高等数学公式——最新修订
导数公式：
(tgx)??secx(ctgx)???cscx(secx)??secx?tgx(cscx)???cscx?ctgx(ax)??axlna
1
(logax)??
xlna
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
2
2
(arcsinx)??
1
x2
1
(arccosx)???
x21
(arctgx)??
1?x2
1
(arcctgx)???
1?x2
tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C
secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?C
dx1x
arctg?C?a2?x2aadx1x?a
ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x
ln?a2?x22aa?x?Cdxx
arcsin?C?a2?x2
a
2
n
dx2
cos2x??secxdx?tgx?Cdx2
sin2x??cscxdx??ctgx?C
secx?tgxdx?secx?C?cscx?ctgxdx??cscx?C
ax
adx?lna?C
x
shxdx?chx?C?chxdx?shx?C?
dxx2?a2
ln(x?x2?a2)?C
2
In??sinxdx??cosnxdx?
n?1
In?2n
x2a22
x?adx?x?a?ln(x?x2?a2)?C
22x2a2222
x?adx?x?a?lnx?x2?a2?C
22xa2x2222
a?xdx?a?x?arcsin?C
22a
2
2
2u1?u2x2du
sinx?， cosx?， u?tg， dx?
21?u21?u21?u2
1 / 12
一些初等函数： 两个重要极限：
ex?e?x
双曲正弦:shx?
2ex?e?x
双曲余弦:chx?
2
shxex?e?x
双曲正切:thx??
chxex?e?xarshx?ln(x?x2?1）archx??ln(x?x2?1)
11?x
arthx?ln
21?x
三角函数公式： ·诱导公式：
sinx lim?1x?0 x
1
lim(1?)x?e?2.718281828459045...x?? x
·和差角公式： ·和差化积公式：
sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?tg(???)?
tg??tg?1?tg??tg?ctg??ctg??1
ctg(???)?
ctg??ctg?
sin??sin??2sin
22??????
sin??sin??2cossin
22??????
cos??cos??2coscos
22??????
cos??cos??2sinsin
22
cos
2 / 12
·倍角公式：
sin2??2sin?cos?
cos2??2cos2??1?1?2sin2??cos2??sin2?ctg2??1
ctg2??
2ctg?2tg?
tg2??
1?tg2?
·半角公式：
sin3??3sin??4sin3?cos3??4cos3??3cos?3tg??tg3?tg3??
1?3tg2?
sintg
2
cos???cos?
cos??222
1?cos?1?cos?sin???cos?1?cos?sin?
ctg????
1?cos?sin?1?cos?21?cos?sin?1?cos?
abc
2R ·余弦定理：c2?a2?b2?2abcosC sinAsinBsinC
2
·正弦定理：
·反三角函数性质：arcsinx?
2
arccosx arctgx?
2
arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
(uv)
(n)
k(n?k)(k)
Cnuvk?0
n
u(n)v?nu(n?1)v??
n(n?1)(n?2)n(n?1)?(n?k?1)(n?k)(k)
uv?????uv???uv(n)
2!k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)f(b)?f(a)f?(?)
F(b)?F(a)F?(?)
曲率：
当F(x)?x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
弧微分公式：ds??y?2dx,其中y??tg?平均曲率：K?
:从M点到M?点，切线斜率的倾角变化量；?s：MM?弧长。?s
y????d? M点的曲率：K?lim??.
s?0?sds(1?y?2)3
1.a
3 / 12
直线：K?0;半径为a的圆：K?
定积分的近似计算：
b
矩形法：?f(x)?
ab
b?a
(y0?y1???yn?1)n
b?a1
[(y0?yn)?y1???yn?1]n2
b?a
[(y0?yn)?2(y2?y4???yn?2)?4(y1?y3???yn?1)]3n
梯形法：?f(x)?
a
b
抛物线法：?f(x)?
a
定积分应用相关公式：
功：W?F?s
水压力：F?p?A
mm
引力：F?k122,k为引力系数
r
b1
函数的平均值：y?f(x)dx?b?aa1f2(t)dt?b?aa
空间解析几何和向量代数：
b
空间2点的距离：d?M1M2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2向量在轴上的投影：Prju?cos?,?是u轴的夹角。
Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2????
a?b?a?bcos??axbx?ayby?azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cos??i
c?a?b?ax
bx
jayby
axbx?ayby?azbz
ax?ay?az?bx?by?bz
2
2
2
2
2
2
k
az,c?a?bsin?.例：线速度：v?w?r.bz
aybycy
az
bz?a?b?ccos?,?为锐角时，
cz
ax
向量的混合积：[abc]?(a?b)?c?bx
cx代表平行六面体的体积。
4 / 12
平面的方程：
1、点法式：A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0，其中n?{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax?By?Cz?D?0
xyz
3???1
abc平面外任意一点到该平面的距离：d?
