张益唐：我的数学人生

（本文原载于微信公众号《知社学术圈》，《赛先生》获授权发表，略有修订。）

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首先谢谢大家，那么隆重地欢迎我，这是我没有想到的。这件事情呢，其实是在几个星期之前，我偶然遇到了肖教授（编者注：清华大学数学系主任肖杰）。当时肖教授说：“您能不能给我们清华本科生作一个座谈形式的发言？”我说可以。可是后来，这个事情传出去，我看着这些单位的名字，怎么越来越多了呢？连我自己都想象不到。

而且按我今天所要讲的，我不是在讲数学。也就是说，今天不是做学术报告，而是讲讲“我的数学人生”。但是，在讲之前，我还想要提一下，也许，我以后的数学人生，会跟清华的关系更大。因为，再过半年，我要到美国加州大学圣塔芭芭拉分校（任教）。丘成桐先生跟校长说了，（希望）多给我一点时间，有空能回国讲学，主要到清华，也许以后这样的机会就更多了。

另外，如果我要讲我的数学人生的话，其实跟清华的关系是比较大的。为什么呢？首先我要提一下，我的家族和清华大学的关系，尽管我不是清华大学的毕业生。我父亲在清华加起来差不多有二十多年。

一

出生和成长环境

我先讲一下我的家庭。我父亲原来是上海人，至少1949年的时候他是上海人。在这之前，他的经历很有意思。那个时候，作为一名共产党员——地下党，是不能直接和别人说的，连子女都不知道。但是我唯一能知道的是，他在1949年的时候在上海做地下党工作。是不是也因此耽误了他的学业呢？总之，他上大学是在上世纪50年代。那个时候，他已经调到了北京邮电部，也属于干部吧。然后在那里，他考上了清华大学。

毕业后他在清华大学任教，然后经历了“大跃进”，经历了“文革”。他一直在清华的无线电系，现在是电子系了。我小时候应该就在清华。他在那里工作，但是“文革”期间下放，一度迁到了外地，但是我没有去过。我和母亲去了江西鲤鱼洲。

我小时候也在清华园里待过，每次回来都很熟悉，尽管一些地方多出了一些建筑。在我记忆中，那个时候，清华园里的路是没有名字的，现在都有名字了，贯穿东西的这条路现在叫清华路对吧。这是我刚注意到的。

在我小时候，我们走过来的（人生）路，都留下了当时的整个社会环境，政治情况的一些烙印。

怎么一回事情呢？小时候，我本来以为自己是在北京出生的。后来才知道，我母亲也是在邮电（系统）工作，是我母亲回到上海，把我生下来。我出生在上海，是外婆把我带大。我13岁时回到北京，和家人团聚。我不知道什么原因，也许是和父母长期的隔离，也许是因为个性，实际上我小时候没有感受到太多的亲情。

我最怀念的还是我外婆。其实后来，我对我的父母还是很有感情的，只是小的时候有点隔阂。然后是在很多年以后，我才知道，为什么父母会把我这个孩子丢在上海。因为我的父亲，因为一点事情，要留党查看。可以想象，他在年轻的那个时候干劲十足，一下子从干部考上大学，成为高级知识分子，然后突然又受到这样的打击。应该说，那种冲击在人身上（的影响）是很大的。而我的父亲还算是能想开点的，我母亲却真的是受苦了。所以小的时候呢，他们就觉得啊，把这儿子带在身边不合适，于是就正好放在上海。

在上海，我外婆对我很好。我母亲的家族是非常有意思的。纯粹的一个工人家庭，如果按那个时候的阶级成分来讲，我母亲这个家庭的阶级成分是最好的——上海纯粹的产业工人。我读过苏联一部小说，今天还希望能把这本书（重新）找出来。这个小说里就塑造了苏联的一个工人家庭，一个炼钢工人，因为这样一个家庭而非常自豪。我母亲的家庭就是这个样子。

我外婆和外公实际上也是从工人家庭出生的。他们那个时候实际上没有什么文化。我外婆一个字都不识，外公识一点字，不过认得的字也很有限。但是他身上有当时上海人的突出特点，从小就当学徒、当工人，几十年就这样过来了。到了50年代，解放后了，平时的八级技工还不如他，他当时机械方面的技术好得不得了。后来在“文革”期间，他也是工人工程师，可是写信都写不好。然后剩下我那些舅舅、姨妈什么的也没什么文化，都没上过高中，基本是初中毕业。严格意义上讲，就是当时说的“插队”。

