一、 数感：
《标准(2011年版)》指出“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”我们从以下几个方面体会如何帮助学生建立和形成“数感”。
数感和其他核心概念一样，也是通过学习一系列数学的内容逐步实现的，这里我们选择“数与数量”最基本的概念“单位”，通过对“单位”的分析，讨论“数感”与数学内容的联系。体会如何在学习数学内容过程中认识、发展“数感”。
首先，“单位”是数学中一个重要数学概念，不仅在数学学习中发挥重要作用，在运用数学思考、解决实际问题中，也发挥重要作用。“数”和“量”是不可分割的两个基本数学概念，在小学阶段我们总是通称为“数量”。理解一些苹果、一些桌子、一些人等的数量时，我们需要引入数字符号：l，2，3，……，其中“1”是最重要的，它是数的基本单位，数数就是从“1”开始的，接着我们又接收一些新的单位：“10”(十)、“l00”(百)、“l000”(千)、“l0000”(万)，等等，对这些单位认识是认识数量多少的基础，这种感觉也是“数感”的基础。在实际情境中，经常需要度量一些量，对单位的感觉就变得更加重要了，例如，度量桌子的长度，度量北京到上海的距离，度量地球到太阳的距离，这些量虽然都是长度，但是“数量“的含义完全不同，选择合适的单位无疑是最重要的，度量桌子一定不会选择千米，一般会选择厘米，度量北京到上海的距离，一定不会选择厘米或米为单位，选择千米是比较合适的。在具体的情境中，选择适当的单位与对数量的感觉密不可分，也是需要积累的经验。这样的实例在日常生活中是经常可见的。引入新的单位也与数量联系密切，例如，“弧度”引入是对“角大小认识”的一次飞跃。
在数学和数学实际应用中，对“数量级”的认识，这是依托“单位”概念建立“数感”的另一个载体，在义务教育阶段，不仅需要从数学上对“整数——大的”有认识和理解，例如，“个、十、百、千、万、十万、百万、千万”等“单位”，也需要对“小数——小的”有理解和认识，还需要结合实际建立“数量级”观念，例如，超级城市的人口是以“千万”为单位的，大城市是以“百万”为单位，中等城市是以“十万”为单位，等等，有了这样一些观念，对于讨论人口问题会有很大帮助。对每一个量都存在这样问题，再例如，长度，桌子长度，家离学校的距离(长度)，北京到上海的距离(长度)，地球到太阳的距离(长度)，这些量都是长度，这些都存在“选择单位”和“建立数量级”的问题，这些也是建立“数感”的载体，在运用数学解决问题的过程中，“数感”会发挥重要作用。在高中和大学数学学习中，在函数中研究“变化”和“变化趋势”成为函数的重要内容，如“对数函数变化”，“整数幂函数变化”，“指数函数变化”，等等；在极限理论中“无穷大的级别”“无穷小的级别”是“极限理论”的主要内容，这些都将成为“数感”——“数量级”认识的新载体。
随着学习数学内容不断增加，对“单位”作用的认识也在不断拓展，在“运算”过程中，在处理“数量关系”过程中，使我们对“单位”的认识不断深入，再举一个例子，“数轴”是建立“数感”的另一个载体，直线称为“数轴”有三要素：原点、方向、单位。其中单位是非常重要的，在建立直角坐标系时也是一样的。在“向量”学习中，“基”的概念是最重要的概念，“基”的概念是“单位”概念的重要推广，在整个数学中也是最重要概念之一。
由于篇幅关系，在这里我们仅举一个与“数感”有关的数学内容进行分析，希望教师在教学中进一步思考“数感”与数量关系、运算结果估计等方面数学内容的联系。
在前面分析中，一方面，可以体会到“数感”形成的过程离不开“抽象、推理和模型”，离不开这些数学基本思想；另一方面，“数感”形成的过程，离不开实践——离不开亲自去做，去经历、体会、感悟、积累，积淀成为认识问题的思维经验，解决问题的实践经验。
希望教师抓住三个方面：数与数量、数量关系、运算结果估计等，这主要是基于义务教育阶段数学课程内容的范围并根据学生的实际作出的要求，有利于教师在教学中更好地把握数感培养的几条主线，有利于教师把数感的培养纳入到教学目标。
希望教师开发出一些好的具体事例，让学生更具体体会和建立“数感”。例如，教师在教学指数幂的意义时，提出一个现实情境问题：将一张纸对折32次，它的厚度有多大呢?教师给出的结论使学生在感到惊讶之余，更表示出强烈的质疑。该问题的结论是：其厚度可以超过世界最高峰珠穆朗玛峰的高度。毫无疑问，这样的问题会像磁石一样，紧紧吸引学生的注意力，使学生产生一种“不见结果不信服”的学习内驱力。
现实生活情境和实例，与学生的实际生活经验密切相连，不仅能够为学生提供真实自然的数的感悟环境，也能让学生在数的认知上经历由具体到抽象的过程，逐步发展学生关于数的思维。反之，学生数感的提升也使得他们能用数学的眼光看周围世界，正如《标准(2011年版)》所说：“建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”
建立“数感”需要重视过程，应结合每一学段的具体数学内容与教学实际，逐步提升和发展学生的数感。比如在第二学段应结合学生所熟悉的现实素材感受大数的意义，并能对一些问题进行估算；能了解负数的意义，用负数表示日常生活的问题，建立起对负数的数感。在第三学段，随着对数的认识领域的扩大以及数的认识经验的积累，可以引导学生在较复杂的数量关系和运算问题中提升数感，发展更为良好的数感品质。
