干支纪年与公元纪年互化中蕴含的数学思想

一、引言

二、预备知识

为更好地了解公元纪年和干支纪年转换中蕴含的数学思想，我们首先要弄清楚一些天干、地支等基本术语及天干、地支的排列规律.下面对基本知识进行梳理：

1.天干地支简介

天干地支简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.

10天干为“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”.《群书考异》认为，甲，有种子外皮破发面明芽的意思，即是说万物撕裂外壳而生发出来.《易经》 说:各种草木都是从种子中裂壳而出的.乙，指万物刚刚开始生长，枝蔓弯曲还没有伸展开来.丙，指能够清楚地看出万物的蓬勃发展.丁，指万物壮实的形象，如《邦国图藉》所说:“已经成年了”.成，就是茂，说明万物的茂盛，如《汉志》所说:“万物在戊上开始茂盛”.己，就是纪，说明万物都有各白的形状，可以用来记录和分辨.庚，就是坚强的样子，说明万物开始收敛而产生了果实.辛，指万物正兴盛地生长时却受到了克制，所以就有了辛痛的感觉.壬，就是好，明阳相交后开始孕育新的生命，说明生命萌发之前的怀学阶段.癸，指冬李的土壤已经平复，万物也可以被估量了.^[4]

12地支为“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”.子，就是孳,阳气开始萌发，幼芽在地下生长.丑，就是纽，寒气开始收缩.寅，就是髌，阳气准备出来，阴气还很强，所以阳气在地下演化万物.卯，就是冒，万物从地下冒出.辰，就是伸，万物都舒展伸出.已，就是已,阳气已经完全覆盖了万物.午，就是仵，阴阳相交，彼此都非常强大，力量等同.未，就是昧，太阳过了天空的正中就开始倾斜，阳光也开始变得幽暗起来.申，就是伸展成熟，所以《晋志》说:“万物的形体都已经成熟了”. 酉，就是酒，万物成熟了，可以酿酒.戌，就是灭，万物都衰亡灭绝.亥就是核，万物都变成坚核可以被收藏了.^[4]

2.干支纪年表简介

干支纪年是十天干和十二地支依次两两相配，即从“甲子”开始，直到“癸亥”止，一共组成60个不同的干支，组成60个基本单位.干支纪年每60年循环一次，周而复始，人们也将60年称为一个周期，也称为一个“甲子”，具体见表1.

注:(58)辛酉是公元元年，也称公元1年.

表1是后面干支纪年与公元纪年转换计算的有力工具.下面是推算表1的3种方法：

方法1：按照天干地支的规律，在转换计算前，推算写出这个表格.

方法2：在上表中，添加了60个数字作为各自序号，辅助记忆60个天干地支元素，方便用于公元纪年与干支纪年的转换（后面做介绍）.观察表1的60个序号不难发现，10天干依次确定了这个表格的个位数（1到0）.地支本身编号（1到12依次的号码）加12K（K可以为0、1、2、3、4），可以有5个序号数，其中一个数的个位数必与天干确定的个位数一致，这就可以根据序号推算干支，或者根据干支推算其所在的序号了^[2].例如，要找“辛丑”的序号数.“丑”排第2位，它本身的编号为2，加12K有2、14、26、38、50这五个序号数，“辛”排天干的第8位，说明表1中，“辛丑”的序号个位为8，综上所述，“辛丑”在表1的序号就为38.

方法3（已知干支求序列号）：我们知道，10个天干和12个地支的最小公倍数是60，60年中10个天干循环了6圈，12个地支循环了5圈，然后开始新的重复循环.有以下公式求得干支序号：

（天干本身编号×6-地支本身编号×5）

若为正数，所得结果就是干支序数.若为零或负数，用60加所得数即为干支序数.例如求“庚子”在表1中的序号，“庚”排第7位，“子”是第1位，序号=7×6-1×5=37.

等价于干支序数=（天干本身编号×6-地支本身编号×5） 60×（0或1），注意：天干本身的编号是指从甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸依次从1到10编号，地支则相应的从1到12编号.证明如下：

已知干支纪年ab(a为天干本身编号，b为地支本身编号)，假设它在60甲子中排第n位(即假设干支数为n).则：

上面是准备工作，下面我将详细说明在公元后，干支纪年和公元纪年的互化方法及其蕴含的数学思想.

三、干支纪年和公元纪年间的互化

方法1由表1里干支的序号，需记住公元元年（又称公元1年的干支是辛酉），即得辛酉的顺序号是58；接着推知公元2年的干支是壬戌，公元3年的干支是癸亥，公元4年就是新周期的开始，干支为甲子.以公元4年（农历甲子年）为参照，将已知的公元年份除以60，得到的余数减3便得该年的干支序号数，即

公元年份／60—3=干支序号^[3]

再查表1的干支便知干支纪年.如果序号数小于、等于0则加60.例如2018年的干支是2018/60=33余38，38-3=35，查表1知今年为戊戌年.

