有理数运算特辑
有理数的加法
将一个或多个有理数的值相加的过程叫有理数的加法,如:23+64+52=139
分析理解
与小学加法的联系
有理数的加法与小学的加法大有不同,小学的加法不涉及到符号的问题,而有理数的加法运算总是涉及到两个问题:一是确定结果的符号;二是求结果的绝对值.
法则理解
在进行有理数加法运算时,首先判断两个加数的符号:是同号还是异号,是否有0.从而确定用那一条法则.在应用过程中,一定要牢记'先符号,后绝对值',熟练以后就不会出错了.
法则拓广
多个有理数的加法,可以从左向右计算,也可以用加法的运算定律计算,但是在下笔前一定要思考好,哪一个要用定律哪一个要从左往右计算.
有理数加法法则
Ⅰ.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
Ⅱ.异号两数相加,绝对值相等时,和为零,绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值
Ⅲ.一个数与0相加,仍得这个数.
运算律
1、有理数的加法同样拥有交换律和结合律(和整数得交换律和结合律一样)用字母表示为: 交换律:a+b=b+a 两个数相加,交换加数的位置,和不变。
结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。
2、三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
有理数的加法解析
一般地,同号两数相加有下面的法则:
同号两数相加,取与加数相同的符号,并把绝对值相加。
一般地,异号两数相加有下面的法则:
异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
另外,有理数相加还有以下法则:
互为相反数的两个数相加得零;一个数同零相加,仍得这个数。
有理数相加的例子:
两个有理数相加,有多少种不同的情形?
为此,我们来看一个大家熟悉的实际问题:
足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量.若我们规定赢球为“正”,输球为“负”,打平为“0”.比如,赢3球记为+3,输1球记为-1.学校足球队在一场比赛中的胜负可能有以下各种不同的情形:
(1)上半场赢了3球,下半场赢了1球,那么全场共赢了4球.也就是
(+3)+(+1)=+4.
(2)上半场输了2球,下半场输了1球,那么全场共输了3球.也就是
(-2)+(-1)=-3.
现在,请同学们说出其他可能的情形.
答:上半场赢了3球,下半场输了2球,全场赢了1球,也就是
(+3)+(-2)=+1;
上半场输了3球,下半场赢了2球,全场输了1球,也就是
(-3)+(+2)=-1;
上半场赢了3球下半场不输不赢,全场仍赢3球,也就是
(+3)+0=+3;
上半场输了2球,下半场两队都没有进球,全场仍输2球,也就是
(-2)+0=-2;
上半场打平,下半场也打平,全场仍是平局,也就是
0+0=0.
上面我们列出了两个有理数相加的7种不同情形,并根据它们的具体意义得出了它们相加的和.但是,要计算两个有理数相加所得的和,我们总不能一直用这种方法.现在请同学们仔细观察比较这7个算式,你能从中发现有理数加法的运算法则吗?也就是结果的符号怎么定?绝对值怎么算?
1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
2.绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的两个数相加得0;
3.一个数同0相加,仍得这个数.
有理数的加法与小学的加法大有不同,小学的加法不涉及到符号的问题,而有理数的加法运算总是涉及到两个问题:一是确定结果的符号;二是求结果的绝对值。
在进行有理数加法运算时,首先判断两个加数的符号:是同号还是异号,是否有0。从而确定用那一条法则。在应用过程中,一定要牢记'先符号,后绝对值',熟练以后就不会出错了。
多个有理数的加法,可以从左向右计算,也可以用加法的运算定律计算,但是在下笔前一定要思考好,哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。
要点
同号相加不变,异号相加变减.欲问符号怎么定,绝对值大号选。
在进行有理数加法运算时,一般采取:
1.是互为相反数的先加(抵消);
2.同号的先加;
3.同分母的先加;
4.能凑整数的先加;
5.异分母分数相加,先通分,再计算.
6.几个数相加能得到整数的可以先相加。
记忆口诀
有理加法不含糊
同号异号分清楚
如果两数号相同
绝对相加号相从
如果两数号相异
大绝来把小绝去
结果符号大绝替
有理数减法
有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数。其中:两变:减法运算变加法运算,减数变成它的相反数。一不变:被减数不变。可以表示成: a-b=a+(-b)。
表达式: a-b=a+(-b)
例题1:
计算:1、(-3)-(-5)=
2、0-7=
3、7.2-(-4.8)=
4、0-(-8)=
例2:数轴上A、B、C、D所表示的有理数分别是+1、+3、-2、-4,用有理数减法的算式分别表示以下两点间的距离。
(1)A、B两点。 (2)C、D两点。
(3)A、D两点。 (4)D、C两点。
例3、世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰,其海拔高度大约是8844米,吐鲁番盆地的海拔高度大约是-155米.两处高度相差多少米?
