文：屠夫1868
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未来一年，请多指教。
这是屠夫的第 120 篇原创，全文 4600 字
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金钱永不眠，屠夫问候各位早安。
今天是基业长红1868开启的一周年，特意憋了个大招，希望大家喜欢。
自2018年10月7日在雪球发出第一篇专栏以来，屠夫已经写了上百篇原创文章。除了与上班族关系最密切的 财商启蒙类文章 外，最热门的要数《硬币赌博三部曲》了。
最初我的想法很简单：用一个简单的掷硬币游戏告诉大家，投资不能只看“概率”，当时并没有打算写成三部曲。
第1部火了之后，我又联想到投资中的“跟庄”现象，于是写出第2部，继续沿用硬币赌局的方式来解释庄家的诡计。
再后来屠夫又写出第3部，展示了极其反直觉却绝对符合逻辑的“三门问题”，以此提醒大家在投资中保持审慎。
至此，虽然三部曲暂告一段落，但还有一点小遗憾：仓位控制，没能来得及写进去。
是的，屠夫在第1部里就提到过“凯利公式”，这是一种源于赛马赌博，可用于仓位控制的策略系统。
仓位控制是一个很大的话题，也是投资里绕不开的话题。今天咱们先把讨论范围缩小，只展示仓位控制的威力——
获胜概率相同，不同仓位控制策略的收益可以相差1140万倍。
让我们重新拾起那枚硬币，再来一次蒙特卡洛模拟*吧~
* 蒙特卡洛模拟又叫统计模拟法。
它利用海量的随机数进行复杂计算，模拟出一个事件的多种可能。
这种方法可以帮助我们快速进行海量试验，详细介绍请自行搜索。
三部曲的第2、3部分别使用了两枚和三枚硬币，规则越来越复杂。这次返璞归真，回到最简单的“掷硬币猜正反”——还是那3条基本规则：
【1】1000名赌徒资金不互通，每局结果相互独立
【2】每名赌徒最多玩1万次，合计1000 * 10000 = 1000万次
【3】当本金余额低于最小下注额时，该赌徒直接爆仓出局
独特之处在于：这次的赌徒猜中的概率是52%，不是五五开。
屠夫在《赌场里的数学家》提过，“不平衡”和“可重复”是取胜的关键。
这次的赌徒同时获得了这两项优势，我们以此模拟【取得微弱概率优势下的投资情况】，验证不同仓位控制策略的效果。
由于赌徒可以通过策略调整每局下注额度，因此有如下3条下注规则：
【1】每名赌徒的本金10000元，最小下注额1，不设最大下注额
【2】当策略要求下注额超出本金余额时，押上全部本金（梭哈）
【3】赔率为1，即：赢了下注本金翻倍；输了赔掉该次下注本金
为了更好地解释仓位控制策略，此次不设最大下注额（最大下注额是为了保护庄家）。只要赌徒本金足够，策略算出来多少都可以押上。
当然，咱们的目的是对比不同仓位控制策略，所以3种策略对应的1千万局结果，必须是一样的。
规则讲完，我们先拿固定下注策略试试。
固定下注策略，就是每次都按相同的额度下注，这种策略类似于投资中的“定投”。
定投在证券市场能赚钱，因为背后的投资标的长期上涨（比如宽基指数）。
而这场游戏由于赌徒的胜率是52%，在一定程度上接近于“长期上涨”的情况，按理来说也是能赚钱——尽管不多。
屠夫将赌徒的每局下注额度固定为最小下注额，看看这种策略的效果如何。
1000万场赌局后，赌徒的本金余额基本围绕均值上下波动。
均值略微向上是因为概率略微占优（胜率52%），但并没有显著优势。
最终统计结果也符合预期：
赌徒平均余额10041元，无人爆仓
固定下注策略下，整个游戏只是一个零和博弈。
赌徒的本金上上下下看似热闹，其实也没有获得概率优势之外的收益。
如果把策略换成更刺激的，“每输一次，下注加倍”，结果又会如何？
马丁格尔策略又叫“马丁派战法”，源自18世纪的法国赌场。这种策略很简单：
