高中数学 - 函数单调性

函数的单调性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本文主要帮助考生深刻理解函数单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.

知识点一：函数单调性

(1)相关概念

增函数：一般地，设函数

的定义域为

，如果对于属于定义域

内某个区间上任意两个自变量的值

，当

，都有

，那么就说

在这个区间上是增函数，如下图（1）；

用数学符号表示：

是增函数.

减函数：一般地，设函数

的定义域为

，如果对于属于定义域

内某个区间上任意两个自变量的值

，当

，都有

，那么就说

在这个区间上是减函数，如下图（2）.

用数学符号表示：

是减函数.

      

单调性：如果函数

在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数

在这一区间具有（严格的）单调性.

单调区间：函数

在某个区间上具有单调性，则这一区间就叫做函数

的单调区间.

（2）对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：

①单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性；

②单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的

具有任意性，不能用特殊值代替.

③由于定义都是充要性命题，因此由

是增（减）函数，且

，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.

知识点二：函数单调性的判定方法（常用的）

（1） 定义法（基本法）；

①取值：任取

，且

；

②作差：

；

③变形：通常是因式分解或配方；

④定号：即判断差

的正负；

⑤下结论：即指出函数

在给定区间

上的单调性.

例：判断函数

在（1，+∞）上的单调性．

变式训练：证明函数

在

上是减函数.

（2） 利用已知函数的单调性；

在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的单调性，因此掌握并熟记一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程. 

如果函数

在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数

在这一区间具有（严格的）单调性，区间

叫做

的单调区间.

①

的单调性：

增函数，

减函数；

②

的单调性：

减区间

；

增区间

；

③

的单调性：

，减区间

，增区间

；

，增区间

，减区间

；

④

在区间

上是增（减）函数，则

时，

在

上是增（减）函数；

时则相反；

⑤若

、

是区间

上的增（减）函数，则

在区间

上是增（减）函数；

⑥若

且在区间

上是增（减）函数，则

在

上是减（增）函数，

在

上是增（减）函数；

⑦轴（与

轴垂直）对称图形的函数在它们的对称区间上的单调性相反，中心对称图形的函数在它们的对称区间上单调性相同，例如求下列函数的单调区间：

，

，

.

（3） 利用函数的图像；

函数y＝|x²－2x－3|的单调增区间是________．

【解析】　y＝|x²－2x－3|＝|(x－1)²－4|，

作出该函数的图像(如图)．

由图像可知，其增区间为[－1,1]和[3，＋∞)．

（4） 依据一些常用结论及复合函数单调性的判定方法；

①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；

②一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；

③奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；

④偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；

⑤互为反函数的两个函数有相同的单调性；

⑥如果

在区间

上是增（减）函数，那么

在区间

的任一子区间上也是增（减）函数；

⑦如果

单调性相同，那么

是增函数；如果

单调性相反，那么

是减函数.

对于复合函数的单调性，可概括为“同性则增，异性则减”

例：函数

的单调减区间是 （      ）

A.

      B.

           C.

          D.

知识点三：函数单调性的应用

（1）  利用函数的单调性可以比较函数值的大小；

例：已知

对称轴为

 ，比较

、

 、

 的大小。

（2）  利用函数的单调性求参数的取值范围；

例：已知

在

 上是减函数，求实数

的取值范围。

变式训练：函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3)                         B．(0，＋∞)

C．(3，＋∞)                              D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