解:8844-(-155)=8844+155=8999(米)
答:两处高度相差8999米
(强调解题格式)
练习
1.两个有理数相减,是否存在“不够减”的问题呢? 差一定小于被减数吗?
2.若a与b两数相减,差是负数,则a
有理数乘法
有理数乘法法则即两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。任何一个数与0相乘,积仍为0。有理数乘法运算律即分配律、结合律、交换律。用字母表示为:ab=ba、a(bc)=(ab)c、a(b+c)=ab+ac。
符号法则: 两数相乘,同号得正,异号得负
特殊运用: 任何数与0相乘,积仍为0
具体步骤:
(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。例:(-5)×(-3)= +(5 x 3)=15 (-6)×4= - (6 x 4)= -24
(2)任何数与0相乘,积为0. 例:0×1=0
(3)几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个数时,积为负数;当负因数有偶数个数时,积为正数。并把其绝对值相乘。例:(-10)×〔-5〕×(-0.1)×(-6)=积为正数,而(-4)×(-7)× (-25)=积为负数
(4)几个数相乘,有一个因数为0时,积为0. 例:3×(-2)×0=0 (5)乘积为一的两个有理数互为倒数(reciprocal)。例如,—3与—1/3,—3/8与—8/3
(5)0没有倒数
(6)如果有两个有理数的乘积为1,那么称其中一个数为另一个数的倒数(reciprocal),也称这两个有理数互为倒数。例如:3与3分之一互为倒数,负八分之三与负三分之八互为倒数。
[同号得正,异号得负]
重点:运用有理数乘法法则正确进行计算。
难点:有理数乘法法则的探索过程,符号法则及对法则的理解。
计算:
1)(-54)×(-0.02)×(-100/21)×(-2)=0.4536
2)(-4)X(-5)X 0.25=20X0.25=5
3) 100 X (-3)X (-5)X 0.01=(-300)X(-5)X0.01=1500X0.01=15
4)(1/9 - 1/6 - 1/18)X 36=(-1/18-1/18)X36=-1/9X36=-4
5)(1/4 - 1/2 - 1/8)X 128=(-1/4-1/8)X128=-3/8X128=-48
有理数除法法则
法则一、除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数。(注意:0没有倒数)公式:a÷b=a×1/b
法则二、两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。(0除以任何一个非0的数,都得0)
说明: 0没有倒数
(1)0除以任何一个不等于0的数,都等于0。
(2)0在任何条件下都不能做除数。
(3)0没有倒数。
(4)倒数是它本身的数是1和-1。
(5)同号得正,异号得负。
(6)除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数。
运算公式
a÷b=a×1/b(b≠0)
一般步骤
1. 两个有理数相除时,首先确定商的符号,其次确定商的绝对值。
2. 有理数除法运算的步骤:(1)“÷”改为“×”,除数变倒数;(2)乘法运算。
有理数乘方
求相同因数的积叫做乘方(involution)。乘方运算的结果叫幂(power)。正数的任何次幂都是正数,负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数。
表示
2²,7³也可以看做是乘方运算的结果,这时它们表示数,分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”,其中2与7叫做底数(base),2与3叫做指数(exponent)。
这种求n个相同因数a的积运算叫做乘方(power),乘方的结果叫做幂(power),a叫做底数(base number),n叫指数(exponent)。任何数的0次方都是1,例:3º=1(注:0º无意义)
(2^5=2*2*2*2*2)[2]
1、重点:在理解有理数乘方意义的基础上进行有理数的乘方运算。
2、难点:与所学知识进行衔接,处理带各种符号的乘方运算。
性质
正数的任何次幂都是正数,负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数,0的任何正整数次幂都得0.
例题
某种细胞每过30分便由一个分裂成2个。经过5h,这种细胞由一个能分裂成多少个?
