中考倒计时|“勾股定理”2015年中考题分类汇编，附详细解析！

前言

直角三角形与勾股定理真可谓是焦不离孟孟不离焦，在考试时肯定是一起出现的，那么在直角三角形中，除了基础的勾股定理以外，还会考察哪些知识呢？锐角三角函数，直角三角形的基本性质等，难度不大，但是很重要，下面数姐给大家整理了今年的部分中考题，大家可以先自己练习一下！

一、选择题

1． （2015·福建第9题   4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于

AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（　　）

A．AD=BD                 B． BD=CD                 

C． ∠A=∠BED          D．  ∠ECD=∠EDC

考点：

作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．

分析：    

由题意可知：MN为AB的垂直平分线，可以得出AD=BD；CD为直角三角形ABC斜边上的中线，得出CD=BD；利用三角形的内角和得出∠A=∠BED；因为∠A≠60°，得不出AC=AD，无法得出EC=ED，则∠ECD=∠EDC不成立；由此选择答案即可．

解答：    

∵MN为AB的垂直平分线，

∴AD=BD，∠BDE=90°；

∵∠ACB=90°，

∴CD=BD；

∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，

∴∠A=∠BED；

∵∠A≠60°，AC≠AD，

∴EC≠ED，

∴∠ECD≠∠EDC．

故选：D．

点评：    

此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

2．（2015福建龙岩8，4分）如图，在边长为

的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（　　）

A．

                  B.   

 

C． 

                 D．  1

考点：    

角平分线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

分析：    

根据△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，得到∠PBC=30°，利用PC⊥BC，所以∠PCB=90°，在Rt△PCB中，

=1，即可解答．

解答： 

∵△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，

∴∠PBC=

 ∠ABC =30°，

∵PC⊥BC，

∴∠PCB=90°，

在Rt△PCB中，

=1，

∴点P到边AB所在直线的距离为1，

故选：D．

点评： 

本题考查了等边三角形的性质、角平分线的性质、利用三角函数求值，解决本题的关键是等边三角形的性质．

3. （2015·北海,第12题3分）如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（　　）

 A． （4，8）        B． （5，8） 

C．

       D． 

考点： 

翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．

专题： 

计算题．

分析： 

由四边形ABCD为矩形，利用矩形的性质得到两对边相等，再利用折叠的性质得到OA=OD，两对角相等，利用HL得到直角三角形BOC与直角三角形BOD全等，利用全等三角形对应角相等及等角对等边得到OE=EB，在直角三角形OCE中，设CE=x，表示出OE，利用勾股定理求出x的值，确定出CE与OE的长，进而由三角形COE与三角形DEF相似，求出DF与EF的长，即可确定出D坐标．

解答：

∵矩形ABCD中，OA=8，OC=4，

∴BC=OA=8，AB=OC=4，

由折叠得到OD=OA=BC，

∠AOB=∠DOB，∠ODB=∠BAO=90°，

在Rt△CBP和Rt△DOB中，

，

∴Rt△CBP≌Rt△DOB（HL），

∴∠CBO=∠DOB，

∴OE=EB，

设CE=x，则EB=OE=8﹣x，

在Rt△COE中，根据勾股定理得：

（8﹣x）²=x²+4²，

解得：x=3，

∴CE=3，OE=5，DE=3，

过D作DF⊥BC，可得△COE∽△FDE，

点评： 

此题考查了翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．

二、填空题

1． （2015，广西柳州，16，3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，则sinB=　　．

考点：    

锐角三角函数的定义；勾股定理．

分析：   

根据锐角三角函数定义直接进行解答．

解答：   

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，

∴sinB=

=

．

故答案是：

．

点评：    

本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

2. （2015·北海,第16题3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE=8　．

考点： 

含30度角的直角三角形；正方形的性质．

分析： 

先由正方形的性质可得∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，由∠CAE=15°，根据平行线的性质及角的和差得出∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=30°．然后在Rt△ADE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到AE=2AD=8．

解答：

∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，

∴∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，

∵∠CAE=15°，

∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．

∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，

∴AE=2AD=8．

故答案为8．

点评： 

本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了正方形的性质，平行线的性质．求出∠E=30°是解题的关键．

3. （2015·黄冈,第14题3分）在△ ABC 中,AB=13cm,AC=20cm,BC 边上的高为12cm,则△ABC 的面积为__________cm2.