1．数感
1、理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、领悟。“‘感’是外界刺激作用于主体而产生的，是通过肢体（如感官等）而不是通过大脑思维，它含有原始的、经验性的成分。‘悟’是主体自身的，是通过大脑思维而产生的。‘感悟’是既通过肢体又通过大脑，因此，既有感知的成分又有思维的成分。”
学生基于实际操作（将纸对折若干次）所建立起来的对2的27次方的直观感觉与数学科学计算得出的结果之间的巨大反差，由此创设出一个生动的极富吸引力的学习环境。这一实例说明，学生在学习数学概念时，其固有的数感是在起作用的。
2、如何培养数感
《标准》将这种对数的感悟归纳为三个方面：数与数量、数量关系、运算结果估计，如何培养学生的数感呢？
一、寓数的概念教学于现实的生活情景中，使学生理解数的意义
数学本身是抽象的，但数学所反映的内容又是非常现实的。理解数的标志是能把这些数的概念与它们所表示的实际意义建立联系，即把数的概念运用到现实的生活情景中。因此我们在进行数的认识教学时应该把数与现实生活紧密联系起来，在现实生活中理解数，运用数。
如:在一节一年级数学课上，老师在教学“0”的认识。老师让学生在身边找一找“0”在哪里。适时出示温度计，演示学生认知温度计上“0”表示温度分界点。
在现实的生活中，学生切实感受到“0”的存在，并结合具体事物和事实理解了“0”的含义。在教学万以内数时，应该鼓励学生走出课堂，来到超市商场，了解电器的各类价钱，然后回到课堂进行交流，这样对于数逐步有了感性的认识。为了使学生体会到万究竟有多大，通过多媒体让学生观看国庆阅兵仪式，感受一下人多的气氛，然后说明天安门广场拼图方阵有大约一万名学生。再算一算，我们学校有30个班，每班平均40人，大约要有多少个学校的人数才能坐满。通过这样看一看、算一算、比一比，使学生感受到一万是个大数目。
再比如在教学面积时，为了培养学生对面积大小的感知，让学生建立直观的表象，有了面积的大小“感觉”，可以使学生终生受益。
二、在具体的情景中把握数的相对大小关系
脱离情境的数的比较是枯燥无味的。因此在教学中我常常通过饶有趣味的游戏，将数的比较融于具体生活情境中，比一比，猜一猜、摆一摆，让学生在乐中学习。在探索知识的同时，培养学生观察、分析、比较、抽象、概括、猜测、尝试、合作、实践、创新等能力。比如教学万以内数的大小比较，1000大还是小？
三、在解决实际问题时，会用数来表达和交流
数、符号是刻画现实世界数量关系的重要语言。如果我们用数学的语言来表达和交流信息，并把它作为解决实际问题和进行交流的重要工具，我们就能从中感受到数学的价值。比如一个邮政编码就可以了解到具体的什么地方，电话号码、身份证号码等，一个号码隐藏了许多的信息，因此要让学生会用数来表达和交流信息。在教学“数字编码”时，我事先布置学生收集几个家人的身份证号码，在观察和比较中发现不同数字所代表的地域、年龄、性别等信息，然后出示一个身份证号，引发学生主人的相关信息的分析。最后，给出一个新生宝宝的出生地、出生日期和性别，请他们为宝宝拟编一个身份证号码。结果学生不仅学的有兴趣，而且真正体会到数学的价值。
再如，一位老师设计结合火车票上的车次号设计了如下练习：车次号有两个含义，一是数字越小表示车速越快，1~98次为特快车，101~198次为直快车，301~398次为普快车，401~598次为普客车；二是单数表示从北京开出，双数表示开往北京，现在有一张车票的车次号为122，它能给你什么信息？这样与生活密切相关的问题更是能让学生感到，建立良好的数感，对数字信息作出合理解释与推断是如此重要。
现实生活情境和实例，与学生的实际生活经验密切相连，不仅能够为学生提供真实自然的数的感悟环境，也能让学生在数的认知上经历由具体到抽象的过程，逐步发展学生关于数的思维。反之，学生数感的提升也使得他们能用数字的眼光看周围世界，正如《标准》所说：“建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”
四、在开放式的训练中能为解决问题选择适当的方法
数感的一个重要方面，就是能根据实际需要在多种方法中选择合适的解决问题的方法。而开放式训练可以使学生产生纵横联想，启发学生一题多解、一题多变、一题多思，对同一个问题可以有多种思考方向，训练学生的发散思维，培养学生思维的广阔性和灵活性。
如：如果要用一条直线来等分一个长方形，像这样的直线会有多少条呢？请同学们动动脑筋。自己可以画一画，也可以拿一张长方形纸折一折。（事先提供了一些长方形图形和纸）想好了，要求小组长统计一下你们组想出了多少种方法。
反馈汇报，学生以小组为单位展示自己的研究成果。
生1：我们用折长方形纸的办法，找到了4条。
生2：我是这样折的，也能等分这个长方形。
生3：我还有不同的折法。
师：把这些折痕用水彩笔画出来，然后把几张长方形纸叠在一起，对着强光看一看，你发现了什么？
生4：看到了一个中心点。
