从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。
在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。
数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。
危机产生 - 希帕索斯悖论
毕达哥拉斯学派（公元前500年）信奉数是万物的本源，事物的性质是由某种数量关系决定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序；“一切数均可表成整数或整数之比'。
后来，毕达哥拉斯证明了勾股定理，但同时发现“某些直角三角形的三边比不能用整数来表达'。不过毕达哥拉斯选择隐瞒实情，装作不知道。
希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？这就是希帕索斯悖论，他本人因为此事被抛入大海！
危机的缓解
二百年后，欧多克索斯建立起一套完整的比例论，巧妙地避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，缓解了数学危机。
但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。 危机并没有解决只是被巧妙避开。
危机的解决
直到到十九世纪下半叶，实数理论建立后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学中合法地位的确立，才真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。
危机产生 - 贝克莱悖论
十七世纪，牛顿与莱布尼兹各自独立发现了微积分，但两人的理论都建立在无穷小分析之上。
贝克莱提出了一个悖论，求x^2的导数时会有如下奇怪情形出现。
无穷小量在牛顿的理论中“一会儿是零，一会儿又不是零”。贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。
危机的缓解
十九世纪七十年代初，魏尔斯特拉斯、柯西、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，在实数理论基础上，建立起极限论的基本定理，缓解了危机。
但又出现新的问题 ：魏尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子，说明直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。推动数家们更深入地探讨数学分析的基础——实数论的问题，导致了集合论的诞生。
危机产生 - 罗素悖论
集合论产生：十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论。刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。 后来数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。“一切数学成果可建立在集合论基础上”。
但是不久伯特兰·罗素（Bertrand Russell，1872—1970）提出了一个悖论，可以用一个理发师问题进行通俗的描述：塞尔维亚有一位理发师，他只给所有不给自己理发的人理发，不给那些给自己理发的人理发。 问：他要不要给自己理发呢？
如果他给自己理发，他就属于那些给自己理发的人，因此他不能给自己理发。如果他不给自己理发，他就属于那些不给自己理发的人，因此他就应该给自己理发。(严格的罗素悖论: S由一切不是自身元素的集合所组成。 罗素问：S是否属于S呢？)
德国数学家、逻辑学家弗雷格: “一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。
危机的缓解
库尔特·哥德尔（Kurt Godel）1931年成功证明： 任何一个数学系统，只要它是从有限的公理和基本概念中推导出来的，并且从中能推证出自然数系统，就可以在其中找到一个命题，对于它我们既没有办法证明，又没有办法推翻。
哥德尔不完全定理的证明结束了关于数学基础的争论，宣告了把数学彻底形式化的愿望是不可能实现的。
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历史上的三次数学危机,给人们带来了极大的麻烦,危机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷,科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个新阶段,所以悖论是科学发展的产物,又是科学发展源泉之一。
via：imath
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