以“神舟六号 载人飞船出的数学试题

“神舟六号”载人飞船于2005年10月12日上午9点整在酒泉航天发射场发射升空．由长征运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h₁，飞船飞行五周后进行变轨，进入预定圆轨道，如图所示．在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，于10月17日凌晨在内蒙古草原成功返回．已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R．求：
（1）远地点B距地面的高度h₂．
（2）沿着椭圆轨道从A到B的最短时间．（用h₁、h₂、R、g表示）

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分析：（1）根据万有引力提供向心力，

GMm

r2

=mr(

2π

T

)2，已知周期，求出轨道半径，从而求出高度．
（2）根据开普勒第三定律

R3

T2

=C，求出椭圆轨道的周期．

解答：解：（1）飞船在B点所受的万有引力提供向心力：

GMm

r2

=mr(

2π

T

)2，
T=

t

n

所以：r=

3	GMt2 4π2n2

由黄金代换式GM=gR²，r=

3	gR2t2 4π2n2

所以：h2=

3	gR2t2 4π2n2

-R
故远地点B距地面的高度为．
（2）椭圆轨道的半长轴：R′=

r+R+h1

2

根据开普勒第三定律

R′3

T′2

=

r3

T2

联立以上几个公式解得：T′= 

R′3T2 r2

=2π

(2R+h1+h2)3 8gR2

所以沿着椭圆轨道从A到B的时间t′=

T′

2

=π

(2R+h1+h2)3 8gR2

答：（1）远地点B距地面的高度h2=

3	gR2t2 4π2n2

-R．
（2）沿着椭圆轨道从A到B的最短时间π

(2R+h1+h2)3 8gR2

．

点评：解决本题的关键掌握黄金代换式GM=gR²，万有引力提供向心力，

GMm

r2

=mr(

2π

T

)2，以及开普勒第三定律