我小时候就是生活在这样一个环境里，这其实是非常有意思的一件事情。我周围认识的人中，上过高中的就很少，而且没有人把知识看得很重。虽然那时候还不是“文革”时期，还没有什么“读书无用论”，但实际上，没人把学习看得很重。

二

儿时的学习点滴

今天，（演讲主题是）我的数学人生嘛，能说什么呢？我能说说实话。如果说有人觉得我在吹嘘的话，请大家原谅。跟那些神童什么的比起来，我小时候的性格是有点奇怪，也没有任何人教我。小时候，可能是和政治有关，我最喜欢的是什么呢?我最早喜欢的一门学科，不是数学、物理也不是化学，竟然是地理。

现在想起来完全不可思议，我大概三四岁的时候，很多字我都认识。我能读懂长篇小说。但作为一门学科来讲，我最早四五岁，在小学之前，我喜欢的一门学科是地理。我现在都还记得，我能把世界上大部分国家的首都说出来。这很奇怪，也没人教我，（看了）我舅舅他们留下来的一些教科书，（后来）都能背下来。还有一段时间喜欢什么呢？喜欢历史。于是中国的一些朝代啊，帝都啊，至少我还能够记得。历史上很多皇帝啊，这些反正我都记得。

然后，大家看到我小时候的故事，很多人说这个小孩怪怪的，是不是性格比较内向。看到这些的时候我是非常有感触的，很不适应。

其实那个时候只知道是内向，没有儿童心理学什么的，也没有天才儿童。我刚读小学的时候，有种强烈的意识，甚至在担心，我这样是正常的吗？我好像是和别的小孩不一样啊。别人喜欢玩——其实我也能玩——但实际上我比较喜欢一个人玩，找书看，把我舅舅、姨妈留下的初中教科书差不多都看遍了。那时叫“饥不择食”，什么都看。

这种情况，难道我父母就没有发现过吗？（他们）每年回来（上海）探亲什么的。

一直到去年，我再次回想起这件事的时候，我妹妹告诉我，大概在我刚开始上小学的时候，我父亲觉得我有点特别，就对我做测试，测试什么呢？测我的记忆。他给我说《西游记》的故事，把孙悟空三打白骨精啊，大闹天宫这些故事说了一遍，再让我给他复述一遍，当时我说的一字不差。

还有一次，我跟父亲拜访了他在清华的一个同事，印象很深刻。

“你家小孩小时候就能看书了啊？”

“让他给你们讲个故事，就讲《西游记》。”

我就讲了《西游记》里面真假西天那个故事。这是我在漫画里面看到的。

我父亲对我外婆说，这个小孩将来不得了，是不是能够培养下。他说了这个意思。后来，我妹妹跟我提起这件事情。我回忆起来，父亲是找过我，但我不知道他是在考我这些。

三

数学启蒙

喜欢数学，应该是更早一点的。我有一种奇怪的好奇心，小学的加减乘除我是很早就自己学会了。我也不知道怎么学的，自学就学会了。我记得很清楚，自学到了中学代数，开始思考为什么会有复数？想想x和y，这到底是什么呢？老想着搞清楚，什么是x，什么是y。一直在想着这些事情。我开始还搞不清楚，但后来就去图书馆看看就搞清楚了。这对我的影响很深，当时应该是在8岁到9岁之间吧。

我买过一本书叫《十万个为什么》，第一版的第八册。《十万个为什么》现在很多版了吧，但是我前两年翻起最新版的《十万个为什么》，还是觉得非常非常亲切。我是“倒过来”买的，因为我钱太少。我外婆给我零花钱，先买的第八册，数学，六毛五；第七册，动物，七毛；第六册；地质，七毛五。我记得，正好我想买第五册时没钱了，买不起了，也就算了。

然而就是第一版的《十万个为什么》的数学册里头，有两篇给我的印象特别深。

一篇的题目基本上就是说，任何一个偶数，都可以写成两个素数之和，也就是歌德巴赫猜想。我不知道大家有没有印象，当时书里把它叫作“古特拔黑猜想”，古代的古，特别的特，拔高的拔，黑色的黑。那段给我印象很深。文章开始就说，我们大家都知道素数，它称作质数，说质数是一个非常有意思的数，它包含了很多秘密，到现在我们还不知道。这古特拔黑问题就是其中一个。然后在这段的结尾，说最近伟大的苏联数学家已经成功证明任何一个很大的偶数是不超过四个素数之和。实际上，任何一个很大的奇数是不超过3个素数之和。这里跟古特拔黑的证明已经接近。还有一个叫费马大定理，看来这个问题还要到未来才能解决，读者们努力。

