形的面积可求出甲梯形的高为30÷(6+12)×2=10/3厘米。

根据比例关系，乙梯形的上底为9厘米，下底为15厘米，高为20/3厘米，乙梯形的面积为（9+15）×20/3÷2=80平方厘米；同理算得，丙梯形的面积为(4+10)×10÷2=70平方厘米。

乙丙两梯形面积和为150平方厘米，和我们前面计算的答案不相等！

这样，我们就发现了前面计算的结果是不正确的，还知道了正确的答案可能是什么。

三、交叉检查

波利亚在书中的原意，是用两种不同的方法得出同一个结果。为了突出两种方法的差异，我把它改称交叉检查。就好象一个汇总报表，如果从横向和纵向两个方向都能得出相同的总数，那么计算错误的可能性就要小得多。

老师们经常让学生在做完题目之后，把答案代入题目中检查一下，这也是交叉检查的一种方法。

前面的一期中，我们举过这样一个例子：

现在是下午5点，过多长时间时针和分针会重合？

当时我们的解法是把这个问题当作一个路程问题。时针的速度是每小时1/12圈，分针的速度是每小时1圈，时针领先分针5/12圈，所以算得：

原题请见：《数学题目没思路？试试回想一道相似的题目》

我们检查时，可以换一种方法，去计算分针和时针此时的角度。

时针和正上方（12点钟方向）之间的夹角等于：

分针和12点钟方向的夹角等于：

两个角度相等，所以答案正确。如果我们用了两种不同的方法得出了相同的结果，那么我们对这个答案就可以比较放心了。

总之，和想出一个思路来比较，验证一个答案是不是正确，总是要简单一些。

如果你看完文章后忘得差不多了，那么至少带走下面两点：一、要有检查的意识，不能做完题就完了。二、考虑到检查要花的时间，检查实际上是个成本—收益的问题，要会使用一些高效的方法。

不过，我们讲做完题目要总结回顾，最主要的原因还不是为了找错误。而是不管在什么情况下，回顾做过的题目，总是会有一些收获。下一期，我们就专门来讲这点。

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