14、不确定原理

14.1 平面波叠加成波包

通过前面的学习，我们知道粒子分布的几率密度与波函数绝对值的平方成正比，如果在空间某个区域有较大的值，则粒子很可能在那个区域出现。假定在某一时刻（如t=0），对在一维空间运动的粒子的坐标进行测量，发现粒子定域在和之间，那么描述粒子的波函数的绝对值在这个区域就较大，即粒子的波函数应该是一个定域波（波包）如图a

按照态叠加原理，可表示为一系列可能存在的状态的叠加。可将图a所示的定域波用t=0的平面波：叠加起来。

其中

为简化讨论，假设只有两个平面波参与叠加，并设（14.1）式的，所有的振幅都相等，，则（14.1）式变为

为了两个平面波叠加的合成波能接近定域波，应适当选取和。一种合理的选择方式是在处使二者相等，即

将上式代入（14.2）式中，得

上式表明两个平面波的相位差为的奇数倍，令，得

即

图b示出了这两个平面波叠加的合成波，显然仅取两个平面波不能叠加出精确的定域波(图a)实际上应该取无限多个平面波（波长范围为）叠加起来，于是（14.1）式求和就变成相应的傅里叶积分，叠加的结果就是精确的。

14.2 坐标和动量的不确定关系

假定定域波的绝对值平方仅在区域内不为零，即粒子完全定域在到之间，则粒子坐标的不确定量为

由于波长的范围为，因此波长的不确定量为，波长的倒数定义为波数，即

由此得波数的不确定量为

将（14.5）式和（14.6）式代入到（14.4）式，得

有德布罗意关系式，得动量的不确定量为

由（14.6）和（14.7）式得

显然

如果把和都定义为均方根偏差，则（14.8）式中的h换成。

这就是不确定原理，由海森堡首先提出的。

（14.8）式是在一维运动粒子的情况下得到的，对于三维运动的粒子，即对于一般的情况，不确定关系为

不确定原理表明，微观粒子的坐标和动量不能同时准确地测定：在测定它的位置（或动量）时，必然会扰动它，因此就改变了它的动量（或位置）。若微观粒子的动量能被精确地确定（），于是它的波长也就被精确地确定，按不确定关系，它的位置就完全不能确定（），这时描述它的波函数就是一种空间无界的波。若微观粒子的位置能被精确地确定（），则它的动量就完全不能确定（），所以波函数是具有各种波长（）的波的叠加，这些波在粒子所在点产生加强性的干涉，而在此点以外的任何地方都产生抵消性的干涉。

不确定原理同样适用于宏观粒子，只不过宏观粒子的位置和速度的不确定量都不起任何实际作用。

14.3 能量和时间的不确定关系

设一维运动的粒子在x=0点的波函数,若粒子仅在到的时间间隔内出现，按波函数的统计诠释，只在内不为零，在其余时间均为零，仿照（14.8）式的推导过程，可将表示为x=0点的平面波：叠加，同样仅取和两个平面波，得

由时，得

令，由上式得

易看出，因为，所以

这就是粒子的能量和处在该能级寿命之间的不确定关系。这一关系表明，要精确测定粒子在某一状态的能量（即），则粒子必须长时间处于这一状态（即），这与玻尔的定态概念相一致：在稳定状态下（）能级是分立的（）。反之，若体系处在不稳定的状态，其寿命比较短，则能量就不能精确测定（），得到的光谱将是弥散的较宽的谱线。

14.4 不确定原理的一般证明

对任意一个可观测量A，我们有（见第11讲）

式中，同样地，对另一个可观测量B，有

因此（由施瓦茨不等式，见第10讲），有

那么，对于任意一个复数z

因此，令，

但是

类似有

因此

式中

称两个算符之间的对易式。结论

这就是普遍的不确定原理。

例如，当由对易式得

或者，因为标椎差是正值，

这就是最初的海森堡不确定原理。

事实上，对每一对其算符不对易的可观测量都存在一个“不确定原理”——我们称它们为不相容可观测量。不相容可观测量没有共同的本征函数——至少，它们不能有完备的共同本征函数系。相反，相容（可对易的）的可观测量却可以有共同的本征函数系，例如，对氢分子来说，哈密顿，角动量的模的平方以及角动量的z方向分量是互相相容的可观测量，可以构造这三个量的共同本征函数，并以它们各自的本征值标记。但是没有既是坐标的又是动量的共同本征函数，因为这两个算符不对易。

不确定原理不是量子力学的一个额外假设，而是统计诠释的结果。

在狭义相对论里，能量——时间形式的不确定原理被认为是坐标——动量形式的不确定原理的一个推论，而薛定谔方程是非相对论的，前者不能包含在后者，下面我们从另一个角度推导能量——时间形式的不确定原理。 坐标、动量和能量都是动力学变量——是体系在任何时刻都可观测的特性。但是时间不是动力学变量（在任何情况下），不会像测量坐标和能量一样去测量一个粒子的“时间”。时间是一个独立的变量，动力学量是它的函数。特别地，能量——时间不确定原理中的不是对时间测量所收集数据的标椎差，粗略地讲，正是时间让体系发生实质性的变化。

当测量一个体系变化有多快时，算某个可观测量的期望值对时间的导数

有薛定谔方程

（式中）所以

但是是厄米算符，，所以有

在算符不显含时间的典型情况下，它告诉我们期望值的变化率决定于此算符的对易式，特别地，如果与对易，则是常量，在这个意义上Q是一个守恒量。

（1）、当Q=1时，

上式表明，波函数的归一化不随时间改变。

（2）、当Q=H时，

当中不显含时间时得

此即能量守恒。

（3）、当Q=x时，

不显含时间时，，，则

（4）、当Q=p时，不显含时间时，，

这就是恩费斯托定理，量子力学中的牛顿方程。

假设在广义不确定原理中（式14.12），令A=H和B=Q，并且假设Q不显含时间:

开平方得

定义，和

则有

这就是能量——时间的不确定原理，因为物理量的定义不同，形式上略有不同。注意这里的含义，由于

表示Q的期望值变化一个标椎差时所需的时间的多少。特别是，完全依赖于你所关心那个可观测量Q——对有的可观测量变化较快，而有的较慢。但是，如果很小的话，则所有的可观测量的变化速率一定是非常平缓的；或者，换言之，假如任何一可观测量变化很快的话，能量的“不确定”必定很大。