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初中先学列方程解应用题，
再学函数，
二元一次方程组
x+y=9
x-y=1
把 第一个方程移项以后，
就会得到 y=9-x
学函数时，说这个式子就定义了一个函数
同一个式子，也可以叫成方程，也可以叫成函数
现在碾米机比古代磨盘多了动力
方程与函数有什么区别？
就是思维角度不一样了，方程是静态思维
函数变成了动态思维
解方程组时，是寻找符合方程组条件的 变量的值
而看成函数时，是表示y 随着x 的不同值的变化情况。
函数可以画到坐标系上得到函数的图像。
上边方程组的这两个式子，都移项以后，当成函数，画到同一个坐标系上，这两个一次函数的图像都是一条直线。
空间右手坐标系
它们在坐标系上，有一个交点。
这个交点的横纵坐标值，就是方程组的解。
这样，可以看出函数动态思维的优势。
两个一次函数的图像都是直线。
它们在坐标系里最多有一个交点，
如果平行的话，没有交点。
这个性质一下看的很清楚了。
函数动态理解事物。
微积分则在函数的基础上，更加动态的理解事物。
导数就是研究因变量 随自变量 的变化率的。
求导数的对象是函数。
几何体雕塑
有人说 函数三要素，定义域，值域，对应关系
函数自变量的变化范围 就是定义域
因变量的变化范围就是值域
给出一个自变量如何对应到一个因变量的规则，就是对应关系。
我们 常见的函数，幂函数，指数函数，三角函数等当然是函数。
只要给出一个x 值，能对应一个y 值出来的都是函数。
有的看起来比较奇怪，好像没有什么实际意义，
比如数轴上的所有有理数点，对应到1，无理数点对应到0。
这也是个函数。
具体到有人规定了一个函数，重要不重要，有没有研究价值，各个人，各个数学家也有可能观点不同，但是只要符合定义的，都是函数。
我们学习物理，主要内容是从真实世界中建模出来的函数，
那研究人为规定的函数有没有意义？
现在人工智能兴起，机器学习算法，就是让计算机从 给定数据中，自己总结出函数关系，用来预测事物。
所以现在人为规定的函数，研究意义比以前大了。
有人从更高抽象层次，用集合论的语言 描述和理解函数，
把函数理解为 一个由数组成的集合到另一个由数组成的集合的映射关系。
这个鸟和影子关于水面镜面对称
奇函数 就是 说，一个 函数的图像围绕坐标 原点旋转180度以后，能和自己原来的图像重合。所以奇函数图像是中心对称的，比如y=sin x.
偶函数就是说，一个函数的图像对y 轴做镜面映射以后，能和自己原来的图像重合，所以偶函数的图像是左右对称的。比如 y=cos x.
这个兼职左右对称
复合函数就是 原来有 两个函数，给第一个函数输入一个自变量，得出第一个函数的因变量值，把这个因变量值，当成自变量再输入第二个函数，得到第二个函数的因变量值。
这样第一个函数的自变量值 和第二个函数是因变量值 就构成一个对应关系。又定义了一个新的函数。 这个新函数，就是原来两个函数的复合函数。
这些夫妻都一一对应
反函数，用集合论的语言描述的话，只有函数的定义域和值域构成一一对应关系，函数才有反函数。
所以周期性函数，比如 sin x,对其定义域做出限制以后，它才有反函数。
一个函数和它的反函数的关系，就是自变量和因变量的相互对应关系没有变。但是自变量和因变量的身份换了。
一个函数 和 它的反函数 的图像，是关于直线 y=x 中心对称的。
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