[摘要]直线与圆的位置关系这是大家都非常关心的题型。当直线与圆相交时就产生了不同的图形，这些图形存在着面积最值问题。根据教学过程中的实际总结，给出几种情况下的不同解法。选择不同的方法，对于学生的思维能力、探究能力、计算能力、推理能力、叙述表达能力、创新能力等都起到了很好的训练作用，学生感受到不同方法的特点，唤起了进一步探究问题的好奇心和强烈的求知欲望。
[关键词]相交，面积最值，垂径
任意一条直线与圆有相离、相交和相切三种位置关系。当直线与圆相交后，就产生了一些图形，如三角形、四边形等。随着直线的变化，这些图形的面积也随之发生着变化，这就产生了面积最值问题。各位学生思考一下如何直线与圆相交情况下的面积最值问题？我们一起来探讨一下下面一道题目。
例：已知圆o:x2+y2=9，点a(2,2)，过a作两条互相垂直的弦cd和ef:
（1）求△oef面积的最大值；
（2）点b(1,1)，过b作一直线l交圆o于k、h，求△okh面积的最大值;
（3）四边形cedf的面积的最大值；
（4）点c(3、4)，过c作一直线l交圆o于p、q，求△opq面积的最大值。
各位同学思考一下有哪些解法。
分析：
（1）这道题目有两种解法：
法一：利用正弦定理中的面积公式：s=■r2sinθ=■sinθ，当角θ=∠eof=90°时，△oef面积取得最大值■；
法二：取ef中点w，则
s=■ow·ef=ow·we
=ow·■
（当且仅当ow2=9-ow2，即ow=■时取等号）
（2）问大部分同学会利用同（1）问中的两种方法，得到答案同（1），事实上却是错了，为什么呢？错误的都是一样忽略了自变量的取值范围或者上一问中的最值在本问中能否取到。
如法一，∠koh能取到90°么？那就要求出∠koh的最小值！如果∠koh的最小值小于或等于90°，∠koh就能取到90°，否则不能。取kh中点z。当oz⊥kh时，∠koh最小。此时，cos∠koh=■=-■，则∠koh的最小值是一钝角，钝角的正弦值是单调递减的，则当∠koh最小时，△okh面积取得最大值s=■×9×■=■。
小结：圆m(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r＞0)内有任一点a(a,b)，过a作一条直线与圆交于b、c，则三角形mbc面积的最大值是多少？以m为圆心、■r为半径做一圆，点a落在圆内或圆上时，三角形mbc面积的最大值为s=■r2；点a落在两圆之间时，当∠bmc取得最小时，三角形mbc面积取得最大值，即bc中点与m连线和bc垂直时。（同（2）问）
法二用了基本不等式，用于（2）问时等号能成立么？这就要求出oz（z为kh中点）的范围。当oz⊥kh时，oz取得最大值■，则oz的取值范围为(0,■]。
s=■oz·kh=oz·zh=oz·■=■
如果使用基本不等式成立的条件是oz=■，不在内(0,■]。（（1）问中ow的范围为(0,2■]，条件成立）。这时只能利用函数法求最值：
s=■=■=■，利用二次函数的性质，当oz2=2时，△okh面积取得最大值■。
由这二问我们得一结论，以后做最值问题我们一定要注意检验等号成立的条件。
（3）析：这一问你们拿到手可能会直接设直线cd斜率为k(k≠0)，写出cd的直线方程及ef的方程。可是计算非常复杂，很难算出结果，束手无策。我请问各位同学你们在圆中遇到弦，经常怎样处理？我想你们会立刻想到：“取中点，利用垂径定理。”
取cd和ef的中点g和h，
cd2+ef2=4(eg2+dh2)=4(oe2-og2+od2-oh2)=4[18-(og2+oh2)]=4(18-oa2)=40
s=■cd·ef≤■(cd2+ef2)=10(当且仅当cd=ef时取等号)
同样也可求出四边形cedf的面积的取值范围,代入消元，求出另一元的不范围就可。
cd∈[2,6]
s=■cd·ef=■■=■■=■■
，cd2∈[4,36]，则s∈[6,10]
（4）点c(3,4)在圆o:x2+y2=9的外部，s△opq
=■op·oqsin∠poq≤■×9=■（当∠poq=90°时取等号）（省镇中夏良娟）
来源： 京江晚报
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