教师用课件演示叠的过程，最后形成“许多等分线经过一个中心点”的图。
师：你能说说怎样的直线能等分长方形呢？引导学生得出：通过长方形中心点的任意一条直线都能等分长方形。
师：验证一下，再想一想这样的直线究竟有多少条。用这样的方法能不能把其它的图形等分？
解答开放型习题，由于没有现成的解题模式，解题时往往需要从多个不同角度进行思考和深索，且有些问题的答案是不确定的，方法是多种多样的，因而能激发学生丰富的想象力和强烈的好奇心，提高学生的学习兴趣，调动学生主动参与的积极性，还能培养学生在多种解题方法中选择最为合理的解决问题的方案。
五、加强估算训练，学会对结果作出合理的解释
《数学课程标准》在第二学段“教学建议”中指出：“估算在日常生活与数学学习中有着十分广泛的应用，培养学生的估算意识，发展学生的估算能力，让学生拥有良好的数感，具有重要的价值。”因此，我们在教学中应加强估算教学，培养学生的估算意识，发展学生的估算能力，让学生拥有良好的数感，学会对结果作出合理的解释。
如，“一台电视机5850元，一部空调3480元。估计这两件电器一共多少元？”不同学习程度的学生的估算策略有所不同：
生1： :5000加3000等于8000，850加480大于1000，因此，它们的和比9000多一点。
生2：5850少于6000，348少于3500，因此它们的和比9500少。
生3：这个数比5000＋3000大，比6000＋4000小”，所以和应该在9000到10000之间。
学生的这些估算方法都是对的。我们要组织学生充分交流各自的估算方法，比较各自估算的结果，说出各自对估算结果的合理性解释，在解决具体问题的过程中逐步发展学生的估算意识和估算策略。
总之，数感是人的一种基本数学素养，是学生认知数学对象进而具备数学气质的心智技能，是学习数学的重要结构变量。数感来自数学活动实践，又指导数学实践活动。她的形成不是一蹴而就，而是一个渐进的过程、沉淀的过程、积累的过程。我们应在不断的数学教学活动中，让学生在对数的充分感知和领悟中，发展学生的数感。
二、符号意识
《标准(2011年版)》指出：“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”
在l0个核心概念中，符号意识的作用和意义是最容易感悟的。学习“数数”可以看作学习数学起点，数字符号：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，……可以看作我们最早接触的数学符号，它给我们带来了巨大的方便，其中的“位值制”又蕴涵着最重要的数学智慧。从小学到中学数学学习中，我们要完成另一件重要工作：从算术到代数。算术和代数有什么共同之处?算术和代数有什么主要差异?我们也从一个反映中国文化的例子讨论——鸡兔同笼问题，有鸡和兔子50只，共有l60条腿，试问鸡与兔子各有多少?在小学，教师最喜欢使用的方法是：让兔子站起来，两条腿着地，着地的腿数应该是l00条腿，实际有160条腿，多余的60条腿一定是兔子的腿数，每个兔子抬起两条腿，30个兔子才能抬起60条腿，所以应有30只兔子和20只鸡。这是算术方法。也可以用穷举的方法——列表法，50只鸡和兔子，共可能有51种情况，50只都是鸡，1只兔子和49只鸡，2只兔子和48只鸡，……，50只都是兔子，每一种情况的腿数都可以算出来，不难看出，只有在30只兔子和20只鸡的情况下，其腿数是160条。这也是算术方法。代数方法是列式子：
鸡数+兔子数=50，(1)
鸡腿数+兔子腿数=160，(2)
由于：
鸡数×2=鸡腿数，
兔子数×4=兔子腿数， 可以得到：
鸡数+兔子数=50，(1)
鸡数×2+兔子数×4=160，(3)
(3)可以变为：鸡数×2+兔子数×2’兔子数×2=160，
(鸡数+兔子数)×2+兔子数×2=160，
把(1)带入得到：
50×2+兔子数×2=160，
100+兔子数×2=160，
兔子数×2=60，
兔子数=30，
根据(1)得到：鸡数=50—30=20。
前面叙述了解决问题的过程，有些繁杂。如果我们用字母符号来表示数，例如，用髫表示鸡数，用Y表示兔子数，鸡腿数=2x，兔子腿数=4y。前面表述就可以简洁一些：
x+y=50，(1)
2x+4y=160，(2)
(2)可以变为：2x+2y+2y=160，
2(x+y)+2y=160，(3)
把(1)带入(3)中， 2×50+2y=160。
2y=60，
Y=30，(4)
把(4)带人(1)，x=20。
符号——字母表示数，它帮助我们使讨论问题过程变得简洁了。不仅于此，分析以下式子：
x+y=n，
2x＋4y=m，
这个式子涵盖了所有的“鸡兔同笼”问题，这就使我们可以运用运算完整讨论“鸡兔同笼”问题。代数不同于算术之处，不仅可以一类一类地描述问题，例如，一元一次方程，一元一次函数，一元一次不等式，等；而且，可以运用字母的运算，一类一类地讨论问题。有了这些例子，我们会对《标准(2011年版)》中这段话有更好的理解：“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”
如何帮助学生建立符号意识?
