对初学者来说，通常我们不区分态矢量和波函数。比如我们经常说：在量子力学中物理系统所处的状态是用波函数描述的。有时候我们也说：在量子力学中物理系统所处的状态是用态矢量描述的。这两句话想表达的是一个意思。
严格地讲，态矢量和波函数还是有区别的。后者可以看作是对前者的投影。
波函数ψ(x)，对初学者来说很容易想象，它就是一个取值为复数的函数。我们还可以把波函数ψ(x)和玻恩的统计解释联系起来，“波函数绝对值的平方——|ψ(x)|^2——对应粒子处于位置x处的几率”。
态矢量在狄拉克记号下常被表示为|α》，它表示的就是一个抽象的量子态α。
打个比方，态矢量就是一个抽象的“物体本身”，我们无法看到物体本身，但我们可以看到物体的影子，于是我们就通过投影来认识“物体本身”。
比如随便一个向量V，我们把它对互相垂直的x、y、z轴做投影，我们用V在x方向上的影子的长度Vx，在y方向上的影子长度Vy和z方向上的影子长度Vz来表示向量V。
写成狄拉克记号的话就是：
这里《x|V》表示的就是向量V在x方向上的投影：Vx。
我们把这套投影的语言用于态矢量|α》，假设有一个对态矢量进行分类的良好标准，构成了一组正交归一的基矢：{|n》}
这里的投影cn=《n|α》，就是态矢量在某个方向n上的投影。其绝对值的平方就是物理系统处在n方向上的概率。cn其实就对应波函数。
因为我们完全可以用位置x来作为对量子态进行分类的标准，粒子位于各个不同的位置也对应一个良好的分类标准，它们也构成一组正交归一基矢：{|x》}
只是由于x的取值是连续的，所以这里我们写成求和的形式就不讲究了，讲究一点，我们要把它改写为积分的形式：
这里的态矢量α对位置x'的投影《x'|α》可以改写为ψ(x')，就是我们平时所说的波函数。
在上式中，左边的|α》是态矢量，而右边的ψ(x)是波函数。
态矢量就是态函数。
任何波函数都可以由定态波函数叠加而成，所以人们用1*n的矩阵来表示定态波函数叠加系数。
1*n的矩阵本身就可以表示向量。用矩阵表示波函数的话，波函数的计算规则就和向量的计算规则很相似了，所以态函数也叫态矢量。
我们一般说的矢量是实空间的矢量，而态矢量显然不在实空间中，人们叫态矢量所在的空间为希尔伯特空间。
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