拿破仑定理与拿破仑三角形

    昨天下午一位85岁的老校长（刘梦经）带来他做的数学题--“拿破仑三角形”的证明给我看。使我夫妇大吃一惊。他是1963年，我大学毕业首个工作岗位，蚌埠三中的副校长，后来调市计量局,任副局长。解放前大学毕业，是我们老前辈，退休多年，至今仍然用数学题锻炼思维，身体十分健壮。他分别用平面几何，解三角形，解析几何三种数学方法证明著名数学问题“拿破仑三角形”，思维清晰，非常值得我们学习。

    本文先介绍拿破仑三角形是什么，以后再发表他的解法。

拿破仑定理与拿破仑三角形

    在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、BF、CD三线共点X，并且AE＝BF＝CD，如下图。这个命题称为拿破仑定理。

【定义1】外拿破仑三角形

     以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙P 、⊙Q 、⊙R 的圆心构成的三角形。

如下图

可以证明：外拿破仑三角形是一个等边三角形。

还可以证明：点X是外接圆⊙P 、⊙Q 、⊙R 三圆的共点。

 

【定义2】内拿破仑三角形

ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙P 、⊙Q 、⊙R 的圆心构成的三角形

同样可以证明：内拿破仑三角形也是一个等边三角形，外接圆⊙P 、⊙Q 、⊙R共点。 

拿破仑三角形还可作如下推广：

1、原三角形的面积等于它的外、内拿破仑三角形面积之差。

2、原三角形的重心也是内和外拿破仑三角形的重心。

3、以△ABC的三边为边分别向三角形外侧作三个相似的三角形ABC′、CA′B、B′CA，（相似三角形的顶点对应排列）这三个三角形的外心为 P、Q、R，则△PQR也与这三个三角形相似。

外拿破仑三角形即为此题之特例，这只要让三个相似三角形是正三角形即可。