《十万个为什么》里头的这两个问题，最终奠定了我一生的兴趣所在，就是数学。

我的爱好应该说很广泛，也不是说我对别的东西不敢兴趣，但就是喜欢数学。我这个人很不好，喜欢自我吹牛是不是。我小时候做过一些很特别的事，那时候看到了、也知道了哪些问题是需要证明的。我模模糊糊知道了证明（这个概念），但没有人教过我什么叫做数学证明，什么是具体的数学证明。我现在回想起来，跟很多业余爱好者一样，我也不像徐迟先生在那本报告文学中（编者注：指《哥德巴赫猜想》）所提到的那样，老师跟中学生一讲，很多聪明的学生就说，这有什么了不起啊，我就能把他证出来，第二天就来了一大堆证明。我没做这个事情，我一想象就觉得这个事情太离谱了，我也说不出它有啥，但是我证不出来。

但是后来，我证明了相对来说比较容易的一个东西，就是勾股定理。在没有任何人教我的情况下，我发现数学是能证明的。我记得很清楚，因为我小时候有点太孤僻了，有点不合群，但是那个时候，实际也没人管我。我最喜欢一个人在那胡思乱想。我是不是早说我有精神病啊，我自己都觉得有精神病。

那天中午，我外婆在那里炒菜的时候，我站在后面，就在想一件事情，当然大家也可以查一查勾股定理的证明。我在想，如果我把一个大的三角形和一个小的三角形套在一起，诸如此类，就可以证明勾股定理。这可能是我小时候最辉煌的事情。没有任何人教过我数学如何证明，我那个时候也就最多是小学三年级的学生，自己独立发现数学是可以证出来的。

那些年就过去了，总的来讲我对自己小时候是不太满意的，条件太差。后来看了很多故事，说神童十三四岁就进大学，年纪很轻就已经成了博士，我看了只能说我最羡慕这些。那时候的这种条件下，不能说我过的不幸福，但是我精神上并不满足。不过我外婆对我很好。然后1966年“文革”，我是小学四年级的学生，就不用说了。1968年，我父母把我接回了北京。回了北京以后，虽然我高中数学其实也还没学好，但因为不满足，就想去学些高等数学什么的，但是找不到书了。那个时候的气氛是读书无用，越有知识越反动，知识分子是受压的。这时，其实我在我父母身边过得并不幸福。尽管没人说，但是我跟那个时代确实格格不入了。

四

“文革”经历

我在北京上初中也就上了一年多，就在清华附中。很有意思，今年清华附中百年校庆，那些校友竟然还会记得我。我是想，当年的事情过去了，我不太想去声张，（不过）既然找到我（那就说一下）。

那一年多，我们去算，为了造一栋房子占用了多少工农的土地。那次在班上，别的同学还算不出来，就我一个算出来，至少我是第一个算出来的。这里我提一下，（校庆时）清华附中的校长还有老师同学来看我，做了个录像，还提到过去的一个班主任要来看我，问我还记得吗？我说，你让我猜一猜，结果我一下就猜出来了。他是教语文的，我想，有些事情他大概也还记得。那时候，讲语文就是讲毛主席诗词，比如《菩萨蛮·黄鹤楼》，“茫茫九派流中国，沉沉一线穿南北”。然后讲到过去写黄鹤楼的一首诗，他写了前四句：“昔人已乘黄鹤去，此地空余黄鹤楼。黄鹤一去不复返，白云千载空悠悠。”当时看了我就记住了，后来我就跟他提起来，他说这只是一半，后面一半他也没跟我说。我是过了好几年才知道这下一半的。

那时候老是歌颂革命烈士。上海有一个知识青年，在黑龙江为了抢救国家的木材就牺牲了，于是有人为他写了一篇诗歌，结果王老师（编者注：指上文所说的班主任老师）就拿这个作为教材讲解给大家听。后来有一次，我就跟老师说，你讲过了我都记得，于是他次次叫我来背，结果我有一次发音不对，“睡土炕”我给背错了，念成“睡土坑”。我想这两件事情我给王老师留下的印象很深，我还记得这位老师。