Ax0?By0?Cz0?D
A2?B2?C2
x?x0?mt
x?xy?y0z?z0??
0???t,其中s?{m,n,p};参数方程：?y?y0?nt
mnp?z?z?pt
0?二次曲面：
x2y2z2
12?2?2?1
abcx2y2
2??z（,p,q同号）
2p2q3、双曲面：
x2y2z2
2?2?2?1
abcx2y2z2
2?2?2?（马鞍面）1
abc
多元函数微分法及应用
全微分：dz?
z?z?u?u?udx?dy du?dx?dy?dz?x?y?x?y?z
全微分的近似计算：?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y多元复合函数的求导法：
dz?z?u?z?v
z?f[u(t),v(t)]????
dt?u?t?v?t
z?z?u?z?v
z?f[u(x,y),v(x,y)]????
x?u?x?v?x
当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，du?
u?u?v?v
dx?dy dv?dx?dy ?x?y?x?y
隐函数的求导公式：
FxFFdydyd2y??
隐函数F(x,y)?0??2?(?x)＋(?x)?
dxFy?xFy?yFydxdxFyFx?z?z
隐函数F(x,y,z)?0????
xFz?yFz
5 / 12
重积分及其应用：
f(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd?
D
D?
曲面z?f(x,y)的面积A???
D
z???z?1???????y??dxdy?x????
2
2
Mx?M
x?(x,y)d?
D
(x,y)d?
D
D
,?
MyM
y?(x,y)d?
D
(x,y)d?
D
D
平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix???y2?(x,y)d?, 对于y轴Iy???x2?(x,y)d?平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{Fx,Fy,Fz}，其中：Fx?f??
D
(x,y)xd?
(x?y?a)
2
2
22
Fy?f??3
D
(x,y)yd?
(x?y?a)
2
2
22
Fz??fa??3
D
(x,y)xd?
(x?y?a)
2
2
3
22
柱面坐标和球面坐标：
x?rcos??
柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,z)rdrd?dz,?y?rsin?, ??????z?z
其中：F(r,?,z)?f(rcos?,rsin?,z)
x?rsin?cos??2
球面坐标：?y?rsin?sin?， dv?rd??rsin??d??dr?rsin?drd?d?
z?rcos??
2?
r(?,?)
2
F(r,?,?)rsin?dr?0
f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,?)rsin?drd?d???d??d?
2
1
M
x?dv, ?
1M
y?dv, ?
1M
z?dv， 其中M??????dv
转动惯量：Ix????(y2?z2)?dv， Iy????(x2?z2)?dv， Iz????(x2?y2)?dv
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
x??(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：, (??t??),则：?
y??(t)
L
x?t22
f(x,y)ds??f[?(t),?(t(t)??(t)dt (???) 特殊情况：?
y??(t)?
7 / 12
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：?x??(t)设L的参数方程为，则：?
y??(t)?
P(x,y)dx?Q(x,y)dy???{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt
L
两类曲线积分之间的关系：?Pdx?Qdy?
L
(Pcos??Qcos?)ds，其中?和?分别为
L
L上积分起止点处切向量的方向角。
Q?P?Q?P
格林公式：(?)dxdy?Pdx?Qdy格林公式：(?)dxdy??????x?y?x?yDLD?Q?P当P??y,Q?x??2时，得到D的面积：A?
x?y·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；
2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！
·二元函数的全微分求积：
Q?P在＝时，Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：
x?y
(x,y)
Pdx?Qdy
L
dxdy?2xdy?ydx
D
L
1
Q?P
＝。注意奇点，如(0,0)，应?x?y
u(x,y)?
(x0,y0)
P(x,y)dx?Q(x,y)dy，通常设x
y0?0。
曲面积分：
对面积的曲面积分：??f(x,y,z)ds?
Dxy
f[x,y,z(x,y22?zx(x,y)?zy(x,y)dxdy
对坐标的曲面积分：，其中：??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy
，取曲面的上侧时取正号；??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy
Dxy
，取曲面的前侧时取正号；??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz
Dyz
号。??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正
Dzx
两类曲面积分之间的关系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds
高斯公式：
(
P?Q?R
)dv?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?(Pcos??Qcos??Rcos?)ds?x?y?z??
高斯公式的物理意义——通量与散度：
P?Q?R?
