对虚数i的认识

2018.12.03 C3H6 阅读 96

        对于虚数i，首先我看到的是一个字母，读音ai这个字母不易读准。读轻了，是＂唉＂，读平了的＂哀＂，读重了就是＂爱＂。这反映了涉及虚数学习时的三种表现：有的人学得唉声叹气，但不得不坚持学下去；有的人一窍不通，成绩哀鸿片野，最后放弃学习；有的人爱不释手，乐此不疲，终成大家。所以对不进行相关高深研究普通大学生，本人认为大学物理要以基础为主，以技术和技能为主组织教学。

一、虚数的数学意义：从数轴到复平面实现维度变化，拓展了数的范围

        从本质上说，实数就是一维向量，实际上描述的是一维空间；虚数就是多维向量或矩阵，描述的是多维空间。

复数最重要的性质是旋转。也就是两个复数的积的辐角等于各自辐角的和。如果没有这一特性，复数在数学和物理上的地位不会像现在这么重要。

       先从原题说起，从根本上来看，为什么i是-1的平方根。如上图复数构成一个平面，实轴和虚轴正交。

          -1位于实轴负半轴，辐角为π（180度）。开平方，按照前面说的辐角的性质，即是辐角减半，变为π/2，也即虚轴正半轴上的i的位置。另一个解是辐角为3π/2的-i，因为-1的辐角也可以是3π。

        或者反过来看，一个复数乘以i，就相当于逆时针旋转π/2。那么i^2=1*i*i，就是把1旋转了2次π/2，正好落在-1上。

举一反三，现在大家明白如何从复数旋转的角度，来说明为什么负负得正了吧？虽然有人已经得出结论，复数已经够用了，也许将来会进一步拓展数的空间范围，比如加上时间这个维度来认识数学。

         理解了这一点，就很容易明白，为什么复数作为一个不那么自然的，人为发明的数，能够如此好地应用于物理了。

二、虚数的物理物理意义：数形结合，把复杂的问题简单化

(一)高中物理

1、虚数加法的物理意义：

虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。

比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i，另一个力是1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？

　　根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。这就是虚数加法的物理意义。

2、虚数乘法的物理意义： 如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。

　　比如，一条船的航向是3 + 4i 。如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？ 45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了：( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )所以，该船的新航向是-1 + 7i。 如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。

（二）大学物理1、虚数在光学、电路、理论物理中的应用： 大学物理里面的光学、电路、理论物理等课程虚数用的非常广泛，尤其是通过欧拉公式将复数变成指数形式方便运算。以光学为例，凡是以正弦关系传播的电磁波，都要将其写成对应的复数（加一个虚部），运算到最后再取实部。这样可以大大简化运算。理论物理里面有不少量它本身就是复数。 比如极其重要的简谐振动，可以看成复平面单位圆上，做匀速圆周运动的点，在实轴上的投影。既然是旋转，那么用时间的指数函数就可以表达了，并且求导非常方便。2、虚数在量子力学中的应用。 量子理论与经典物理有一个明显的不同，那就是量子理论是基于复数，而经典物理是实数理论。这个观察是基于薛定谔方程中出现了i 。如果我们看一个场的拉格朗日量，量子场与经典场并没有区别，虚数 i 出现在将场量子化的过程中。 在一次讨论中微子可能超光速时，有人提到如果中微子质量为虚数，则其超光速并不违背相对论。对于物理学来说，没有圣经，什么条条框框都是可以打破的，是否能准确解释自然现象是唯一的标准。 这篇文章， 《Timing quantum tunneling to attosecond precision》，里面提到几名科学家测量了量子穿透的时间，“ The quantum mechanical equivalent of the electron's velocity is described by a complex number: the sum of a real and imaginary number.”， 也就是说对于隧道效应中的粒子来说速度是复数，时间也是复数。 量子力学中的复数到底是啥， 有很多人问过这个问题：复数体系是一个数学结构，这个数学结构刚好可以用来描述微观世界而已。 为啥刚好这个数学结构可以描述微观体系？ 量子力学能不能不用复数？根据我的理解，复数的引入还是要追述到波粒二象性和空间的对称性。完全的自由粒子在空间中是以平面波形式存在的， 但是通常一个波就会存在波峰谷和波节，而且这个波峰和波谷存在物理意义，我们不能无视他的存在。那么问题就来了：对于一个处处等价的空间，凭什么一个地方是波峰，另一个地方是波节？如果能这样区分，即便是自由粒子，也只能在空间中“跳跃”着前进了。落脚点之间的空间和落点便不再等价。 是否存在一种波可以避免这个问题，答案就是复数波。在复数波上，每一点都是等价的，你可以认为处处都是波峰。这样就满足了空间对称性。 而在束缚态问题中，空间的对称性被打破（势阱内外显然不等价），因此这个时候复数便不是必须的了。比如无限深势阱，其波函数等都是完全的实数。 但有观点认为：复数仅仅只是简化了数学记法而已，不用复数换成两个耦合的三角函数完全可以描述所有量子理论。 量子理论要用两个耦合的实数来描述特定状态（经典物理只需要一个实数），是因为量子理论是相位的理论。经典物理中锁定好了的状态，在量子理论里，还有个相位的自由度，也只有这样做才能描述奇特的干涉现象。

