中点构造大法之三来啦！

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中点构造大法之三

通过构造直角三角形斜边上中线，把线段最值问题转化成三角形三边关系来解决！

例1：RT△ABC，斜边AB=6，顶点A、B分别在∠MON两边OM、ON上运动，且∠MON=90°，求线段OC的最大值。

简析：O为定点，C为动点，OC为变量，通过构造直角三角形斜边上中线，可得OM=CM=0.5AB=3,根据三角形三边关系（两边和大于第三边）：当O、M、C三点共线时取最大值，即：OC≤OM+CM,得到OC最大值为6.

练习1 ：等边△ABC，边AB=6，顶点A、B分别在∠MON两边OM、ON上运动，且∠MON=90°，求线段OC的最大值。

练习2： 矩形ABCD,边AB=6，BC=4,顶点A、B分别在∠MON两边OM、ON上运动，且∠MON=90°，求线段OD的最大值。

例2：已知RT△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2,D为△ABC内一动点，且满足∠1=∠2，求线段AD的最小值。

简析：通过导角，可证∠BDC=90°，AD长是个变量，由例1可知：取BC中点M，连DM、AM，可知DM、AM为定值，DM=0.5BC=1,勾股得AM=√13,根据三角形三边关系，两边差小于第三边，可知A、D、M三点共线时，AD取最小值，为√13-1.

练习3 ：已知△ABC中，AB=AC=10,BC=12,D为△ABC内一动点，且满足∠BDC=90°，求线段AD的最小值。

练习4：已知RT△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2，D为BC边一动点，连AD,过C作CE⊥AD于E,连BE，求线段BE的最小值。

例3：已知△ABC中，∠ACB=120°，CA=CB=2，D为平面内一动点，且满足∠ADB=90°，连CD，求线段CD的取值范围。

简析：法1，类比例1、2，取AB中点M,当C、M、D三点共线，且点M在线段CD上时,CD取最大值√3+1，当C、M、D三点共线，且点C在线段MD上时,CD取最小值√3-1，所以CD的取值范围为：√3-1≤CD≤√3+1.如下图：

法2，九年级隐圆，问题实质为：求圆内一点与圆上一点距离的最值！如下图：

练习5：已知正方形ABCD,E为平面内一点，且满足∠AEB=90°，求线段CE的取值范围.

 II通过构造直角三角形斜边上中线结合中位线性质，把线段最值问题转化成三角形三边关系来解决！

例4：已知△ABC中，AB=4,BC=2,D为平面内一点且满足∠ADB=90°，E为BC中点，连DE,求线段DE的取值范围.

简析：DE变量，取AB中点M,连EM,DM,由斜边中线和中位线性质可知，EM、DM为定值，EM=0.5AC=1,DM=0.5AB=2,线段DM、EM、DE构成三角形，根据三角形三边关系，可知：DM-EM≤DE≤DM+EM，即：1≤DE≤3.如下图：

练习6：已知RT△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=3,D为平面内一动点，且AD=2，连BD,E为BD中点，求线段BE的取值范围。

 III通过构造直角三角形斜边上中线，转化线段，根据垂线段最短来解决线段最值问题：

例5：已知：△ABC中，∠B=45°,∠C=60°，D、E分别为AB、AC边上的一个动点，过D分别作DF⊥AC于F,DG⊥BC于G,过E作EH⊥AB于H,EI⊥BC于I,连FG、HI,求证：FG与HI的最小值相等。

分析：本题图形复杂，先分别提炼出与FG、HI相关图形，思考：FG、HI该如何进行转化？

从简化后的图形可以看出上一讲的一类题型，共斜边的两直角三角形，容易联想的辅助线：连接斜边CD，并取其中点M,再连接FM、GM,易证：GM=0.5CD=FM,∠FMG=2∠ACB=120°，由基本图形120°的等腰三角形三边关系，1：1：√3 易知：FG=√3 FM=0.5√3 CD,所以当CD取最小值时FG最小.根据垂线段最短可知：当CD⊥AB时，CD取最小值。设BC=1，则：CD最小值=0.5√2,FG最小值=0.25√6

HI的最小值同理可得，设BC=1,则HI最小值=0.25√6=FG最小值.如下图，

（推导过程由读者自行完成）

练习7：已知等边△ABC中，AB=6,D为AB上一个动点，过D分别作DF⊥AC于F,DE⊥BC于E,连EF,求线段EF的最小值。

小结：求线段最值问题的几何解法初中阶段必须要考虑到的应该是教材中的两个公理的应用：两点之间，线段最短和垂线段最短，本讲通过构造直角三角形斜边中线和中位线，让要求的动线段与两条定长线段组成三角形三边，根据三角形三边关系求出最值，或通过转化找出动线段与已知定长线段之间关系再根据垂线段最短求出最值！