但是，我在清华附中待了不到两年，其实是一年多。后来更加严峻的考验就来了，那时候，我的数学学习基本上就没有了。我父亲先是下放去种地，过几个月，我跟我妈下放到江西去了。我在那里过了不到两年的时间，主要是干体力活。我记得是1970年去，到了1971年，“文革”在那时候其实是比较宽松了。

1971年的暑假，我从湖北坐船回上海。那时候，书店其实可以买到一些“文革”前出的科普书了。我看了上海复旦大学夏道行教授写的一本书，那个题目很简单，《π和e》。我们大家都知道，π和e是数学中两个最基本的常数。在数论中，这个数它是有理数还是无理数啊？从那里头，我才知道有个新的字母e是个无理数。e是无理数的证明相对简单，它可以用反证法来证明。但π是无理数证明起来就太复杂啦，那部分没有给出证明。

其实在《十万个为什么》里头也提到过，就是古希腊那三道难题，最后一个就是化圆为方，因为π是超越数，化圆为方是无解的，做不到的，那时我就知道。而《π和e》这本书里有专门提到π和e是超越数。这本书好像又激发了我对数学的兴趣。

过了半年多以后，我又回到北京了。那时候也很不巧，因为我父亲属于有历史问题的——那时候的地下党，多少会有点特务或者叛徒的嫌疑，属于那种历史问题没有解决的。所以我回到北京也没有机会上高中，于是那段时间闲的没事干，又想回到数学，想看看数学。北京西单旧书店摆了一本数论方面的书，华罗庚写的。那时候我经常去翻那本书，卖五块五。我父母经济上对我还是有点限制，买不起。不过，在那里至少学会了π为什么是无理数，我也知道了狠多很多东西。

实际上，在我上大学之前，我的学习是非常凌乱的。1973年，陈景润“1+2”的证明出来以后，我还看了他的论文。其实我基础知识非常缺，但大致的思路还是看得懂的。不过总的来讲，我的基础知识还是很凌乱的，而且我的兴趣也广泛，很多书也都喜欢看，数学、文科、历史……总而言之是非常凌乱的，一直等到“文革”结束以后，总算如愿考上了北大，于是这段时期就过去了。

但是我想，一个人小时候有这种经历，而且如果他不是随便跟现实妥协的话，这种性格会带给他最强的一面。我觉得这（种烙印）留在我身上和我内心深处。其实今天上午，有人采访的时候说我这个人很像绅士，但在我内心深处，我有最强的一面，就是不妥协、不屈服的这一面，这可能跟小时候这种经历有关。然后上了大学，我最应该感激的就应该是大学。

五

北大时光

北大在数学上给我奠定了扎实的基础。北大一直做这种扎实的基础训练，一直强调这一点，我也一直强调这一点。像微积分或者其它的，前前后后都学过，或者自己瞎看过。在此之前我也不懂，抓起来一本书，是什么就看什么，到底学什么，我也不清楚。

到了北大以后，懂得学什么了。后来我发现，我的兴趣其实还是在数论里面，最后在研究生阶段还是读的数论。这个时候呢，我发现自己开始有一点讲究学习方法了，就是说，不要束缚自己的想象力，自己想的话，要放开去想。而且学数学需要特别关注的就是，刚才我们谈到的数学理论之间的一些内在的联系，往这方面去做容易做出大东西。

我上北大的时候，物质条件跟现在完全不能比。最近我都在抱怨，回国后有一个很大的困惑，饭局太多，吃得太好了，会不会吃出毛病来。可那时候，严格来说完全没什么吃的。我1978年上的大学，那时候普遍是营养不够的。可大家学习的热情非常高，大家真够单纯的，只想着怎么做学问，怎么样把书读好。在读书的时候来一个难题，我们大家就在一起，想着一定要把它做出来。而这种精神现在还有没有呢？我也是不敢说了。

于是，我在北大过得很好很充实。后来我就跟潘承彪教授读硕士生。实际上，我的硕士生阶段很快就结束了，还在北大留校任教了大概一个学期，教微积分，给学生上习题课，感觉很充实。

那段时间，现在回想起来，就是中国体系的数论，正好面临一个还能不能跟国际接轨的问题。当时，我们知道在世界上是有几个国家的解析数论很强，像英国、前苏联。美国主要是靠欧洲去的一些数学家。有这么几个强国。由华罗庚教授开创出来的中国解析数论，让中国人能够自豪地说，我们的解析数论是强项，后来还有一个陈景润。我们的解析数论确实是强项，但在我读书的那个时候就意识到了，如果中国不能跟当时国际上的、特别是开创出一些新方法的欧洲接轨，中国的解析数论就会落后。而那时候，我觉得我这个人其实是最适合干这个事的人，因为我对那些有兴趣。

