第26计 数列开门 前后跟踪
●计名释义
数列是特殊的函数，告诉了自变量是正自然数的函数，因此只要我们应知道这个特殊函数有两种关系式，除通项公式外，还有前后跟踪关系的递推式.高考30年来，数列的难题几乎都出现在递推式中.
●典例示范
【例1】 若数列{an}满足：a1=1，an=+n+an-1， n∈N*，n≥2，求证：an=
，n∈N*.
【证明】 在递推式中，分别令n=2，3，4,…，直到n，得到(n-1)个等式：
a2=+2+a1 a3=+3+a2
a4=+4+a3…… an=
将这(n-1)个等式整体相加得
an=++…++2+3+…+n+a1
=.
当n=1时，a1=1,也适合上式，
∴an=，n∈N*
【点评】 这里an与an-1的系数相等（都是1），并且在等号的两旁，因此由递推式得到的（n-1）个等式相加后，很多项可以消去，进而顺利求出an.
由于数列可以看作是正整数n的函数，因此对于以递推关系式出现的问题，常常可以从递推关系式中的n=1，2，3，……入手，得到一系列的等式，通过对它们进行或加、或减、或乘、或除等运算，使问题获得解决.递推意识是解数列问题的一种最基本、最重要的意识.
【例2】 (2006年全国卷Ⅰ)设数列{an}的前n项的和Sn=an-×2n+1+,n=1，2，3,……（Ⅰ）求首项a1与通项an；
（Ⅱ）设Tn=，n=1，2，3,……求证：
【解答】 （Ⅰ）a1=S1=a1-，解得a=2.
an+1=Sn+1-Sn=an+1-an-(2n+2-2n+1),∴an+1=4an+2n+1.
这里an的系数是4，无法仿照例1直接用递推法求解.先将已知递推式的两边同除以2n+1得到
若令bn=，则有bn+1=2bn+1 (*)
(*)式就是我们熟知的线性递推式，它可以运用待定系数法求解.
设bn+1+k=2(bn+k)，即bn+1=2bn+k. ∴k=1，故=2(n∈N*)，
即{bn+1}是以b1+1为首项，2为公比的等比数列.
∴bn+1=(b1+1)·2n-1bn=2n-1an=4n-2n.(n∈N*)
（Ⅱ）Sn=an-×2n+1 +=(4n-2n)- ×2n+1 +=(2n+1-1)(2n-1).
Tn=,
∴
【点评】 这里的递推式an+1=4an+2n+1化成bn+1=2bn+1后，形如an+1=Aan+B.
对于an+1=Aan+B：当A=1时，an+1=an+B， 即an+1-an=B，故通项an=a1+(n-1)B；
当A≠1时，an+1+k=Aan+B+k=A,
令k=，则(A-1)k=B，即k=,
∴{an+k}是以a1+k=a1+为首项，公比为A的等比数列.
于是an+k=·An-1，∴an=·An-1 -.
【例3】 (2006年安徽高考题)数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=，Sn=n2an-n(n-1)，n=1,2,……写出Sn与Sn-1的递推关系式(n≥2)，并求Sn关于n的表达式.
【解答】 当n≥2时，an=Sn-Sn-1,代入Sn=n2an-n(n-1)中，
得Sn=n2(Sn-Sn-1)-n (n-1), 即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1) (*)
这就是Sn与Sn-1的递推关系式.
将(*)式两边同除以n(n-1)得Sn-Sn-1=1(n≥2).
构造新数列，它是以2S1=2a1=1为首项，1为公差的等差数列.
于是=1+(n-1)×1=n，即Sn=(n≥2).
显然，上式当n=1时也成立.∴Sn=，n∈N*.
【点评】 这里构造新数列，关键在于能将（*）式变形为Sn-Sn-1=1,由此发现递推关系.
高考中许多数列问题，往往是以等比、等差这两类基本数列为背景设计而成的.解决这类问题，常常可以通过构造新数列来实现问题的转化.强化构造意识，有助于创新能力的提高
●对应训练
1.假定一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并此后每一个月生一对小兔，如果不发生死亡，问一对刚出生的小兔一年可繁殖成多少对？
2.对任意函数f (x)，x∈D,可按图所示构造
一个数列发生器，其工作原理如下：
① 输入数据x0∈D，经数列发生器
输出x1=f (x0);
②若x1D，则数列发生器结束工作；
若x1∈D，则将x1反馈回输入端，
再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去，
现定义f (x)=
(1) 若输入x0=则由数列发生器产生数列{xn}, 第2题图
请写出数列{xn}的所有项；
(2)若要数列发生器产生一个无穷常数数列，试求输入的初始数据x0的值；
(3)若输入x0时，产生无穷数列{xn}满足：对任意正整数n，均有xn<xn+1，求x0的取值范围.
3.某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1至n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位
职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3,并用k、n和b表示ak;(不必证明)
(2)证明ak>ak+1(k=1,2,…,n-1)，并解释此不等式关于分配原则的实际意义.
(3)发展基金与n和b有关，记为Pn(b)，对常数b，当n变化时，求.
●参考答案
1.把第n个月的兔子总数记为f (n)，则f (1)=1，f (2)=1，f (3)=2，f (4)=3，f (5)=5，f (6)=8，f (7)=13,…….考查数列{f(n)}的规律，不难发现，从第三项开始，第一项都是前两项之和：f (3)= f (1)+f (2)；f (4)= f (2)+f (3)；f (5)=f (3)+f (4)；f (6)= f (4)+f (5)；f (7)=f (5)+f (6);…，
f (13)= f(11)+f(12)=89+144=233,所以，一对兔子一年可繁殖成233对.
2.(1)∵ f (x)的定义域D=(-∞,-1)∪(-1,+∞)
∴ 数列{xn}只有三项：x1=，x2=，x3=-1.
(2)∵ f (x)==x即x2-3x+2=0, ∴ x=1或x=2.
即当x0=1或2时，xn+1==xn
故当x0=1时，xn=1；当x0=2时，xn=2(n∈N)
(2) 解不等式x<,
∴ <0，得x<-1或1<x<2，
要使x1<x2，则x1<-1或1<x1<2,
对于函数f (x)= =, 若x1<-1，则x2=f (x1)>4，x3= f (x2)<x2,
当x1∈(1,2)时，x2= f (x1)>x1，且1<x2<2. 依次类推，可得数列{xn}的所有项均
满足xn+1>xn(n∈N+).
综上所述，x1∈(1,2)时，由x1= f (x0),得x0∈(1,2).
点评 本题主要考查函数的基本知识，数列的基本知识，解不等式的基本方法，以及综合运用知识的能力和判断推理能力.本题利用框图形式把函数、数列、不等式等知识点冶为一炉，形式新颖，结构巧妙，富于思考.今后仍有可能出现这种富有创新意识的试题.
3.(1)第1位职工的奖金a1=；第2位职工的奖金a2=；
第3位职工的奖金a3=；……第k位职工的奖金ak=.
(2)ak - ak+1=>0.
此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则.
（3）设fk(b)表示奖金发给第k位职工后所剩余款，则
f1(b)=，f2(b)=，…，fk(b)=.
得 Pn(b)= fn(b)=， 故 .
点评：本题主要考查数列、不等式、极限的综合运用以及结合职
工福利的实际应用，这正是近年高考命题的热点和重点.
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