（3）  求某些函数的值域或最值；

①直接法：利用常见函数的值域来求

一次函数y=ax+b(a

0)的定义域为R，值域为R；

反比例函数

的定义域为{x|x

0}，值域为{y|y

0}；

二次函数

的定义域为R，

当a>0时，值域为{

}；

当a<0时，值域为{

}。

②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：

的形式；

③分式转化法（或改为“分离常数法”）

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑥基本不等式法：转化成型如：

，利用平均值不等式公式来求值域；

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

例1.求下列函数的值域：

（1）

；（2）

；（3）

；

（4）

；（5）

；（6）

；

（7）

；（8）

；（9）

。

解：（1）（配方法）

，

∴

的值域为

。

改题：求函数

，

的值域。

（利用函数的单调性）函数

在

上单调增，

∴当

时，原函数有最小值为

；当

时，原函数有最大值为

。

∴函数

，

的值域为

。

（2）求复合函数的值域：

设

（

），则原函数可化为

。

又∵

，

∴

，故

，

∴

的值域为

。

（3）（法一）反函数法：

的反函数为

，其定义域为

，

∴原函数

的值域为

。

（法二）分离变量法：

，

∵

，∴

，

∴函数

的值域为

。

（4）换元法（代数换元法）：设

，则

，

∴原函数可化为

，∴

，

∴原函数值域为

。

注：总结

型值域，

变形：

或

（5）三角换元法：

∵

，∴设

，

则

∵

，∴

，∴

，

∴

，

∴原函数的值域为

。

（6）数形结合法：

，

∴

，∴函数值域为

。

（7）判别式法：∵

恒成立，∴函数的定义域为

。

由

得：

    ①

①当

即

时，①即

，∴

②当

即

时，∵

时方程

恒有实根，

∴△

，

∴

且

，

∴原函数的值域为

。

（8）

，

∵

，∴

，

∴

，

当且仅当

时，即

时等号成立。

∴

，

∴原函数的值域为

。

（9）（法一）方程法：原函数可化为：

，

∴

（其中

），

∴

，

∴

，

∴

，

∴

，

∴原函数的值域为

。

点评：上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，在现行的中学数学要求中，求值域要求不高，要求较高的是求函数的最大与最小值，在后面的复习中要作详尽的讨论。

案列探究

［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(

)=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(

),试证明：

(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.

命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.

知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.

错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.

技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定

的范围是焦点.

证明：(1)由f(x)+f(y)=f(

),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(

)=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.

(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.

令0<x₁<x₂<1,则f(x₂)－f(x₁)=f(x₂)－f(－x₁)=f(

)

∵0<x₁<x₂<1,∴x₂－x₁>0,1－x₁x₂>0，∴

>0,

又(x₂－x₁)－(1－x₂x₁)=(x₂－1)(x₁+1)<0

∴x₂－x₁<1－x₂x₁,

∴0<

<1,由题意知f(

)<0，

即f(x₂)<f(x₁).

∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.

∴f(x)在(－1，1)上为减函数.

［例2］设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a²+a+1)<f(3a²－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=(

)

的单调递减区间.

命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.

知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.

错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.

技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.

解：设0<x₁<x₂,则－x₂<－x₁<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，

∴f(－x₂)<f(－x₁),∵f(x)为偶函数，∴f(－x₂)=f(x₂),f(－x₁)=f(x₁),

∴f(x₂)<f(x₁).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.

由f(2a²+a+1)<f(3a²－2a+1)得：2a²+a+1>3a²－2a+1.解之，得0<a<3.

又a²－3a+1=(a－

)²－

.

∴函数y=(

)

的单调减区间是［

，+∞］

结合0<a<3,得函数y=(

)

的单调递减区间为［

，3).

锦囊妙计

本难点所涉及的问题及解决方法主要有：

(1)判断函数的奇偶性与单调性

若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.

若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.

同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.

复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.

(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.

函数是高中数学的重要内容，函数的单调性又是函数的重要性质。在求解某些数学问题时，若能根据题目的结构特征，构造出一个适当的单调函数，往往能化难为易，化繁为简，获得巧解和妙解。下面举例说明。