解答:1个细胞30min后分裂成2个,1h后分裂成2×2个,1.5h后分裂成2×2×2个……
5h后要分裂10次,分裂成2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1 024(个)
为了简便,可将2×2×2×2×2×2×2×2×2×2记为2¹º。
有理数混合运算法则
有理数的运算顺序:
有理数的混合运算法则即先算乘方或开方, 再算乘法或除法,后算加法或减法。有括号时、先算小括号里面的运算,再算中括号,然后算大括号。
[5×(4-5+5)]÷5
=(5×4)÷5
=4
运算律:
①加法的交换律:a+b=b+a;
②加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c);
③乘法的交换律:ab=ba;
④乘法的结合律:(ab)c=a(bc);
⑤乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac;
注:除法没有分配律。
有理数的加减混合运算的几个技巧:
小学生进入初中以后,接触了正,负数,很多同学觉得数学的知识增加了很多。但一开始学习有理数加减混合运算,他们发现很容易犯错误,而且在运算过程中有时不知所措。有理数的运算是初中数学中的基础运算,熟练地掌握有关的运算技巧,巧妙地运用有关数学方法,是提高运算速度和准确性的必要保证.下面介绍一些运算技巧.
一、 归类运算
进行有理数的加减运算时,运用交换律、结合律归类加减,常常可以使运算简捷.如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等.
例:
评析:解法一是小数与小数相结合,解法二整数与整数结合,这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题.同学们遇到类似问题时,应学会灵活选择解题方法.将同类数(如正数或负数)归类计算。
例:
二、凑整数法。在式子中若既有分数又有小数,有些数相加后能凑出整数,这样做的目的是使得运算简便
将和为整数的数结合计算。
例:
“凑整”就是把“一些分数(或小数)凑成整数”,把“一些整数凑成10的整倍数”,使有理数式子容易计算出结果。在凑整过程中,常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。
三、变换顺序
在有理数的运算中,适当改变运算顺序,有时可以减少运算量,在具体运算过程中,技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算.
评析:在运算前,首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等,适当交换一下各数的位置,达到简化运算、快速解题的目的.
四、 逆用运算律
在处理有理数的数字运算中,若能根据题目所显示的结构、关系特征,对此加以灵活变形,便可巧妙地逆用分配律,使解题简洁明快.
评析:很明显,灵活变形,逆用分配律,减少了运算量,提高了解题效率.
五、 巧拆项
把一项拆成两项的和或积,使得算式可以消去某些项,使运算简捷.
评析:对于这些题目结构复杂,长度较大的数,用常规的方法不易解决.解这类问题要根据题目的结构特点,找出拆项规律,灵活巧妙地把问题解决.
把一项拆成两项的和或积,使得算式可以消去某些项,使运算简捷。利用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算
六、观察
根据0、1、在运算中的特性,观察算式特征寻找运算结果为0、1或的部分优先计算。
七、变量替换
通过引入新变量转化命题结构,这样不但可以减少运算过程,还有利于寻找接题思路,其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用.
评析:此题横看纵看都显得比较复杂,但若仔细观察,整个式子可分为三个部分:,0.125,,因此,采用变量替换就大大减少了计算量.
八、 分组搭配
观察所求算式特征,巧妙运用分组搭配处理,可以简化运算.
评析:这种分组运算的过程,实质上是巧妙地添括号或去括号问题.
九、 倒序相加
在处理多项式的加减乘除运算时,常根据所求式结构,采用倒序相加减的方法把问题简化.
评析:显然,此类问题是不能“硬算”的,倒序相加可提高运算速度,降低复杂程度.如果一个数列,与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写和与倒着写和得两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。在处理多项式的加减乘除运算时,常根据所求式结构,采用倒序相加减的方法把问题简化。
对于较复杂的算式直接运算很困难,若能抓住其特征,运用整体运算的思维,创造性地加以解决,就能收到事半功倍的效果。整体换元可以避开局部细节的麻烦,它利用前后项之间的倍数关系,使用的是错位相加法。
十一、 整体换元
对于较复杂的算式直接运算很困难,若能抓住其特征,运用整体运算的思维,创造性地加以解决,就能收到事半功倍的效果.
评析:整体换元可以避开局部细节的麻烦,它利用前后项之间的倍数关系,使用的是错位相加法.
式子的整体角度考察,把部分式子用字母代替后,再进行化简求值。通过引入字母转化命题结构,这样不但可以减少运算过程,还有利于寻找接题思路,其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。
十二、简单等差数列求和法
等差数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列。
有理数运算是中学数学中一切运算的基础,它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则,公式等正确、迅速地进行运算,同时还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性。
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