递推公式描述了由数列中的已知项获得数列中新的项的方式,确定新的项所需要的已知项的数目就是递推公式的阶数.如递推公式
如果一个数列的递推公式形如
其中
例 已知
分析我们希望将这个递推公式变形成可以用累加法或累乘法求通项的形式.设
与递推公式对比得到
即
一般地,对于递推公式
来说,定义它的特征方程为
从而
整理得
于是
两边同时除以
再通过累加法即求得数列的通项公式.
在前面的问题中
从而有
由累加法(或直接由
著名的契波那契数列就是二阶线性递推数列.
斐波那契(Fibonacci Leonardo)是意大利著名的数学家,他提出了著名的"兔子问题":如果每对兔子每月繁殖一对小兔子,而这对兔子在出生后第二个月长成大兔子,并可以再繁殖一对新的小兔子,在不考虑兔子死亡的前提下,从一对小兔子开始,到第 个月共有多少对兔子.
记第 个月有 对兔子,那么我们就得到一个数列
因为第
这个数列 :
大家可以试试用特征根法求出它的通项公式
虽然斐波那契数列的通项公式看上去很复杂,但别忘了它的每一项其实都是正整数.另外,波那契数列还有很多特点,比如它的前一项与后一项的比值越来越接近
由 数海拾贝 供稿。
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