考点：

勾股定理．

分析：

此题分两种情况：∠B 为锐角或∠B 为钝角已知AB、AC 的值，利用勾股定理即可求出BC 的长，利用三角形的面积公式得结果．

解答：

当∠B 为锐角时（如图 1），

     在Rt△ABD  中，

     BD=

=5cm ，

     在Rt△ADC  中，

     CD=

 =16cm ，

      ∴BC=21 ，

      ∴S△ ABC=

   =

 ×21×12=126cm  ；

当∠B 为钝角时（如图2 ），

     在Rt△ABD  中，

     BD=

=5cm ，

     在Rt△ADC  中，

     CD=

=16cm ，

      ∴BC=CD ﹣BD=16 ﹣5=11cm，

      ∴S△ ABC=

=

×11×12=66cm  ，

  故答案为：126 或66 ．

点评：

本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，画出图形，分类讨论是解答此题的关键．

4. （2015·黑龙江哈尔滨，第20题3分）（2015·哈尔滨）如图，点D在△ABC的边BC上，∠C+∠BAD=∠DAC，tan∠BAD=

，AD=

，CD=13，则线段AC的长为　　．

考点： 

勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形．

分析：

点评： 

考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是根据勾股定理得到AG和CG的长．

5. （2015·山西,第15题3分）太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是　　cm．

 

考点：    

勾股定理的应用．

分析：    

分别过点A作AM⊥BF于点M，过点F作FN⊥AB于点N，利用勾股定理得出BN的长，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．

解答：    

过点A作AM⊥BF于点M，过点F作FN⊥AB于点N，

∵AD=24cm，则BF=24cm，

∴BN=

=

=7（cm），

∵∠AMB=∠FNB=90°，∠ABM=∠FBN，

∴△BNF∽△BMA，

则：

故点A到地面的距离是：

．

故答案为：

．

点评：    

此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，得出△BNF∽△BMA是解题关键．

6. （2015·贵州省贵阳,第14题4分）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是　　．

考点：    

几何概率；勾股定理．

分析：    

首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出针扎到小正方形（阴影）区域的概率．

解答：   

直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则小正方形的边长为1，根据勾股定理得大正方形的边长为

，

=

，针扎到小正方形（阴影）区域的概率是

．

点评：    

本题将概率的求解设置于“赵爽弦图”的游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．易错点是得到两个正方形的边长．

7.（2015·贵州省黔东南州,第6题4分）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（　　）

A．

                B．

 

C． 12               D．   24

考点：    

菱形的性质．

分析：    

设对角线相交于点O，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可．

解答：

如图，设对角线相交于点O，

∵AC=8，DB=6，

∴AO=

AC=

×8=4，

BO=

BD=

×6=3，

由勾股定理的，AB=

=

=5，

∵DH⊥AB，

∴S_菱形ABCD=AB·DH=

AC·BD，

即5DH=

×8×6，

解得DH=

．

故选A．

点评：   

本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程．

8. （2015·辽宁省朝阳,第14题3分）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为　2.9　米（结果精确到0.1米，参考数据：

=1.41，

=1.73）．

考点：    

勾股定理的应用．

分析：    

首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4m，再根据勾股定理可得MC²+MB²=（2MC）²，代入数可得答案．

解答：   

由题意可得：∵AM=4米，∠MAD=45°，

∴DM=4m，

∵AM=4米，AB=8米，

∴MB=12米，

∵∠MBC=30°，

∴BC=2MC，

∴MC²+MB²=（2MC）²，

MC²+12²=（2MC）²，

∴MC=4

﹣4≈2.9（米），

故答案为：2.9．

点评：    

此题主要考查了勾股定理得应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．