建议教师认真梳理小学需要学习的符号，把这些符号列出来；
需要做的另一件事是对符号进行分类，讨论它们之间的关系，体会每一类符号给我们带来的好处；
不仅需要一个一个使用符号，更重要是要学会综合地使用符号，逐步形成符号体系，形成表述问题的语言——符号语言，并运用符号语言在解决问题中发挥作用。
凡是需要学生做的，教师必须做，不仅做，还需要思考，思考符号在数学学习中的价值和作用，思考学生的认知规律。掌握符号语言是学习数学的一件大事，它能具体帮助我们认识数学基本思想：抽象、推理、模型，掌握符号语言也是一件比较困难的事情，一定要循序渐进，在使用中体会，再体会中加深对符号意识的认识。
合理地把符号意识纳入到教学目标的设定中，在具体的教学中逐步落实对符号意识的认识，这也是我们面临的挑战，希望教师们总结出好的经验。
三、空间观念
《标准(2011年版)》指出：“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。”
“空间”是数学中重要的概念之一，有三维空间——日常生活中的空间，在义务教育阶段，需要掌握的空间主要图形有：球，柱状图形(圆柱、棱柱、特别是长方体、正方体)，锥状图形(圆锥、棱锥等)，台状图形(圆台、棱台)，等。这些都是最基本的空间图形．也是组成其他空间图形的基本“元件”。二维空间——平面图形，需要掌握的主要平面图形：圆(圆的部分图形：扇形等)，多边形(正多边形，特别是四边形、三角形，其中最主要的是：正方形，长方形，菱形，平行四边形，等边三角形，等腰三角形，直角三角形等)，等。这些是平面上的基本图形，也是组成其他平面图形的基本“元件”。一维图形——线性图形，圆周和弧线，线段、直线、射线等。这些图形不仅是义务教育阶段学习的基本图形，在高中和大学数学进一步学习时，这些也是基本图形，它们是认识其他图形的基础。掌握这些图形需要建立它们与实际物体的联系，结合实际物体的特点，理解这些图形的形状特征，不仅对学习和掌握这些图形是重要的，也是解决实际问题的基础。
除了掌握图形的形状特征，判断图形的位置和描述图形的运动是研究图形另一个重要方面，选择和确定“参照物”是做好这项讨论的指导思想，我们必须特别强调数轴、方格纸、直角坐标系的重要作用，它们帮助我们开拓了研究图形新的方向，这就是十七世纪最伟大的数学家笛卡尔创建的解析几何，几何不等同于综合几何(或欧式几何)，解析几何(用代数方法)和变换几何(各种变换的不变性)是进一步研究图形的主要方法，也是揭示图形性质的主要角度。在义务教育阶段，需要为这些思想的渗透打下基础，一方面，让图形“动”起来，在“运动”中探索图形的性质；另一方面，学习运用代数思维讨论几何性质，研究函数图形的方式为我们开了个好头。在高中、在大学我们会不断发扬光大这些思想方法。
“维度”是形成空间观念的另一个基本概念，它帮助我们建立数与图形的联系，在直线(曲线)上，可以用一个数描述点的位置；在平面(曲面)上，可以用两个数描述点的位置，可以用二元方程描述直线(曲线)的位置；在三维空间上，可以用三个数描述点的位置，可以用三元方程描述平面(曲面)的位置。教师应该了解这些内容，还应该了解一些高维空间的例子，我们知道光谱是由七种基色组成的，即红、橙、黄、绿、青、兰、紫，在一定范围里，赋予七种基色一定的数量，就确定一种“光”，这就是一个七维空间。想象力是建立空间观念不可缺少的。
形成空间观念的过程也是体会数学基本思想的过程，另一方面，抽象、推理、模型也是形成空间观念的基本动力。和其他核心概念一样，建立空间观念的过程是循序渐进的，需要不断经历、感受，不断的积累，积淀经验，提高素养。
四、几何直观
“数学是研究数量关系与空间形式的科学。”空间形式最主要的表现就是“图形”，除了美术，只有数学把图形作为基本、主要研究对象。“几何”是研究图形的方法，欧式几何也称为综合几何．它是研究图形的一种方法，解析几何、向量几何、射影几何、微分几何、分形几何．还有各种拓扑：点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑、微分流形等．这些都是研究图形的方法。几何直观顾名思义，有两部分：一部分是几何，在这里几何是指图形，另一部分是直观，直观不仅仅是指直接看到的东西，直接看到的是一个层次，更重要的依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考、想象。它是一种能力，一种想象能力。爱因斯坦曾说过一句名言：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且它是知识进化的源泉。严格地说，想象力是科学研究中的实在因素。”
在数学研究、学习、讲授中，不仅需要关注如何研究图形的方法，研究图形的结果，还需要感悟图形给我们带来的好处，几何直观就是数学一几何一图象给我们带来最大的好处之一。20世纪最伟大数学家希尔伯特在名著“直观几何”一书中谈到，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。这就是几何直观带给我们的好处。在《普通高中数学课程标准(实验稿)》中，也关注了几何直观，“三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。”在《标准(2011年版)》中，把几何直观作为数学课程标准l0个核心概念之一，这是一大进步，也是数学课程不断深入的表现。《标准(201 1年版)》明确指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”
从另一个角度来说，几何直观是具体的，不是虚无的，它与数学的内容紧密相联。很多重要的数学内容、概念，例如，数，度量，函数，解析几何，向量，等等，都具有“双重性”，既有“数的特征”，也有“形的特征”，必须从两个角度认识它们，否则就不能很好地理解它们，掌握它们，只有这样才能让这些内容、概念变得形象、直观，变得可以运用它们去思考问题，形成几何直观能力，这也就是经常说的“数形结合”。这次课程改革中，强调几何变换不仅是内容上的变化，也是设计几何课程指导思想上的变化，这将是几何课程发展的方向，让图形“动起来”，在“运动或变换”中研究、揭示、学习图形的性质，这样，一方面加深了对图形性质的本质认识，另一方面提升了几何直观能力。
