理解“系统”

韭菜的菜_被教育行业在岗咸鱼_关注他

发布于 2021-09-21 20:57

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本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布

记得本科入学前看那些大三学长，感觉大三离我好远好远，转眼自己也已经大三了。大一大二这两年倒算不上浑浑噩噩，但也绝对算得上迷迷糊糊了，索性写这样一篇文章为自己大一大二的学习和竞赛画上个句号。通过什么是系统这个问题开始，串一遍我自己对经典控制理论中系统分析与控制的认识，文中难免存在一些不足和错误之处，诚请各位批评指正。

1 什么是系统

总的来说，系统是由相互联系的部分组成的一个更大更复杂的整体。为了直观，我们一般通过一个带有向内和向外箭头的方框表示系统：

其中指向方框的箭头表示系统的输入，由方框指向外的箭头表示系统的输出。系统的输出与输入并非相互独立，相反的，系统在输入信号的激励下会产生相应的输出响应。上图表示的系统只有单个的输入与输出，我们一般称这种系统为单输入单输出（single-input single-output SISO）系统。相应的，存在多个输入输出的系统被称之为多输入多输出（multi-input multi-output MIMO）系统：

举一个二阶系统的例子：

一个质量为 m 的光滑物块通过弹性系数为 k 的弹簧和阻尼系数为 b 的阻尼与竖直墙面链接，施加给物体的外力 f 正方向向右，物块位移正方形与外力 f 相同。对物块进行受力分析，有：

f−kx−bv=ma

其中：

{v=x˙a=x¨

即：

f=mx¨+bx˙+kx

不难发现，在这个系统中，力 f 引起位移 x 的变化。因此力 f 便是系统的输入，系统在力 f 的激励下会产生相应地输出响应，即位移 x 的变化。

2 关于系统的三个问题

在讨论三个问题之前，要先了解线性时不变系统（linear time-invariant LTI）的概念，因为接下来用到的许多性质都是建立在系统是线性时不变系统的前提上的。线性描述的是系统输入输出之间的关系是线性映射：如果输入信号 x1(t) 使系统产生输出响应 y1(t)，而输入信号 x2(t) 使系统产生输出响应 y2(t)，则输入信号 α1x1(t)+α2x2(t) 使系统产生输出响应 α1y1(t)+α2y2(t) ，即满足叠加定理：

存在算子 H 使得

H{x1(t)}=y1(t)H{x2(t)}=y2(t)

则：

H{α1x1(t)+α2x2(t)}=α1y1(t)+α2y2(t)

时不变指系统输入延迟 τ 秒则其输出响应延迟 τ 秒：如果输入信号 x(t) 使系统产生输出响应 y(t)，则输入信号 x(t+τ) 的输出响应为y(t+τ)。

2.1 系统建模/辨识问题

这个问题关注系统本身的构成，以及如何通过数学语言描述这个系统。绝大多数的物理过程或动态系统都可以通过微分方程进行描述，分析微分方程的方法与工具多种多样，在经典控制理论和现代控制理论中，分别通过传递函数和状态空间方程描述和分析线性微分方程。

2.1.1 系统建模

系统建模即通过牛顿定律、基尔霍夫电压定律等物理定律建立描述动态系统的微分方程，上文中二阶系统的例子便是这个过程。对于一阶二阶线性微分方程而已，求其解析解尚且不是难事，但对于阶数更高的微分方程则难以直接求解，因此可以通过拉普拉斯变换将其由关于时间 t 的线性微分方程变换为关于复数 s=σ+jω 的多项式代数方程：

L{f}=L{mx¨+bx˙+kx}

其中：

{L{f(t)}=F(s)L{x(t)}=X(s)L{x˙(t)}=sX(s)L{x¨(t)}=s2X(s)

即：

F(s)=ms2X(s)+bsX(s)+kX(s)

根据力 f 引起位移 x 的变化这一因果关系，我们可以确定系统输入 U(s)=F(s) ，系统输出 Y(s)=X(s) 。将上式变形为 输出输入输出输入 的形式以体现输入输出的因果关系，这样便得到了系统的传递函数：

