板块二：直线型路径之隐线（段）
初中阶段，常见的路径主要有两种：一种是曲线型路径，一般为圆（弧）；另一种是直线型路径，一般为直线（段）.当然还有一种可能，路径可能还会有来回，这一点会在第三板块中提及与介绍.
直觉上，直线型路径应该会比圆弧型路径简单，但笔者认为有的时候直线型路径反而稍麻烦些，它并不像圆弧型路径那样，“套路”明显，一般即为“定义法”或“定边对定角”等，所以本文先引出“路径之隐圆（弧）”，再引进“路径之隐线（段）”.
当然，直线型路径也有“套路”，笔者先类比轨迹圆（弧）的方式，介绍判断直线型路径的几种常见方法，然后再辅以例题解析，尽量让同学们对于直线型路径问题也能形成自己的解题套路及解题策略！
一、直线型路径的几种判断方法
方法一（平行距离法）：
类比圆的集合定义，即“在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合”，可以引进直线型路径的第一种判定方法，笔者称之为“平行距离法”.
我们知道，到定直线l的距离等于定长d的点的轨迹，是平行于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长d的两条直线，如下图所示.
据此，只要说明目标动点到某条定直线的距离为定值，就可以推出此动点一定在某条定直线上运动，即该动点的路径为直线（段），笔者称之为“平行距离法”.
类比归纳：
简而言之，到定点的距离等于定长的点的轨迹可以断定是一条圆（弧）；而到定直线的距离等于定长的轨迹一定是一条直线（段）！越类比、越深刻、越有趣！
实战分析：
例17.（题目来源：2016年山东日照）
阅读理解:
我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．例如：角的平分线是角的内部到角的两边距离相等的点的轨迹．
问题：如图17-1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连结AM交EF于点P，那么动点P为线段AM中点.
知识应用：
如图17-2，已知E、F为等边△ABC边AB、AC上的两动点，连结EF.若AF=BE，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动路径的长.
简析：此题是2016年中考真题的前两问，如图17-1，首先容易得到动点P的运动路径是线段EF，其实该问可以改编成如下更有趣的说法：
(改编题) 如图17-3，在△ABC中，BC=8，M是边BC上一动点，连接AM，取AM的中点P，随着点M从点B运动到点C，求点P运动的路径长.
解题后反思：这道改编题就充分运用了上面提及的“平行距离法”，巧妙利用中点构造了中位线模型，且用了两次，进而解决问题，题目短小而精悍，严格说理也并非很容易，值得同学们用心深思.
解法二（瓜豆秒杀法）：
此改编小题，若采取“瓜豆原理”，借助“捆绑变换”，是很显然的事，具体解释如下：
由点P为线段AM的中点，易知从动点P可以看成主动点M以定点A为位似中心，位似比为0.5缩小而来；
如果你觉得一个点在作位似变换很奇怪，那么也可以看成是线段在作相应的变换，即线段AM以定点A为位似中心，位似比为0.5缩小而得到线段AP；
这就不奇怪了吧，其实有关线段的中点问题，经常可以这样看待；
每一个从动点P都是由相应的主动点M如此变换得到，这样一来，从动点P的路径肯定也是主动点M的路径，即线段BC如此变换而来；
“种瓜得瓜，种豆得豆”，很显然从动点P的路径也是一条线段，即为ABC的中位线EF！
其实题目要求的是动点P的路径长，当你分析到“从动点P可以看成主动点M以定点A为位似中心，位似比为0.5缩小而来”时，熟练的话，就可以直接秒杀问题了，即从动点P的路径长定是主动点M的路径长的一半，即为BC的一半，搞定，Easy的不要不要滴！
下面再来解决知识应用：
第一步（构造共顶点的双等边三角形）：
如图17-6，在边BC上截取BM=BE=AF，则易知CM=CF，从而△BEM与△CFM都是等边三角形；
第二步（证得“平四”）：由双等边三角形△BEM与△CFM，易证得四边形AEMF为平行四边形；
第三步（同一法转移中点Q）：如图17-7，连接AM，则由□AEMF易知，AM与EF互相平分，即EF的中点Q也是AM的中点；
第四步（平行距离法或瓜豆原理秒杀路径）：这样问题不就转化为了前面的改编题了嘛！无论是用“平行距离法”还是用“瓜豆秒杀法”都可以轻松搞定，答案为4，不再赘述！
解题后反思：此题通过在边BC上截取BM=BE，恰到好处地利用了BE=AF，推导出CM=CF，进而得到了共顶点的双等边三角形，辅助线的构造“异想天开”、美妙精彩；
然后识别平行四边形，借助一定的“同一法思想”，巧妙地将EF的中点Q转移到了AM的中点上，这样问题就转变成了前面刚刚解决的问题，妙到毫巅，值得深思；
经于头提示：上面的问题可以变成更本质思考：
本质问题1：在△AEF中，∠EAF=60°，E、F为两动点，但始终有AE AF为定值8，求EF的中点Q的轨迹长.