每输一次，基础下注额乘以2；
赢一次，下局恢复基础下注额。
如此简单的策略不但易于操作，而且看起来“十分完美”，从直觉上似乎可以获得更高的收益。
当然，马丁格尔策略也因为“乘以2”而被许多人诟病：
在【连败】的情况下，策略给出的下注额度高得惊人，而且很可能超出赌场的下注上限。
为了尽可能测试策略效果，这次令“基础下注额 = 最小下注额”，加上不设下注上限，可以最大限度地发挥策略的效果。
（屠夫注：最小下注额为1而初始本金有1万，连败10局的概率不足1%，此时马丁格尔策略的下注额也只到原始本金的十分之一）
上图展示的是马丁格尔策略下，1000名赌徒的本金余额情况。
乍一看，成绩不错：幸运的赌徒可以让本金增加近50%。
且慢！
大家注意到颜色的变化了吗？
越往后，上半部分的“幸运赌徒”数量就越少，而本金减少甚至爆仓的赌徒却越来越多。
统计结果告诉我们，这不是错觉：
一方面，1000赌徒只有828人活到第1万局
也就是说，尽管屠夫已经将马丁格尔策略的基础下注额降低到本金的万分之一，依然有近20%的赌徒倾家荡产。这还只是1万局的情况，如果赌局数量增加，爆仓出局的赌徒将会有更多。
这是一个很好的提醒：就算概率占优，你也无法确定赢在哪一局；如果仓位控制不慎，有可能会“币毁人亡”。
另一方面，828名幸运儿人均收益45%
如果把爆仓出局的倒霉蛋算上，整个群体的资金只增长了20%——这还是建立在“爆仓出局者0负债”的基础上。
可以说，这部分“超额收益”是以承受爆仓风险为代价换来的。
让我们再看一遍余额变化图的绿色箭头部分：
即便是幸运赌徒，他们的本金也只是随着局数的增加而【线性递增】，只是这个线性递增的斜率高于固定下注策略罢了。
然而屠夫在《指数思维》和《为什么不上班反而越来越有钱》强调过，投资最大的优势就是复利效应，也就是指数递增，毕竟——
投资如果只有线性回报，
跟自己打工有什么区别？
除此之外，策略里的爆仓和收益是个“鱼与熊掌”困境：
想降低爆仓风险，最好调低“基础下注额”
但是调低下注额，又会导致期望收益降低
用术语来讲，这个策略的【夏普比率】并不高。
（屠夫注：夏普比率常用于衡量基金业绩，可以理解为“每承受1单位风险所产生的超额回报”）
马丁格尔这样一个“仅线性回报 + 夏普比率低”的策略，显然不怎么让人满意。
有没有更好的办法呢？
凯利公式由贝尔实验室的数学家约翰·凯利发明，最初的灵感源于赛马。
信息论之父香农和量化投资之父索普，借助数学打破了一些赌博系统的平衡。即便只取得3%左右的优势，也足以横扫拉斯维加斯。
但在此之外，他们发现下注策略对收益有着重要影响，于是吸取了凯利公式作为仓位控制策略，后来也沿用到他们的投资之中。
因为篇幅有限，这里只对凯利公式做简单说明。
普通凯利公式只有2个变量：胜率p和赔率b。p表示一局的获胜概率，b表示赢了能获得b倍于本金的利润。
通过公式
f = ( p * b + p - 1 ) / b
可以求出下注比例f。
凯利公式是一个“按比例下注”的策略。这次试验p=52%，b=1，可以得出f=0.04，也就是每次按4%的比例下注。
上图展示的是凯利公式下，1000名赌徒的本金余额情况。
上图纵轴的单位是10的13次方，也就是10万亿……
而所有赌徒的本金都是1万开始，这意味着 ——
少数幸运儿，成功地赚取超过10亿倍的利润！
就算是观察整体，凯利公式的答卷也十分漂亮：
一方面，1000赌徒全部活到第1万局
在这一点上，凯利公式没有出现马丁格尔策略下的爆仓情形。
另一方面，1000赌徒人均获利2503471倍
是的，马丁格尔策略下只有平均20%收益，而凯利公式获得250万倍收益。
两者完全不在一个量级，凯利公式的结果也更接近于指数增长。