几何直观与“逻辑”、“推理”也是不可分的。几何直观是由逻辑支撑的能力，不仅是看到什么，而是通过看到的图形思考了什么，想象了什么，这是数学非常重要的思维方式。几何直观会把看到的与以前学到的结合起来，通过思考、想象，猜想出一些可能的结论和论证思路，这就是归纳推理，同时也为严格证明打下了基础。很多数学家很多的证明是看出来的。几何直观与数学基本思想密不可分，直观是抽象的基础，也是推理的基础，著名物理学家杨振宁说过：每一个物理模型都有一种几何的表示，反之，每一种几何都可以找到一个物理模型。
有些数学的对象是可以“看到的”，可以“触摸的”，很多数学研究对象是“看不见，摸不着”的，是抽象的，这是数学的基本特点。但是，这些抽象的对象绝不是无根之木、无源之水，它的“根和源”一定是具体的。在数学中，需要依托“一、二、三维空间”去想象和思考“高维空间”的问题，这就是几何直观或几何直观能力，有时，也称之为空间想象力。
几何直观在研究、学习数学中是非常重要的，它也可以看作最基本的能力，希望数学教师重视它，在日常教学中帮助学生不断积累，形成经验。重视几何直观，全面地理解几何教育价值。
在标准解读中．提供一些建议，提高几何直观能力．值得重视，例如，养成画图习惯；重视变换——让图形动起来；学会从“数”与“形”两个角度认识数学；掌握一些基本图形；等等
五、数据分析观念
此次课标修订，将原“统计观念”改为数据分析观念”，就是希望改变过去这一概念含义较“泛”，体现统计与概率的本质意义不鲜明的弱点，将数据分析作为该部分内容的核心。即在义务教育阶段，学生学习统计与概率的核心目标是发展数据分析观念。这种观念是需要在与数据接触的过程中培养出来的对数据的某种“领悟”、由一组数据去作出推测的意识，以及对于其独特的思维方法和应用价值的体会和认识。
可能有教师认为，这里提出要培养一种“分析”的观念是否要求过高?特别对小学生来说，这种对数据分析的要求怎样才是合理的呢?《标准(201 1年版)》考虑到在教学中操作的可行性，将数据分析观念定位于如下三点：
其一，让学生经历收集、整理、分析数据的过程，通过数据分析做出决策和推断，并体会数据中蕴涵着信息。我们不妨把这一要求称为“过程性”要求或“活动性”要求。
其实，对于小学生来说要逐步建立起对数据的某种敏感或领悟，最好的办法莫过于让他多参与到他身边的多样化的生活问题中去，亲身经历对数据的调查、研究、作出判断的活动过程，这样才能真正体会到数据中蕴涵着信息，并建立起“用数据说话”的意识和观念。正因为如此，《标准(2011年版)》提出：“经历简单的数据收集、整理和分析的过程，”“能对调查过程中获得的简单数据进行归类，体验数据中蕴涵着信息。”(第一学段目标)“经历数据的收集、整理和分析的过程，掌握一些简单的数据处理技能”“进一步认识到数据中蕴涵着信息，发展数据分析观念。”(第二学段目标)从这些目标要求不难看出，数据分析观念的培养离不开活动与过程。而这些活动又应该放在丰富而生动有趣的背景下进行。教师要善于引导学生主动地去获取周围的有关数据信息的课题，比如，关于本班同学的喜好方面的一些统计的例子就有很多：喜好的歌曲、运动项目、各类课外读物、感兴趣的电视栏目、爱吃的水果蔬菜、爱喝的饮料、最喜欢的颜色、四季中最喜欢的季节等等。
其二，根据问题的背景选择合适的数据分析方法。这体现了数据分析的“方法性”要求。即数据分析观念的培养要建立在一定方法的掌握上。
一般来说，学生数据分析的方法涉及如何收集数据和如何处理数据的方法，前者指数据的调查、获取，后者指数据的整理、描述与分析。基于此，《标准(2011年版)》在第一学段提出“了解调查、测量等收集数据的简单方法”；在第二学段提出“会根据实际问题设计简单的调查表，能选择适当的方法(如调查、试验、测量)收集数据”“能从报纸杂志、电视等媒体中，有意识地获得一些数据信息”。
需要指出的是，教学中应鼓励学生运用所学习的方法，尽可能多地从数据中提取有用的数据，并且能够根据问题的背景选择合适的方法，而不是脱离问题背景。单纯地强调一些概念、方法的掌握。比如，《标准(2011年版)》附录2中的例38：“对全班同学身高的数据进行整理和分析。”在其说明中就体现了这样的导向：“条形统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其差异；折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势”，这就需要我们根据问题的背景和需要选择合适的统计图。从这个意义上说，统计学对结果的判断标准是“好坏”，而不是“对错”。
其三，通过数据分析体验随机性。这可视为数据分析的体验性要求。这也是此次修订后的一个变化。在以前的学习中，教师的做法主要的是通过概率来体会事件发生的可能性，而现在希望引导学生运用数据来体验随机性。这一角度的变化带来的好处在于：它是数据分析过程中自然发生的，符合学生的认知规律，也能使学生更好地体会“随机”的含义；它能在对数据收集、处理的过程中集中显示数据的随机所具有的两层涵义：一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
比如《标准(2011年版)》附录2中的例40：袋中装有若干个红球和白球，一方面，每次摸出的球的颜色可能是不一样的，事先无法确定，这能使学生初步感受数据的随机性；另一方面，有放回重复摸多次(摸完后将球放回袋中，摇晃均匀后再摸)，从摸到的球的颜色的数据中就能发现一些规律，比如红球多还是白球多、红球和白球的比例等。又如《标准(2011年版)》附录2中的例22：让学生记录自己在一个星期内每天上学途中所需要的时间，并从这些数据中发现有用的信息。如果把记录时间精确到分，可能学生每天上学途中需要的时间是不一样的，可以让学生感悟数据的随机性；更进一步，让学生感悟虽然数据是随机的，但数据较多时具有某种稳定性，可以从中得到很多信息，比如，通过一个星期的调查可以知道“大概”需要多少时间。
从上述讨论可知，数据分析观念的培养要从学生感兴趣的现实问题出发，使学生经历数据分析活动过程，掌握一定的数据处理方法，体验数据的随机性。总之，要围绕“数据”做文章，使“数据”成为学生发现、提出、分析、解决问题的好伙伴。
六、运算能力
运算是义务教育阶段一、二学段学生在数学学习中接触最多的内容。作为数学课程的一条主线．它不仅贯穿于“数与代数”的所有重要知识点，也和“图形与几何”，“统计与概率”，“综合与实践”的内容交融在一起。运算不仅是学习的重要内容，也是解决数学问题的基本方式，在这一点上，它和推理共同构成了数学的重要基础．也必然成为学生应该培养的最基本的数学素养。这或许是l0个核心概念中运算与推理皆以“能力”指称的原因之一。
1．如何正确认识运算能力?运算能力的基本特征有哪些?