或者变成更一般的情形：
本质问题2：在△AEF中，∠EAF为定角2α，E、F为两动点，但始终有AE AF为定值a，求EF的中点Q的轨迹长（用α与a的代数式表示）.
这就是神奇的于头，其实这个问题跟上面的问题真的是殊途同归，且更本质、更直接，但又可以转化为上面的问题来解决，极其有趣，敬佩于头的敏锐与机智！大家可以想一想这两个本质问题如何求解，后续笔者会单独说明，作为路径番外篇，哈哈！
此题在图17-7的基础上，若连接BF、CE，又会形成一个很有趣的“定边对定角模型”，让我们通过下面这个变式，巩固这个常用的模型.
变式：如图17-8，已知E、F为等边△ABC边AB、AC上的两动点，且AF=BE.连结CE、BF交于点T，若等边△ABC的边长为6，求点T运动的路径长.
解法一（全等法 定边对定角）：
第一步（识别全等三角形）：如图17-9，由AF=BE易证△AFB≌△BEC（SAS）；
第二步（导角得定角）：如图17-10，由△AFB≌△BEC导角易得∠FTC＝60°，从而有∠BTC＝120°
第三步（识别定边对定角模型）：如图17-10，锁定所需结构，即定边BC对定角∠BTC；
解题后反思：解法一通过全等导角，识别“定边对定角”模型，利用轨迹圆巧算路径长；其实这道变式题还可以受原题中知识应用解法的联想，同样通过构造共顶点的双等边三角形模型来解决，而且此问题恰好变成了板块一中例15的原题，如图17-13所示，不再详述；
值得一提的是，图17-13中隐去了点A，而且将点M的精确作圆画图法体现了出来，学生注意下即可；
另外，这个有趣的构造法同时解决了原题中知识应用及其变式，将这两个问题类比在一起进行分析、反思，则更加有趣！它让我们再次感受到了数学类比、数学联想的十足趣味性以及数学构造无限的可能性！
例18.（2012年张家界中考题）如图18，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在线段AB的同侧分别作等边△APE和等边△PBF，G为线段EF的中点，当点P由点C移动到点D时，求点G移动的路径长．
解法一（构造平行四边形 中位线模型）：
第一步（构造平行四边形）：如图18-1，延长AE、BF交于点Q，易证得四边形PEQF为平行四边形，且易知△QAB也是一个等边三角形；
其实此时，问题已经转化为了例17中知识应用中的问题，下面再重复一遍，巩固应用；
第二步（同一法转移中点G）：如图18-2，连接QP，则由□PEQF易知，QP与EF互相平分，即EF的中点G也是QP的中点；
第三步（平行距离法或瓜豆秒杀法）：接下来，无论是利用“平行距离法”还是用“瓜豆秒杀法”都可以轻松确定动点G的路径，如图18-3所示，找到点G的起始位置、终止位置，则动点G的路径即为△QCD的中位线G1G2，等于为CD的一半，长为2，问题得解！
解题后反思：解法一通过延长，构造平行四边形，巧妙将中点转移，利用三角形的中位线或瓜豆原理即可实现秒杀，操作起来更简单易行；解法二通过作垂线，构造梯形的中位线模型，证明目标动点到定直线的距离为定值确定路径是直线型，即吾所谓的“平行距离法”，再通过“临界点法”找到动点的起始位置与终止位置，进而得到所求路径长，但因为起点与终点的确定，相对复杂了一些，线条太多了一些，所以解法二比解法一稍繁琐了一些！
但解法二其实还可以借助巧妙的转化，实现解法优化处理，但需要具备一定的转化能力与分析问题、解决问题的能力，具体可如下操作：
变式1：如图18-10，已知线段AB＝6，P是线段AB上一动点，在线段AB的同侧分别作等边△APE和等边△PBF，求EF的最小值．