六

不堪往事

但是，现在想起来，（有些事情）我也不想再去提些什么了。总而言之，那个时候应该是一念之差，要去学代数几何。实际上，当时很多人都反对。1984年，我在安徽合肥开了一个数论的会议，后来有一位老师，他去年还把会议保留下来的议程表给了我。那时候，潘承彪老师给我看了他写的一封信，信里说到这位老师他见过一次，还说张益唐的脑子很清楚，现在数论还是有得可做的，再去改行有点可惜了。很多人都这么认为。

不管怎么样，往后那一段，我不想说太多。到了美国后就跟另外一个人学代数几何去了。我的代数几何大部分都是我自己学的，因为他做的其实是一种经典的代数几何，还有交换代数。我不是说完全没有跟他学过这些东西，在这一方面，有些我还是做得不错的。但是后来有很多事情，跟他弄得很不愉快，甚至弄出来一个笑话。有人说我的博士论文是错的，是被他弄错的。那倒不是，博士论文没出问题，这一个部分结果还是对的，后来有别的学校的教授非常欣赏。有一次，一个人要到香港理工大学去找一个教职，请他写推荐信（这件事情我去年才听说的），因为是中国人，人名还搞错了，对方还以为是我。结果那人就找到教职了，而我自己却没有找到。这事过去就算了，我也没去计较。有一些事情不管怎么说是他的错，很离谱的错。他很生气，我也觉得很生气。最后他也没给我写推荐信，我也很多年没找到工作，弄到最后，差不多沦落到街上去要饭去了。

实际也没那么惨，我也有一些朋友，于是开始帮人做一些餐饮业。后来，那几年也就这么过去了，尔后我又回到了解析数论。有时候，如果一个东西，你把它放一段时间，回头再去看，可能会有新的不一样的感觉。

在这里我想提一下，我在北大读本科的时候，他们说数学太难了。我是1978级的，几个数学学得好的，要给1979级的讲一下数学的学习方法。经常要自己问问自己，这个东西到底学懂了没有，但是不要轻易地说这个东西我会了，就可以放一边去了，不是这样的，特别是像解析数论那么高度基础性的东西。

七

坚持到底

（这一部分非常技术化，仅凭记忆摘主要部分如下。）

后来我怎么又回到学术界了呢？实际上，在我困难的时候，我的一些朋友一直比较关心我。一个同学在Intel（英特尔公司）, 我去纽约玩，碰到他。他问我一个优化的问题，离散数学方面的问题。我算了一个星期，还真把它算出来了。这样，我和Intel还共有一个专利，不过没赚到一分钱。理论性太强了，实际上没人用。这个同学就找到北京大学1980级的另外一个同学，当时在新罕布什尔大学（UNH）任教，他叫葛力明。这是我的两个恩人。

第三个，是当时UNH的数学系主任，证明四色定理的。他从伊利诺伊大学退休，UNH又把他请出来。然后他见了我。我想拿点东西出来，就是2001年杜克数学那篇文章。他在伊利诺伊大学有个同事，也是这方面的专家。我这文章刚被接收的时候，他就给他看。他说这个工作是第一流的，of the first rank。

另外，我去UNH一个学期，教微积分，学生对我的教学评价也非常高。系主任就想直接给我tenure（终身教职），发了封邮件给全系老师。但最后有不同意见，没有通过。一直到一两年前，有些专家，这方面的同行，2001年的审稿人，认为这篇文章太好了，怎么会没有tenure。

然后就是孪生素数的猜测。GPY那篇文章出来以后，大家都看到了希望。2008年，美国的一个数学研究所，开了一个星期的会，讨论了一个星期。最后大家都非常悲观，都认为不可能解决了。我2010年开始做这个问题，并不知道这些事情。2012年7月3日，突然得到一个灵感，后来的事情大家都知道了。

风风雨雨这么多年，都过来了。有人问我，如果没有做出来，那这一生不是毁掉了吗？我觉得那没有什么，我觉得我活的好好的。在座的有青年同学，也有一些数学老师。我想对这里年轻的学弟学妹们说，你不要轻易放弃，你要对自己有信心，不要对人生的挫折看得太重，不要患得患失，如果你真的热爱科学，就要坚持到底。我先讲到这。