散度：div????,即：单位体积内所产生的流体质量，若div??0,则为消失...
x?y?z??
通量：??A?nds???Ands???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，?因此，高斯公式又可写成：divA???dv?Ands
8 / 12
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
(
R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy?Pdx?Qdy?Rdz?y?z?z?x?x?y?
cos?
yQ
cos???zR
dydzdzdxcos?????
上式左端又可写成：??????x?y?z?x??
PQRP
R?Q?P?R?Q?P
空间曲线积分与路径无???
y?z?z?x?x?yijk
旋度：rotA?
x?y?zPQR
向量场A沿有向闭曲线?Pdx?Qdy?Rdz?A?tds
常数项级数：
1?qn等比数列：1?q?q???q?
1?q(n?1)n
等差数列：1?2?3???n?
2
111
调和级数：1?????是发散的
23n
2
n?1
级数审敛法：
1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：???1时，级数收敛
设：??limnun，则???1时，级数发散
n??
1时，不确定?
2、比值审敛法：
1时，级数收敛
U?
设：??limn?1，则???1时，级数发散
n??Un???1时，不确定
3、定义法：
sn?u1?u2???un;limsn存在，则收敛；否则发散。
n??
交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法——莱布尼兹定理：? ?un?un?1如果交错级数满足s?u1,其余项rnrn?un?1。?limu?0，那么级数收敛且其和
n??n??
绝对收敛与条件收敛：
9 / 12
(1)u1?u2???un??，其中un为任意实数；(2)u1?u2?u3???un??
如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；
如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1(?1)n
调和级数：?n发散，而?n1
级数：?n2收敛；
１时发散1
p级数：?npp?1时收敛
幂级数：
1
x?1时，收敛于
1?x1?x?x2?x3???xn??x?1时，发散
对于级数(3)a0?a1x ?a2x2???anxn??，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全
x?R时收敛
数轴上都收敛，则必存在R，使x?R时发散，其中R称为收敛半径。
x?R时不定
1
0时，R?
求收敛半径的方法：设lim
n??
an?1
，其中an，an?1是(3)??0时，R???an
时，R?0
函数展开成幂级数：
f??(x0)f(n)(x0)2
函数展开成泰勒级数：f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??
2!n!
f(n?1)(?) 余项：Rn?(x?x0)n?1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn?0
n??(n?1)!f??(0)2f(n)(0)n
x0?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x??
2!n!
一些函数展开成幂级数：
m(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)n
(1?x)m?1?mx?x???x?? (?1?x?1)
2!n!
352n?1xxx
sinx?x?????(?1)n?1?? (???x???)
3!5!(2n?1)!
欧拉公式：
eix?e?ix
cosx???2 eix?cosx?isinx 或?ix?ix?sinx?e?e?2?
三角级数：
10 / 12
a0
(ancosnx?bnsinnx)2n?1n?1
其中，a0?aA0，an?Ansin?n，bn?Ancos?n，?t?x。
f(t)?A0??Ansin(n?t??n)?
正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积在[??,?]上的积分＝0。
傅立叶级数：
a0
f(x)???(ancosnx?bnsinnx)，周期?2?
2n?1
1
f(x)cosnxdx (n?0,1,2?)?an??????
其中??
b?1f(x)sinnxdx (n?1,2,3?)?n?????
11?2
1?2?2???
835
111?2
24224262
正弦级数：an?0，bn?余弦级数：bn?0，an?
111?2
1?2?2?2???6234
111?2
1?2?2?2???122342
2
f(x)sinnxdx n?1,2,3? f(x)??b
n
sinnx是奇函数
f(x)cosnxdx n?0,1,2? f(x)?
a0
ancosnx是偶函数2
周期为2l的周期函数的傅立叶级数：
a0n?xn?x
f(x)???(ancos?bnsin)，周期?2l
2lln?1l?1n?x
dx (n?0,1,2?)?an??f(x)cos
ll??l
其中?l
b?1f(x)sinn?xdx (n?1,2,3?)?nl?l?l?
微分方程的相关概念： 一阶微分方程：y??f(x,y) 或 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0
可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：
g(y)dy??f(x)dx 得：G(y)?F(x)?C称为隐式通解。
齐次方程：一阶微分方dyy
f(x,y)??(x,y)，即写成的函数，解法：dxx
ydydududxduy
设u?，则?u?x，u???(u)，??代替u，
xdxdxdxx?(u)?ux即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
dy
1?P(x)y?Q(x)
dx
P(x)dx
当Q(x)?0时,为齐次方程，y?Ce?