G(s)=Y(s)U(s)=1ms2+bs+k

不难理解，传递函数描述的便是这个系统输入输出的关系，即：

2.1.2 系统辨识

理论推导得到的系统模型与系统的实际模型难免存在偏差，为得到系统的实际模型，则需要利用统计学分析系统的输入及其输出响应，这便是系统辨识：

2.2 系统分析问题

系统分析关注系统在输入信号的激励下会产生怎样的输出，这个问题可以从时域和频域两个角度进行分析。

2.2.1 极点

还是以上文的二阶系统为例，考虑系统输入为冲激信号的情况，冲激信号定义：

δ(t)={+∞,t=00,t≠0

冲激信号仅在时间 t=0 时有值，并且非常大，就好像在时间 t=0 的时刻用锤子猛砸了一下物块 m。分析在这种情况下物块 m 的位置变化情况，也就是这个二阶系统对于冲激输入的输出响应。其 s 域表达式为：

L{δ(t)}=1

也就是说系统输入U(s)=1，则系统输出为：

Y(s)=G(s)U(s)=1ms2+bs+k

可以发现，一个系统对冲激信号的响应的 s 域表达式就是其传递函数本身。分母多项式可化为单项式连乘的形式，即：

Y(s)=1(s−p1)(s−p2)

其中复数 p1,p2 被称之为系统的极点。将上式拆成分式相加形式：

Y(s)=C1s−p1+C2s−p2

根据拉普拉斯变换关系

L{e−at}=1s+a

对分式相加形式的系统输出 s 域表达式进行拉普拉斯逆变换，得到系统输出的时域表达式：

y(t)=C1ep1t+C2ep2t

可以看到，系统输出的指数部分由极点 pi 决定，即时间t的系数恰好是极点 pi。因此，极点决定着系统的动态表现与稳定性。位于复平面不同位置的极点分别代表不同的时域表现：当极点 pi 实部 σi<0 时，指数函数随着时间 t 的增加会不断衰减，实部 σi 距离实轴越远衰减速度越快，即输出收敛越快，相反的，当极点 pi 实部 σi>0 时，指数函数随着时间 t 的增加趋于无穷，因此只有当系统的所有极点均位于复平面左侧时系统输出才是有界的，即系统是稳定的。如果极点存在虚部，根据欧拉公式 eit=cos⁡t+isin⁡t ，系统输出会出现震荡，而震荡的频率取决于复极点距实轴的距离。综上所述，极点位置对应时域函数图像可总结为下图：

2.2.2 频率响应

信号经过线性时不变系统后其频率并不会发生改变，其幅值的改变称为幅频响应（Magnitude Response），可表示为：

M=MoMi

其中 Mo,Mi 分别为输入输出信号的幅值。其相位的改变称为相频响应（Phase Response），可表示为：

Φ=Φo−Φi

其中 Φo,Φi 分别为输入输出信号的相位，幅频响应与相频响应统称为频率响应。以二阶系统 G(s)=1s2+4s+1 为例，系统对输入信号 u(t)=sin⁡(0.1t) 的响应为：

可以看到，输出信号的频率并没有发送改变，幅值相比输入信号更小了，相位相比输入信号滞后了。根据傅里叶级数，任何周期函数都可以展开为正余弦函数的线性组合。因此频率响应提供了系统分析提供了一个崭新的视角。根据系统传递函数得到频率响应的方法很简单，将 s=jω 带入传递函数，其幅频响应为：

Mg=|G(jω)|

相频响应为：

ΦG=∠G(jω)

不难看出，频率响应实际上是关于频率 ω 的函数，画出二阶系统 G(s)=1s2+4s+1 的频率响应图像：

这便是伯德图，展示了系统对输入信号幅值与相位的影响，值得注意的是，幅频响应的纵坐标单位为dB，即 20lg⁡MoM1。可以看到，在低频段，幅频响应接近0dB，也就是说输出信号的幅值与输入信号相差不大，而随着频率的增大，幅频响应逐渐减小，即系统对输入信号幅值的衰减越显著。低频段相频响应接近0°，表示输出信号的相位与输入信号相差不大，随着频率的增大，相频响应逐渐减小，即系统对输入信号相位的滞后作用越显著。

