第59期 勾股定理与折叠问题的不解之缘

勾

股定理刻画的是直角三角形中三边的数量关系，而折叠问题的实质是轴对称，那么，勾股定理与折叠问题之间又有着怎样的不解之缘呢？让我们一起走进本次探索之旅.

1.直角三角形中的折叠

例1 如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm,BC=10cm,将△ABC折叠，使得B与A重合，折痕为DE,则CD的长为________.

分析： 折叠意味着轴对称，折叠前后的图形全等，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中，如果题目中有直角，则通常将条件集中于直角三角形中，便可利用勾股定理求解。

解：设CD=xcm,则DB=(10-x)cm,如图

由题意，根据折叠的性质，

△ADE≌△BDE,

则AD=BD=10-x, 且 AC=5.

在Rt△ACD中，由勾股定理得，

AD2=AC2 CD2，

（10-x）2=52 x2,

x=15/4.

2.矩形中的折叠

例2 如图所示，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。

分析：此题与例1相比，直角三角形比较多，究竟把条件集中到哪一个直角三角形中呢？明确EC在Rt△EFC中，把重点放到Rt△EFC的三条边上.

解：

根据折叠可以知道△AFE≌△ADE，其中AF=AD=10cm，EF=ED，

∠AFE=90°，并且EF＋EC=DC=8cm。

在Rt△ABF中，根据勾股定理可以得出BF=6cm，则FC=4cm，

在Rt△FEC中，可以设EC=xcm，则EF=(8－x)cm，

根据勾股定理可以得EC2＋FC2=EF2，

即x2＋42=（8－x）2,x=3，

∴EC的长为3cm.

方法小结：

1.利用折叠，找全等三角形，找对应相等的边；

2.标出题目中的已知线段，设出要求的线；段，标出题目中所有可以表示出的线段；

3.找直角三角形，建立等量关系；

4.列方程，解方程。

其他常见折叠方法

在求解上述折叠问题的过程中，通常在蓝色三角形中建立等量关系求解，三个图中的绿色三角形都是等腰三角形，通常用于线段长度的代换。

中考直击

（2011 威海）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK.

⑴若∠1=70°，求∠MKN的度数；

⑵△MNK的面积能否小于1/2？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；

⑶如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求出最大值. 

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2011威海

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