在爆仓风险更低的情况下，凯利公式取得1252万倍 ( 2503470 / 0.2 ) 于马丁格尔策略、6.1亿倍 ( 2503470 / 0.0041 ) 于固定下注策略的收益！
仓位控制策略对收益的影响，不容小觑！
在做最后对比前，屠夫先提醒一句：“基础下注额”会影响马丁格尔策略和凯利公式的爆仓概率。
第3节末尾咱们提过，调低这个参数可以降低爆仓风险，但也会牺牲一部分期望收益。
不同于《给我1枚硬币》专门讲爆仓，这次的反击篇主要是说明不同仓位控制策略带来的收益差异，所以屠夫省略了一部分细节，只在合理范围内设置这个参数。
接下来，屠夫尽量用简单易懂的语言，从统计学角度对比3种策略的指标，希望给大家带来更多“不直观，但严谨”的信息参考。
以下是3种策略里1000名赌徒本金余额的统计指标对比，从左至右分别是固定下注策略、马丁格尔策略和凯利公式：
字太多，我们挑重点来看。
首先是均值和标准差。
固定下注策略的均值仅比初始本金略高，而标准差也是3种策略中最小，这种策略的波动范围很有限。
马丁格尔策略的均值比初始本金多20%左右（按爆仓者0负债算），标准差高于固定下注策略。如果把那200个爆仓出局的倒霉蛋算进来，波动范围恐怕还要更大。
凯利公式的均值已经达到初始本金的250万倍（即250亿），标准差是三者最高，但无人爆仓出局。
然后是中位数和最大最小值。
固定下注策略的中位数和均值相等，最大最小值很接近，下注额小加上胜率仅仅是略微占优（52%），这个差距毫不意外。
马丁格尔策略的中位数约1500，比均值略高，因为已经有爆仓出局的赌徒（资金归0）；最大最小值则差异明显，输家倾家荡产，可是赢家也不过53%的收益。屠夫只能说，马丁不值得……
凯利公式的中位数约3000万，明显比前两个策略高出一大截；最大最小值同样差距甚远，最小者仍然保有0.39%的初始本金，最大者则达到16万亿——没错，从1万变成16万亿，16亿倍的收益……
（屠夫注：凯利公式假设资金“无限可分”，但实际情况不可能这样。试验中规定最小下注额为1，必定令赌徒存在一定爆仓风险。试验中，本金最小的赌徒只剩39元，局数增多的话很可能就爆仓了。）
最后是偏度和峰度。
偏度和峰度，分别是衡量分布对称性和集中程度的系数。分布越是趋近于正态，这两个系数越接近于0——固定下注策略就是如此。
马丁格尔策略的偏度为负，表明数据均值左侧的离散程度强；峰度趋近于0，没有显著的平/尖差异。
存在爆仓归0的情况下，马丁格尔策略的赌徒余额仍然呈现负偏，表明低于均值的极端值较多，因此均值很可能是被少数“负面黑天鹅”给拉低了。
凯利公式的偏度为正，表明数据均值右侧的离散程度强；峰度显著大于0，呈现明显的尖峰形态。
凯利公式下的赌徒余额呈现尖峰，表明结果集中在均值附近，这对赌徒而言是有利的；而正偏则表明少数“正面黑天鹅”可能拉高了均值，也不算坏事。
看不懂偏度和峰度的同学也不用着急，知道结论是“试验结果表明凯利公式牛逼”就行了……
投资，是连接过去与未来的游戏，是连接人性与理性的游戏。
未来波谲云诡，人性复杂难测，造就了千变万化的投资环境。
硬币只有正反两面，看似简单，却能演绎出投资里的诸般变化。
第1枚硬币提醒大家，投资不能只看概率，赔率同样重要；
第2枚硬币提醒大家，跟庄是死在数学之下，一点也不冤；
第3枚硬币提醒大家，只靠直觉很危险，保持理性才能活；
今天掷出第4枚硬币，告诉大家有一种操作叫“仓位控制”。
这次的反击篇，既是基业长红的一周年纪念，也是硬币赌博三部曲的番外，还有可能成为新系列的开始。
看到这里的同学，想必已经忍不住动手查询“凯利公式”了吧？
凯利公式是个很大的话题，今天就此打住，以后有机会再详细聊聊，敬请期待~
过去一年，感谢相伴。
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