欧拉公式完美吗？

《一瓣心香》（节选）: 欧拉公式完美吗？
——日记《数学在哪？》追述
易亚苏

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（一）欧拉公式
欧拉公式：

欧拉公式被誉为最完美的数学公式，因为1.自然对数的底e含在其中；2.最重要的常数π含在其中（提示π作为常数是十进制数）；3.最重要的虚数单位i含在其中；4.最重要的运算符号+（加号）含在其中；5.最重要的关系符号=（等号）含在其中；6.最重要的两个实数0和1也含在其中。如果真是如此，说它是最完美的数学公式，可谓当之无愧。
（二）欧拉公式推导
欧拉公式真的完美吗？
说一简单命题：大于零的数的任意次方大于零。
如果a>0，n为任意数，那么a^n>0。
将欧拉公式e^iπ+1=0进行简单移项，e^iπ=-1。欧拉公式中，e>0,那么e^n>0。于是您会发现一个问题，e^iπ大于零吗？e^iπ= -1成立吗？

数学的熏陶让我们明白，一个数的负次方即为这个数的正次方的倒数。大于零的数的任意次方——无论是正次方、还是负次方——其得数皆是大于零的。怎样理解自然对数的底e的虚数次方问题？回顾一下欧拉公式的推导过程。
欧拉公式推导部分过程：

小结：大于零的数的任意次方大于零（本日记命题）；e大于零，e的任意次方不可能等于-1，故欧拉公式某些表达式存在严重漏洞。
（三）欧拉公式推导存在问题及原因
关注以上“欧拉公式推导部分过程”（2）、（3）和（4），您会发现问题原因所在。从（2）到（4）：
一是存在数学进制的随意混用。在欧拉公式中，作为e的iπ次方的π是常数，为十进制；而cosπ和sinπ中π使用180°进行运算，为六十进制。欧拉公式推导中进行了两种进制的混用。
二是存在数学概念引用的混乱。实数与虚数是不同的数学概念。发明虚数的人沿用实数的运算法则去运算虚数，却并未证明其运算的合理性与可信度。欧拉公式中e的i虚数次方或180°次方，数学上尚未作定义。
概念不能乱用，概念的乱用往往难以察觉。说话前把概念弄懂，讨论时把概念弄同。数制不可混用，数制的混用时时都在发生。运算前把数制弄清，计算时把数制弄准。
（四）欧拉公式其它表达
莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler），1707年4月15日生于瑞士巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡。欧拉创设了许多数学符号，例如π（1736年）、i（1777年）、e（1748年）、sin和cos（1748年）、tg（1753年）、x（1755年）、Σ（1755年）、f(x)（1734年）等。欧拉是人类最杰出的数学家之一，令人尊敬。
笔者喜欢欧拉公式这样的表达：

这个数学表达式仿佛提醒关注三角函数和虚数的关系，个中或许还隐藏着未来探索的未知或方向。
（推荐参阅《雅俗日记》中《词玉十雕》序列《易经》“数理别论：‘数的美丽悖论’浅陋初知”和《触类旁通》序列《从数的分类看数学未来》）
（五）欧拉公式剖析联想
一流数学家谈说命题（概念清晰的真命题），二流数学家列出等式（形式简明的符号式），三流数学家严谨推证（推导无疵的全过程）。只谈说数学公式美丑的不入流。不假思索的崇媚，无疑是大脑萎缩的一种表现。思考数学公式美丑，不如思考大脑为何萎缩。哲学的美丑皆在内涵，所谓外观的美，充其量只能形容漂亮，谈不上美。
雨后山林，阴凉潮湿的丛林中会有蘑菇生出，而最美丽的蘑菇往往是最有毒的蘑菇。
凭栏望，古人山依在；沟壑纵横已茫茫，雪架天梯何处去。能不忆江南。
二〇一八年十二月七日星期五日记（2），松柏镇，神农架雪