三、对人生而言，实数和虚数都是数，奋斗中成功与失败都是生命的歌

    毋庸置疑，多维空间更接近于真实的世界，一维空间只是多维空间的投影，有限维度空间是无限维度空间的投影。人类抓住投影，只是为了日常生活工作生存的方便，但如果认为那是真实的，而忽略投影后面的实体，就是把虚幻当真实。所以说实数与虚数的定义体现了人类的世界观与真实世界对照是颠倒黑白的。那些原来被老师说成是无意义的数也包含着更为深远的、无穷的意义。

我们从数学里的有五朵金花：01ⅰeπ，从自然数单位1和虚数单位i，可以得到一些启发。自然数单位1和虚数单位i，在数字王国中起着标尺的作用。当我们运算时，往往忽略它们，但如果没有这两个基本单位，我们也就无从知道什么是运算。在平时，出于一些特殊的考虑，我们会在某个式子上乘一个1，不会改变结果，但会大大简便运算。或者在一些三角函数中，我们利用1和i，求其实部和虚部，奇迹就会发生。以上两个例子便体现了两个单位的作用：服务他人，低调行事。在得出结果时，我们往往会忽略起到重要作用的1和i，并且在结果中也不会体现1和i，但这就是它们，当看到等号的右边会有一个完美的结果时，它们也就笑了。感觉1和i就是父亲和母亲，两者总是默默地看着孩子，在困难时也会出手帮助他们，看到孩子长大了，它们也就会心的笑了。两个单位更多的是告诉我们亲情吧，数字中也是有感情的，人更应如此啊！

如果把1和i看作父母亲，其他数字看作孩子，的确能教会我们一些做人的道理：1应该是最平凡的，任凭其他子女的乘除。我们再是抱怨，父母总是默默不做声，依然承担着父母应该承担的责任。i就好比异类，一个在中国传统家庭中的异类，但就是因为父母的开明，将知识的拓展，使得整个家族得以延续发展。

当我们明白1和i的这些道理后就可以心平气和地面对各种各样顺境的和逆境，顺不骄，逆不馁。心平气和有助于我们抛弃偏见，看清遇到的各种事情。而看清事情后反过来更加有助于抛弃偏见，心平气和。这样定力和智慧相互促进，进入良性循环，让自己不断向上提升。

虚数i的出现，使数更加完美，更加丰富。

实数“负负得正”，但我从i满足i²=-1中理解到虚数“虚虚得负”且方向相反。这个启发是少说空话（虚），多干实事。