一. 巧求代数式的值

例1. 已知

，求

的值。

解：已知条件可化为

设

，则

而

在R上是增函数

则有

，即

所以

点评：本题关键是将条件转化为

，再构造相应函数

，利用单调性求解。

拓展练习：已知方程

的根为α，方程

的根为β，求α+β的值。（答案：

）

二. 妙解方程

例2. 解方程

解：易见x=2是方程的一个解

原方程可化为

而

（因为

）

在R上是减函数，

同样在R上是减函数

因此

在R上是减函数

由此知：当

时，

当

时，

这说明

与

的数都不是方程的解，从而原方程仅有唯一解

。

拓展训练：解方程

。（答：

）

点评：解该类型题有两大步骤：首先通过观察找出其特解

，然后等价转化为

的形式，最后根据

的单调性得出原方程的解的结论。

三. 妙求函数的值域

例3. 求函数

的值域。

解：令

，则

因为

，所以

而

在

内递增

所以

又

而

所以

为所求原函数的值域。

四. 巧解不等式

例4. 解不等式

解：设

原不等式可化为

则

，即

设

显然

是R上的减函数，且

，那么不等式

即

因此有

，解得

点评：解不等式其实质是研究相应函数的零点，正负值问题。用函数观点来处理此类问题，不仅可优化解题过程，且能让我们迅速获得解题途径。

拓展训练：解不等式

。（答：

）

五. 巧证不等式

例5. 设

，求证

。

证明：当m，n中至少有一个为0时，则有

，结论成立。

设

因为

在

上单调递增

所以

与

必同号，或同为0（当且仅当

时）

从而

因此，原不等式成立（当且仅当

或

，或

时取“=”号）。

点评：原不等式等价于

，这可由幂函数

在

上递增而得到。

本题可拓展：令

，则

。

六. 巧解恒成立问题

例6. 已知函数

对区间

上的一切x值恒有意义，求a的取值范围。

解：依题意，

对

上任意x的值恒成立

整理为

对

上任意x的值恒成立。

设

，只需

而

在

上是增函数

则

所以

七. 巧建不等关系

例7. 给定抛物线

，F是C的焦点，过点F的直线

与C相交于A，B两点，设

。若

，求l在y轴上的截距的变化范围。

解：设

由

，得

联立（1）（2）（3）（4），解得

所以

或

所以

的方程为

或

当

时，

在y轴的截距为

令

，则

所以

在［4，9］上是减函数

故

所以直线

在y轴上截距的取值范围是：

八. 巧解数列问题

例8. 已知数列

是等差数列，

。

（1）求数列

的通项公式；

（2）设数列

的通项

，S_n是数列

的前n项和，试比较

与

的大小，并证明你的结论。

解：（1）由

，

有

得

因此

（2）

设

（n为正整数）

所以

即

在

上是递增的

从而

即

所以当

时，

当

时，

1)两个“同性”的函数的和或差的奇偶性不变； 
2)两个“同性”的函数的积或商（商中除式不能为零）是偶函数； 
3)两个“异性”的函数的和或差是非奇非偶函数； 
4)两个“异性”的函数的积或商（商中除式不等于零）是奇函数。

    复合函数的单调性：遵循同增，异减的原则；在复合函数F(x)=f(g(x))中，设y=f(u)，u=g(x)，则：当f(x)单增，且g(x)单增时；或当f(x)单减，且g(x)单减时，y单增；当f(x)单增，且g(x)单减时；或f(x)单减，且g(x)单增时，y单减；复合函数的奇偶性：f，g有一个是偶函数，F就是偶函数，只有f，g都是奇函数的时候，F才是奇函数。

课后作业

难点训练

一、选择题

1.(★★★★)下列函数中的奇函数是(   )

A.f(x)=(x－1)

                                    B.f(x)=

C.f(x)=

                                 D.f(x)=

2.(★★★★★)函数f(x)=

的图象(   )

A.关于x轴对称                                                B.关于y轴对称

C.关于原点对称                                                D.关于直线x=1对称

二、填空题

3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.

4.(★★★★★)若函数f(x)=ax³+bx²+cx+d满足f(0)=f(x₁)=f(x₂)=0(0<x₁<x₂),且在［x₂,+∞

上单调递增，则b的取值范围是_________.

三、解答题

5.(★★★★)已知函数f(x)=a^x+

 (a>1).

(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.

(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.

6.(★★★★★)求证函数f(x)=

在区间(1，+∞)上是减函数.

7.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：

(i)f(x₁－x₂)=

；

(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：

(1)f(x)是奇函数.

(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.

8.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且

f(－

)=0,当x>－

时，f(x)>0.

(1)求证：f(x)是单调递增函数；

(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.

参考答案

难点训练

一、1.解析：f(－x)=

 =－f(x)，故f(x)为奇函数.

答案：C

2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.

答案：C

二、3.解析：令t=|x+1|,则t在(－∞,－1

上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1

上递减.

答案：(－∞,－1

4.解析：∵f(0)=f(x₁)=f(x₂)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x₁)(x－x₂)=ax³－a(x₁+x₂)x²+ax₁x₂x，

∴b=－a(x₁+x₂),又f(x)在［x₂,+∞

单调递增，故a>0.又知0＜x₁＜x,得x₁+x₂>0,

∴b=－a(x₁+x₂)＜0.

答案：(－∞,0）

三、5.证明：(1）设－1＜x₁＜x₂＜+∞,则x₂－x₁>0,

>1且

>0,

∴

>0,又x₁+1>0,x₂+1>0

∴

>0,

于是f(x₂)－f(x₁)=

+

 >0

∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数.

(2）证法一：设存在x₀＜0(x₀≠－1)满足f(x₀)=0,则

且由0＜

＜1得0＜－

＜1,即

＜x₀＜2与x₀＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.

证法二：设存在x₀＜0(x₀≠－1)使f(x₀)=0,若－1＜x₀＜0,则

＜－2,

＜1,∴f(x₀)＜－1与f(x₀)=0矛盾，若x₀＜－1,则

>0,

>0，∴f(x₀)>0与f(x₀)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.

6.证明：∵x≠0,∴f(x)=

,

设1＜x₁＜x₂＜+∞,则

.

∴f(x₁)>f(x₂),故函数f(x)在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决）

7.证明：(1）不妨令x=x₁－x₂,则f(－x)=f(x₂－x₁)=

 

=－f(x₁－x₂)=－f(x).∴f(x)是奇函数.

(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).

∵f(x+a)=f［x－(－a)］=

.

∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］=

=f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.

8.(1）证明：设x₁＜x₂,则x₂－x₁－

>－

,由题意f(x₂－x₁－

)>0,

∵f(x₂)－f(x₁)=f［(x₂－x₁)+x₁］－f(x₁)=f(x₂－x₁)+f(x₁)－1－f(x₁)=f(x₂－x₁)－1=f(x₂－x₁)+f(－

)－1=f［(x₂－x₁)－

］>0,

∴f(x)是单调递增函数.

(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.