在数学中，根据一定的数学概念、公式、定理等，依据一定的法则，由给出的已知条件通过“算”得出确定结果的过程，称为运算。能够按照一定的程序与步骤进行运算，是运算的技能。不仅会根据法则、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径，学生在这一过程中表现出来的个性心理特征即为运算能力。
《标准(201 1年版)》指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”我们可据此概括出运算能力的几个基本特征，即：正确、有据、合理、简洁。这也可视为培养运算能力所要达到的几个要求。其中，正确是运算的基本要求，有据是正确运算的前提，合理是运算得以进行的条件，简洁是运算的质量刻画。上述要求表明，运算不等同于计算，运算能力也并非一种单纯的、孤立的数学能力。它需要正确理解相关知识，辨识分清运算条件，合理选择运算方法，有效设计运算步骤，还要使运算符合算律、算理，最终尽可能简洁地获得运算结果。它是“算”与“思”的结合、操作与思辨的融合。
2．培养运算能力应注意哪些方面的问题?
运算能力的培养是一个长期的任务，从义务教育阶段第一、二学段数学课程的特点出发，它需要经历一个从简单到复杂、从具体到抽象、从单一到综合的反复训练、循环上升的活动过程。在这一过程中，应重点关注如下方面的问题：
(1)注意强化与运算有关的概念、公式、命题的理解，夯实运算的知识基础。实践证明，第一、二学段的运算问题皆与相关的数学知识意义的理解紧密关联，学生在运算中表现出来的水平高低往往受其对基层知识掌握的程度的制约(如关于“平均数”的计算问题)。那种不求概念意义理解，急于进行运算技能操练的做法是舍本求末、不足以取的。
(2)注重通过各部分知识的关联、贯通、整合来培养学生的运算能力。运算固然是“数与代数”的主线，但它同样是解决其他领域内容问题的重要手段和工具。教学中，要注意处理好主线与辅线的关系，一方面充分利用好各部分的知识点以形成运算能力培养的有效支撑；另一方面也通过各部分知识的融会贯通来提高运
算的综合性和灵活性。
(3)循序渐进，逐步培养学生在运算中进行数学思考的意识和能力。事实上，运算能力作为课程的目标是在“数学思考”栏目下提出来的，它表明运算能力是数学思考的重要内涵。在第一、二学段的教学中，应通过恰当的教学手段，处理好具体与抽象、算法与算理、运算的正向思维与逆向思维、常规算法与多样性算法的关系，逐步提高运算活动中数学思维的含量，促进学生运算思维素养的提升。
(4)通过“四基”的协调发展，培养学生的数学运算能力。在第一、二学段，运算内容的学习最能反映集“四基”于一身的特征：运算本身就体现为基础知识和基本技能，这是很明显的特点；很多运算问题的解决本质上归结为数学基本思想的感悟、体会和思想方法的选择(如分类、归纳、转化、数形结合等)；而大量的、多样化的运算活动逐步积累起来的数学经验，又是运算能力得以持续发展的基础。教学中，尤其要重视数学基本思想和基本活动经验要求的落实，改变过去对这两者比较忽视的状况。
(5)运算能力的培养还需要处理好教学中的一些具体问题，例如：教师如何适时地为学生提供足量而适度的习题训练以及形式多样的数学活动?如何通过估算发展学生的运算能力?在运算活动中如何合理地使用计算器?等等。
七、推理能力
数学推理是由一个或几个数学命题推出另一个未知命题的思维形式。这样的思维形式在数学中可以说无处不在，故《标准(2011年版)》指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”从数学本身看，数学推理反映的是一种基本的数学思想，也是一种主要的数学方法。它与数学证明紧密关联，共同构成了数学最重要的基础。所以在数学学习中，培养学生的数学推理能力至为重要。
1．《标准(2011年版)》中推理能力的核心要求是什么?
依据推理的功能不同，我们可将数学推理分为合情推理和演绎推理。对这两种推理能力的培养即构成《标准(2011年版)》对推理能力培养的核心要求。
合情推理是数学家乔治·波利亚对归纳推理、类比推理等或然性推理(即推理的结论不一定成立的推理)的特称。归纳推理(这里指不完全归纳)是特殊到一般的推理。而类比推理则是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，推出它在另一属性上也相同或相似的一种推理。比如，类比整数乘法得到小数乘法运算定律、类比二维空间图形性质得到三维空间图形性质等等。而演绎推理则是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)确定的规则出发，得到某个具体结论的推理，它是必然性推理(即只要推理前提真，得到的结论一定真)。它的思维进程是从一般到特殊，其基本形式是三段论，只不过在实际运用中，三段论的格式被简化成了“因为……所以……”的“连锁式”形式。
上述两种推理在数学中都重要。《标准(2011年版)》强调：“在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。”在传统数学教学中，往往把推理看成是一种严格的、通过充足的理由去证明和计算的逻辑思维形式，学生很少经历探索结论、提出猜想的活动过程。经过多年的课改这种情况有所改变，但也出现了另一方面的担忧，即在有些教师的课堂上将合情推理得到的结论不加说明地作为普遍性结论使用，对学生产生了一定误导，这种情况应该引起重视。
2．增养学生数学推理能力应注意的问题。
对学生推理能力的培养在整个义务教育阶段都是内容学习和目标达成的一条主线，也是一个逐渐提升的长期过程。就第一、二学段来说应该注意这样几个方面：
