有关无限的悖论(罗素悖论)

─选自《什么是数学》

虽然直觉主义者的那种不妥协立场对大多数数学家来说是太极端了，但是当美妙的无限集理论中出现了一些逻辑上明显的悖论时，集论受到了严重的威胁。人们很快就发现，毫无约束地滥用“集合”的概念必然引出矛盾。有一个由罗素（R.Russell）揭出的悖论可叙述如下。大多数集合不包含它自身作为元素。例如，全体整数集A只包含数为元素;A本身，不是一个整数，而是一个整数集，A并不包含它自身为元素。这样的集我们可以称之为“普通的”。有许多集可能包含它自身为元素，例如集S定义如下：“凡是可以用不超过三十个字来定义的集合是S的元素。”可以看到，S是包含了它自身为一元素的。这样的集我们可以称之为“非普通集”。但无论如何，多数集将是普通的。为了排除“非普通”集的反常状态，我们可以只着眼于所有普通集组成的集，称它为C。集合C的每一个元素本身是一个集合，而且事实上是一个普通集。现在产生了一个问题上：C本身是普通集还是非普通集？它必须是这二者之一。如果C是普通集，由于C定义为包含所有普通集，它包含了它本身作为一个元素。这样的话，C必须是非普通集，因为非普通集是那些包含了它本身为元素的集。这是一个矛盾。因此C必须是非普通集。但这时C包含了一个非普通集（即C本身）为其元素，这与C只包含普通集的定义相矛盾。因此，无论哪一种情形，仅仅是C的存在，就已经使我们陷入矛盾。