2.3 系统控制问题

系统的控制问题关注什么样的输入信号能使系统产生符合我们期望的输出响应。这要求我们设计合适的控制器和系统结构以得到恰当的系统输入。要得到符合我们期望的系统输出除了考虑动态系统本身，还需要考虑外界扰动的影响，因此合适的控制系统结构是至关重要的。

2.3.1 反馈

反馈控制系统的结构可表示为：

通过反馈回路，我们得以将系统输出的测量值与期望值作比较，以得到误差。误差反应的是当前系统实际表现与我期望的表现两者的差距，通过设计的控制器可以利用误差信号得到恰当的控制信号以减小误差信号，即使系统输出跟随期望值。有了反馈这一可靠的控制结构，接下来的问题便是如何设计控制器了。

比例控制器是一种简单有效直觉的反馈控制器，即控制信号为误差乘比例系数 K，也就是说误差越大，控制信号就越大，即：

为简化分析，我们假设：

H(s)=1

即单位负反馈：

将其看作一个系统，有：

2.3.2 根轨迹

可以通过绘制随着 K 变化闭环系统极点的位置变化，以分析不同的 K 值对这个闭环系统动态响应的影响，这就是根轨迹，根指的是系统特征方程的根，也就是系统极点。以一阶系统 G(s)=1s+1 为例：

观察 K 从0增加到 ∞ 的根轨迹：

可以看到，随着 K 的增加，闭环系统极点逐渐沿实轴左移，意味着闭环系统的响应速度越来越快（ept的指数项系数绝对值增大）。一阶系统的例子看起来非常美好，那么接下来以一个二阶系统 G(s)=1s2+s+1 为例：

观察 K 从0增加到 ∞ 的根轨迹：

我们发现，随着 K 的增加，闭环系统极点并没有左移，反而距离实轴越来越远，意味着闭环系统的响应速度并没有变快，反而提高了由极点虚部引起的震荡的频率。由此看来，对于这样的二阶系统，单纯的比例控制器并不合适。

2.3.3 终值定理

再从另一个角度分析比例控制器，还以一阶系统 G(s)=1s+1 为例：

通过计算可以得到闭环系统的传递函数：

Gcl=Y(s)R(s)=Ks+1+K

分析期望信号为单位阶跃信号时，闭环系统会收敛到的终值是多少，即比例控制器能否将误差完全消除。阶跃信号定义：

u(t)={1,t>00,t<0

其 s 域表达式为：

L{u(t)}=1s

即：

R(s)=1s

则闭环系统输出响应为：

Y(s)=Gcl(s)R(s)=1sKs+1+K

终值定理描述的是：若存在时域函数y(t)，有L{y(t)}=Y(s)，希望由Y(s)求得y(t)的终值，即limt→∞y(t)。该终值有三种情况：常值、震荡或无穷。对于常值情况，有

limt→∞y(t)=lims→0sY(s)

通过终值定理，我们可以很轻易的求出系统输出时域响应的终值，而不需要通过拉普拉斯逆变换求出其时域响应的解析式：

limt→∞y(t)=lims→0s1sKs+1+K=K1+K

将期望值减去输出响应的终值，计为稳态误差（steady-state error）：

ess=1−K1+K=11+K

可以发现，对于这个闭环系统而言，尽管随着 K 的增加，闭环系统极点左移，输出响应得以收敛的更快，但稳态误差始终存在。虽然 K 越大稳态误差越小，但考虑到实际系统执行器的能力有限，增益 K 并不能无穷大。从这个角度看，单纯的比例控制器也存在局限性。

2.3.4 PID控制器

为了消除上文二阶系统 G(s)=1s2+s+1 由于极点虚部引起的震荡，我们可以在控制器中引入微分项，即：

C(s)=Kp+Kdsu(t)=Kperr(t)+Kdddterr(t)

为消除稳态误差，我们可以在控制器中引入积分项，即：

C(s)=Kp+Ki1su(t)=Kperr(t)+Ki∫err(t)dt

将他们合在一起，便得到了PID控制器：

Cpid(s)=Kp+Ki1s+Kdsu(t)=Kperr(t)+Ki∫err(t)dt+Kdddterr(t)

发布于 2021-09-21 20:57