推理能力的培养“应贯穿于整个数学学习过程中”。这是《标准(2011年版)》提出的非常明确的要求。它应该有这样几层含义：(1)它应贯穿于整个数学课程的学习内容中，即不仅图形与几何、数与代数、统计与概率及综合实践等所有内容，都是培养推理能力的载体。比如，在数与代数中大量的计算需要依据特定的公式、法则、算律，这种对运算算理的要求就是推理能力的表现。而在用符号、代数式、方程、图形、图表表达数量关系或构建数学模型时，也必须借助正确的分析和推理。(2)它应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程。如在概念教学中，让学生经历从特定对象的本质属性入乎，抽象、概括形成概念的过程，并引导学生有条理地表述概念定义；在命题教学中，引导学生分清条件、结论，把握条件、结论间的逻辑关系；在解决问题教学中，要让学生经历发现、提出、分析、解决问题的活动过程，在问题解决的逻辑序中感悟推理的力量和魅力。(3)它也应贯穿于整个数学学习的环节，如预习、复习、课堂教学、自我练习、测验考试……在所有的这些学习环节，逐步要求学生做到言必有据，合乎逻辑。当然，“贯穿整个数学学习过程”也应包括推理能力的培养应贯穿于整个小学阶段，做到合理安排，循序渐进，协调发展。
推理能力的培养要注意为学生提供多样化的学习活动方式。反思传统教学，对学生推理能力的培养往往被认为就是加强逻辑推理的训练，主要的形式就是通过习题演练以掌握更多的证明技巧。显然，这样的认识是带有局限性的。《标准(2011年版)》强调通过多样化的活动来培养学生的推理能力。如《标准(2011年版)》提出：“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”(基本理念)，“在观察、操作等活动中，能提出一些简单猜想”(第一学段)，“在观察、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力”，“能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”(第二学段)。教师要认真体会《标准(2011年版)》所提出的这些要求，针对小学生推理能力的特点，在课堂教学中开拓出更加有效的、多样化的活动形式。
最后需指出的是，要注意小学阶段对学生推理能力培养的适度性。尽管《标准(201 1年版)》提倡让学生多经历“以合情推理作出猜想，以演绎推理作出证明”的过程，但结合第一、二学段的课程目标要求，所做的主要是通过合情推理去作出猜想，在一些内容学习中，适度地涉及对结论的某种验证，教师对上述要求要正确理解。
八、模型思想
模型思想是此次《标准(2011年版)》修订新增的核心概念之一。
所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象、概括地表征所研究对象(中小学主要指现实问题)的主要特征、关系所形成的一种数学结构。在义务教育阶段数学中，为表征特定的现实问题，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种图表、图形等都是数学模型。
1．为何要在义务教育阶段提出模型思想? 主要有如下原因：
(1)模型思想是一种基本的数学思想。此次标准修订，由数学“双基”发展成数学“四基”，“模型思想”作为10个核心概念中唯一一个以“思想”指称的概念，这实际上是对“四基”之一的“数学基本思想”作出的回应，也体现出它应有的重要意义；
(2)模型思想与很多课程目标点密切相关。如数感、符号意识、几何直观、发现、提出问题能力、数学的联系、数学应用意识、改善数学学习方式等等，提出模型思想能很好地支撑这些课程目标的实现；
(3)模型思想本身就渗透于各课程内容领域之中，突出模型思想有利于更好理解、掌握所学内容。如数与代数中的代数式及方程、几何中的图形、统计中的统计图或表格、综合实践活动中表示问题的数量关系式等等，都可以结合具体实际问题从模型的角度去阐释其特定的意义；
(4)数学建模已是高中数学课程的学习内容，提出模型思想能更好与高中课程衔接；
(5)培养学生的模型思想对义务教育阶段学生来说是可行的。尽管思想的渗透、感悟、培养不像某些知识的掌握那样可以立竿见影，但通过建立数学模型解决现实问题的活动过程步骤性强，且问题的难易、要求的高低完全可以根据内容和学生实际情况来确定。
2．认清模型思想的本质要求。
作为中小学课程中的模型思想应该在数学本质意义上给学生以感悟，以形成正确的数学态度。正因为如此，《标准(201 1年版)》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”它鲜明地表达了这样的意义：模型思想的本质要求就是使学生体会和理解数学与外部世界的联系，而且它也是实现上述目的的基本途径。说形象点，我们就是希望在学生头脑中建立起这样的认识：数学与外部世界不是分离的而是紧密联系的，连接它们之间的“桥梁”就是数学模型。对模型思想的这一本质要求教师要注意通过教学予以落实。
3．模型思想的建立要蕴涵于数学建模之中。
模型思想的建立离不开数学建模活动，《标准(2011年版)》从义务教育数学课程的实际情况出发，将数学建模活动过程简化为这样三个环节：
首先是“从现实生活或具体情境中抽象出数学问题”。这表明发现和提出问题是数学建模的起点。然后“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”。在这一步中，学生要通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等等数学活动，完成模式抽象，得到模型。这是建模最重要的一个环节。最后，通过模型去“求出结果并讨论结果的意义”。
显然，数学建模过程可以使学生在多方面得到培养而不只是知识、技能，更有思想、方法，也有经验积累，其情感态度(如兴趣、自信心、科学态度等)也会得到提高。
4．关于模型思想的培养。
模型思想作为一种思想要真正使学生有所感悟需要经历一个长期的过程，在这一过程中，学生总是从相对简单到相对复杂，相对具体到相对抽象，逐步积累经验，初步掌握一些建模方法，逐步形成运用模型去进行数学思维的习惯。教师在教学中要注意根据学生的年龄特征和不同学段的要求，循序渐进，逐步渗透。比如，在一学段，可以引导学生经历从现实情境中抽象出数、简单几何体和平面图形的过程和简单数据收集、整理的过程，使学生能学会用适当的符号来表示这些现实情境中的简单现象，提出一些力所能及的数学问题；在二学段，通过一些具体问题，引导学生通过观察分析抽象出更为一般的模式表达，比如，用字母表示有关问题的运算律和运算性质，根据具体的行程问题、购物问题总结出路程、速度、时间，单价、数量、总价等关系式。以后逐步过渡到能主动地运用数学模型去观察、分析、解决一些力所能及的现实问题。