弄清楚上面的方法，干支纪年换算成公元纪年也简单了，方法如下：

60N 3 干支序号（N为自然数）

例如：戊戌变法大概发生在19世纪下半叶，因此有60×31 3 35=1898年(这里N只能为31，否则年限不能在19世纪下半叶).

方法2公元4年是甲子年，从公元4年（甲子年）起，是一个新的循环.天干为10个一循环，地支为12个一循环.因此，我们可以列方程式子来分别求得天干、地支的序号，根据表2和表3就能推算出干支的组合.

实际上就是将10天干和12地支分别从4开始编号.在实际应用中，只要记住这个对应关系，对给定一个任意的公元纪年，就能比较容易地计算出公元纪年的干支.考试时，用这个方法就简便省时.例如教师资格证考试综合素质（中学）的试卷上有这样一道题,题干为：“我国农历以干支纪年，1989年是农历己巳年，据此推算，20年后应该是（ ）”，1989年往后推20年就是2009年，2009年的个位数为9，直接就可以确定“己”，2009除以12余5，对应“丑”，所以2009年为己丑年.

根据表4确定干支纪年对应公元纪年的个位数字，可作为选择题排除选项的方法.另外用法1或法2将干支纪年化为公元纪年时，检验是否计算正确.

四、干支纪年与公元纪年互化中蕴含的数学思想

所谓数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想.^[6]了解数学思想是提高干支纪年转化为公元纪年能力的根本所在，灵活运用数学思想，能够深入理清干支搭配的规律、干支纪年的规律，从而找出干支纪年和公元纪年之间的关系.干支纪年与公元纪年的互化中蕴含着丰富的数学思想.

1.数形结合思想

华罗庚教授精辟地概括了数形结合方法的内涵：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边分.数缺形时少直觉，形少数时难入微.数形结合万般好，割离分家万事非.切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”数形结合思想就是将数学中数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略，通过深入地观察、联想，由数思形，实现抽象思维与形象思维的结合与转换. 上述3种方法在转化中将抽象的文字语言借助图表直观形象的表示，体现了数形结合思想.数形结合的运用降低了问题的难度，使原本抽象的问题更加直观、形象.

2.方程思想

方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）来使问题获得解答.方法2通过干支纪年与公元纪年之间相等的数量关系，列出方程式子，再对照天干和地支各自的编号，能简便地将二者互相转化.这充分体现了方程的思想.

3.化归与转化的思想

化归是转化和归结的简称.基本思想是：在解决问题时，将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对容易解决或已有固定解决程式的问题，且通过对问题B的解决可得到原问题的解答. 其中，问题B常被称为化归目标或方向，转化的手段称为化归策略.^[6]化归思想解题的关键是化陌生为熟悉.三种方法均体现了化归与转化思想，比如：方法1将陌生的60对文字编上序号，从序号入手，用序号代替干支进行熟悉的数学运算;方法2借助表1的序号列方程式，找余数，再借助表2和表3，较简便地完成干支纪年和公元纪年的互化；方法3巧妙地将10天干和12地支编号，使得公元纪年的个位数字与天干的编号相同，公元纪年除以12后的余数与地支编号相同，将文字对应数字.

五、结语

从数学思想层面看三种转化方法，可以更深刻理解两种纪年法间的关系.这对理解公元纪年和干支纪年中的转化规律有积极作用.最后指出，本文由三种转化方式介绍了三种数学思想，当然从其余角度可以得到不同的思想方法.希望读者继续研究两者转化中蕴含的数学思想.

参考文献

[1].杨荣新. 怎样巧推农历“干支”纪年所对应的公元纪年[J]. 文史杂志, 1999(4):74-75.

[2].刘耳, 邹莉萝, 刘桥. 甲子与干支纪年研究[J]. 高等建筑教育, 2010, 19(1):159-163.

[3].刘彦林. 公元纪年与干支纪年互换的几种方法[J]. 开封教育学院学报, 2013(1):19-21.

[4].徐子平. 图解干支密码,①, 渊海子平, 命理宗师教你看穿一生运势吉凶[M]. 西安：陕西师范大学出版社,2014:57-58.

[5].施冠群.怎样速算公元日期的星期与干支[M].北京：中国农业科学技术出版社,2015:29.

[6].钱珮玲, 邵光华. 数学思想方法与中学数学[M]. 北京：北京师范大学出版社, 1999：2-46.