这里笔者提供两种有趣的通解通法，一为几何构造法，二是代数计算法：
解法一（几何构造法）：如图18-11，构造相应辅助线，则易知EG=MN=3，由“斜大于直”易知EF≥EG=3，当且仅当EF∥AB时，由“超级对称”易知此时点P恰好处于AB的中点处取等号，故所求EF的最小值为3，当且仅当“超级对称”，即点P位于AB的中点时取到最小值，问题得解；
解法二（代数计算法）：由点P是第一个动点，即“主动点”，可设AP=EP=x，则BP=FP=6-x，且易知∠EPF=60°，从而△EPF确定，解此三角形即可，如图18-12所示，作EG⊥PF于点G，然后将所求EF的平方表示成x的二次函数，利用配方法求其最值即可，不再详述；
解题后反思：上述两种解法相得益彰，前者为简洁大方的几何构造法，计算极其容易，但需要一定的几何构造思维力；而后者为稳重踏实的代数计算法，重在计算，以算说理，几乎没什么思维量，两种解法都是在很大范围内普适的通解通法，你值得“双拥有”！
其实观察图18-12，这个问题等价于一个更具有代表性的几何问题：
本质问题3：在△EPF中，∠EPF为定值2α，PE PF也为定值a，求EF的最小值（用α与a的代数式表示）.
其实通过以上解法，大家可以看出当PE=PF时，EF取得最小值，这也是一种极其重要的几何直观、超级对称意识，哪怕猜错了，也无所谓，有的时候，直观想象力比逻辑推理力更重要，当然两者若能结合，则堪称完美！
与前面结合，共三个本质问题，而且它们之间有一定的联系，后续番外篇，敬请期待，建议大家可以先想一想！
变式2：将原题中的等边三角形都改为等腰直角三角形，其他条件不变，如图18-13所示，求EF的中点G的路径长.
简析：原题中的两种解法均可以解决此变式；
构思一（造平四，瓜豆秒）：如图18-14，构造□PEQF，其实它更是一个矩形，下略；
构思二（造梯形，中位线）：如图18-15，构造梯形EMNF，同前分析，下略；
变式3：如图18-16，已知线段AB＝6，P是线段AB上一动点，在线段AB的同侧分别作等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，求EF的最小值．
此变式，因其特殊性，可以有三种解法，前两种属通解通法，最后一种属“特事特办”：
解法一（几何构造法）：如图18-17，构造相应辅助线，则易知EG=MN=3，由“斜大于直”易知EF≥EG=3，当且仅当EF∥AB时，由“超级对称”易知此时点P恰好处于AB的中点处取等号，故所求EF的最小值为3，当且仅当“超级对称”，即点P位于AB的中点时取到最小值，问题得解；
可以看出，与变式1的解法一模一样，一个字之差都木有，体现了“图形变了，方法未变”的类比思想，趣哉趣哉！
解法三（构造矩形，转化大法）：如图18-19所示，因为延长之后构造的□PEQF恰是一个矩形，本变式还可以“特事特办”，即易知EF=QP，从而问题转化为求QP的最小值，且易知△QAB为等腰直角三角形，当且仅当QP⊥AB时，即点P为AB的中点时，取得最小值3，问题得解；
上面的三种解法都是极其漂亮的，前两者更具备通性，应用价值更高，最后的方法特事特办，体现解题人敏锐的洞察力，机智的判断力，以及解题的灵活性，都值得大家用心体会！
此外，此题还可以进一步变式为更一般的两个相似等腰三角形问题、正方形问题、半圆问题等等，有兴趣的同学可自行探究！
方法二（夹角定位法）：（未完待续，敬请期待）
（第六集完！）
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