浅谈初中数学费马点模型（一）

在做中学在学中做

【费马点解析】

“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。

【换言之：若给定一个△ABC，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点的距离之和都要小。这个特殊点对于每一个给定的三角形有且只有一个。】

那么，如何找寻费马点呢？

【费马点的找法】

一、以△ABC的三边向外分别作等边三角形，然后把外面的三个顶点与原三角形的相对顶点相连，交于点P，点P就是原三角形的费马点；

二、以△ABC的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在△ABC内部交于点P，点P就是原三角形的费马点；

若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点；当△ABC为等边三角形时,此时内心与费马点重合 。

【费马点的主要性质】

1、费马点到三角形三个顶点的距离和最小；

2、费马点与三角形的三个顶点的连线夹角皆为120°。

【费马点证明】—通过旋转来解决

将△ABP绕着点B逆时针旋转60°，得到△A'BP'，连接PP'。

那么PA+PB+PC=P'A'+PP'+PC≥A'C

所以，A'、P'、P、C四点共线时，值最小，

根据等边△BPP'可得∠BP'P=∠BPP'=60°，那么∠BP'A'=∠BPC=120°，所以∠BP'A=∠BPA=120°，即可证明：费马点与三角形的三个顶点的连线夹角皆为120°。

【例题讲解】

【解析】

以AB、BP为边分别作等边三角形，那么BP=PP'；可证明△ABP和△A'BP'全等，将AP转为A'P'，那么只要A'、P'、P、C四点共线即可；

其实我们在图二中，连接AC，就可以看出上述的模型。

在求解最小值方面，小编给出两种方法，第一种方法，连接AC，△ACE是含30°的直角三角形，△AA'E是含45°的直角三角形，其中AC的值可求，那么解直角三角形即可；第二种方法，借助等腰△A'BC和15°角，构造含30°角的直角三角形，即Rt△A'BE，直接勾股定理求斜边长度。

【延伸】如果给出AP+BP+CP的最小值，求正方形边长呢？

在上述两种方法下，你是否能算出来呢？