教师在教学中还可利用数学建模所具有的问题性、活动性、过程性、探索性等特点，在学生学习方式的改革上做一些探索。比如，小课题学习方式(学生根据自己的生活经验和对现实情境的观察，提出研究的小课题)、协作式学习方式(依据数学建模的不同要求和步骤，充分发挥小组各成员的长处实行小组内的分工与合作方式)、开放式学习方式(如打破课内课外界限，走人社会，进行数学调查，或充分利用网络资源，收集建模有用信息等)、信息技术支撑的学习方式(充分利用计算机的计算、图形功能及特有软件的应用功能等，构建模型)，这些新的学习方式都可以根据学生的年龄特征在不同层次、水平上采用。
九、应用意识
数学应用意识是一种用数学的眼光、从数学的角度观察、分析、解决现实世界中问题的积极的心理倾向和思维反应。它的本质要求是如何积极、主动地“用”数学。
1．应进一步强化数学应用。
加强数学应用，培养学生的数学应用意识是数学课程改革的重要价值取向。长期以来，数学应用意识的失落是教学中普遍存在的现象。尽管课改以来数学教学已在关注数学的应用，但真正落实到目标上还有较大差距，这是课改应该进一步强化的方面。加强数学应用，不是简单地增加几个应用题，也不仅仅是追求实际问题得以解决的数学工具价值，它事实上体现了数学中更加本质的东西：数学应用是认识数学、体验数学的过程，学生通过这一过程能学会数学地思考，掌握数学思想方法，感悟数学的精神并形成正确的数学态度。从根本上看，它追求的是学生数学素养的提升和创新精神、实践能力的培养、发展。
2．如何理解数学应用意识的两个方面的含义?
《标准(2011年版)》从两个方面表述了数学应用意识的含义：
一方面“有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题。”这里实际指的是主动“用”数学知识的意识，这种意识的指向是“数学知识现实化”。仔细分析一下，这里有两层要求：其一，要有意识地利用数学的知识去解释现实世界中的诸多现象。学生面对日常生活中的一些现象，应该其有一定的数学敏感性，要善于从数学的角度去解释这些现象。例如，电视台播放某大奖赛实况，总要去掉一个最高分，一个最低分，然后求其他评分的平均数，这是为什么呢?学生面对这个问题应该运用所学的统计中的知识去作出解释。其二，有意识地运用数学知识去解决现实生活中的问题。例如，在学习了“两点之间线段最短”后，善于思考的同学就会发现，我能解决“在两个汽车站之间，怎样设加油站的位置，使得到两个汽车站的距离最小”这一实际问题。学数学的目的就是用数学，这一意识需要在教学中强化。
另一方面“认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。”这里指的是对现实生活主动进行数学“抽象”的一种意识，它的目标指向是“现实问题数学化”。这里也有两点要求：一是要让学生认识到现实生活中处处有数学，数学就在我们的身边。例如与家庭日常生活有关的就可以举出许多：水电气费统计、商店购物、旅游线路、购房户型图、储蓄、保险、股票等等；二是要使学生认识到现实生活中的大量问题都可以转变威数学问题，并用数学方法予以解决。即从解决现实问题方法的角度去体会数学应用的广泛性，从而增强数学应用的意识。 对学生应用意识的培养，要注重在教学中联系学生的生活实际，讲清知识的来龙去脉，加强学生“由数学看现实，由现实想数学”的意识和习惯，特别注意通过综合实践活动，来培养学生运用数学解决实际问题的能力。
十、创新意识
1．将创新意识作为核心概念提出的意义何在?
在新的时代背景下，如何使教育更好地适应国家对人才培养的要求，如何探索创新人才的培养模式，已成为继续深化基础教育课程改革的重要任务。创新人才培养是一项系统工程，它需要统筹小学、中学、大学直至就业等各个环节，形成一个良性的、可持续发展的人才培养机制。研究表明，创新意识的培养应该从儿童抓起，基础教育阶段是培养学生创新意识、能力的重要阶段。而这一阶段中的数学课程应该在培养学生创新意识上发挥它特有的功能。正如《标准(2011年版)》所指出的：“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。”
应该指出，这一核心概念强调的是培养“创新”的意识，即表现为一种主动去探索、发现的心理倾向、一种积极的态度，培养这种意识在小学数学课堂教学中不仅是完全可行的，而且它对学生的知识、技能的学习也会起到良好的促进作用。
2．在课堂教学中培养学生创新意识的三个切入点。
《标准(2011年版)》指出：“学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。”从基础、核心、方法三个方面指明了创新意识的要素。这既为我们培养学生创新意识提出TJL个基本的切入点和路径，又使创新意识这种比较“虚”的东西落在了比较实在的载体上，即围绕这三个要素，教师应紧紧抓住“数学问题”、“学会思考”、“猜想、验证”这几个点，做足教学中的“文章”，创新意识培养的目标就有可能得到落实。
在具体的课堂教学中，有这样几点值得注意：应该鼓励学生质疑、不盲从，勇于发表自己的观点，课堂上有了思维的火花与碰撞，就会产生新的想法和观点；要善于营造一个以问题驱动的学习环境，让学生在这样的环境中活跃思维，开阔思路，并能自主地发现、提出问题；要善于在具体“做”的过程中根据学生的实际情况教给学生一些探究的方法，逐步使学生学会数学的思考，并积累数学话动经验；要重视综合与实践课程的教学，充分发挥其“以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动”的特点和功能，让学生经历观察、实验、归纳、抽象、概括、猜想等多样性的活动，经历发现问题、提出问题、进而分析、解决问题的全过程，使综合与实践真正成为培养学生创新意识和实践能力的有效载体．