P(x)dx
P(x)dx
dx?C)e?
当Q(x)?0时，为非齐次方程，y?(?Q(x)e?dy2?P(x)y?Q(x)yn，(n?0,1)
dx
11 / 12
高等数学公式——最新修订
导数公式：
(tgx)??secx(ctgx)???cscx(secx)??secx?tgx(cscx)???cscx?ctgx(ax)??axlna
1
(logax)??
xlna
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
2
2
(arcsinx)??
1
x2
1
(arccosx)???
x21
(arctgx)??
1?x2
1
(arcctgx)???
1?x2
tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C
secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?C
dx1x
arctg?C?a2?x2aadx1x?a
ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x
ln?a2?x22aa?x?Cdxx
arcsin?C?a2?x2
a
2
n
dx2
cos2x??secxdx?tgx?Cdx2
sin2x??cscxdx??ctgx?C
secx?tgxdx?secx?C?cscx?ctgxdx??cscx?C
ax
adx?lna?C
x
shxdx?chx?C?chxdx?shx?C?
dxx2?a2
ln(x?x2?a2)?C
2
In??sinxdx??cosnxdx?
n?1
In?2n
x2a22
x?adx?x?a?ln(x?x2?a2)?C
22x2a2222
x?adx?x?a?lnx?x2?a2?C
22xa2x2222
a?xdx?a?x?arcsin?C
22a
2
2
2u1?u2x2du
sinx?， cosx?， u?tg， dx?
21?u21?u21?u2
1 / 12
一些初等函数： 两个重要极限：
ex?e?x
双曲正弦:shx?
2ex?e?x
双曲余弦:chx?
2
shxex?e?x
双曲正切:thx??
chxex?e?xarshx?ln(x?x2?1）archx??ln(x?x2?1)
11?x
arthx?ln
21?x
三角函数公式： ·诱导公式：
sinx lim?1x?0 x
1
lim(1?)x?e?2.718281828459045...x?? x
·和差角公式： ·和差化积公式：
sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?tg(???)?
tg??tg?1?tg??tg?ctg??ctg??1
ctg(???)?
ctg??ctg?
sin??sin??2sin
22??????
sin??sin??2cossin
22??????
cos??cos??2coscos
22??????
cos??cos??2sinsin
22
cos
2 / 12
·倍角公式：
sin2??2sin?cos?
cos2??2cos2??1?1?2sin2??cos2??sin2?ctg2??1
ctg2??
2ctg?2tg?
tg2??
1?tg2?
·半角公式：
sin3??3sin??4sin3?cos3??4cos3??3cos?3tg??tg3?tg3??
1?3tg2?
sintg
2
cos???cos?
cos??222
1?cos?1?cos?sin???cos?1?cos?sin?
ctg????
1?cos?sin?1?cos?21?cos?sin?1?cos?
abc
2R ·余弦定理：c2?a2?b2?2abcosC sinAsinBsinC
2
·正弦定理：
·反三角函数性质：arcsinx?
2
arccosx arctgx?
2
arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
(uv)
(n)
k(n?k)(k)
Cnuvk?0
n
u(n)v?nu(n?1)v??
n(n?1)(n?2)n(n?1)?(n?k?1)(n?k)(k)
uv?????uv???uv(n)
2!k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)f(b)?f(a)f?(?)
F(b)?F(a)F?(?)
曲率：
当F(x)?x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
弧微分公式：ds??y?2dx,其中y??tg?平均曲率：K?
:从M点到M?点，切线斜率的倾角变化量；?s：MM?弧长。?s
y????d? M点的曲率：K?lim??.
s?0?sds(1?y?2)3
1.a
3 / 12
直线：K?0;半径为a的圆：K?
定积分的近似计算：
b
矩形法：?f(x)?
ab
b?a
(y0?y1???yn?1)n
b?a1
[(y0?yn)?y1???yn?1]n2
b?a
[(y0?yn)?2(y2?y4???yn?2)?4(y1?y3???yn?1)]3n
梯形法：?f(x)?
a
b
抛物线法：?f(x)?
a
定积分应用相关公式：
功：W?F?s
水压力：F?p?A
mm
引力：F?k122,k为引力系数
r
b1
函数的平均值：y?f(x)dx?b?aa1f2(t)dt?b?aa
空间解析几何和向量代数：
b
空间2点的距离：d?M1M2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2向量在轴上的投影：Prju?cos?,?是u轴的夹角。
Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2????
a?b?a?bcos??axbx?ayby?azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cos??i
c?a?b?ax
bx
jayby
axbx?ayby?azbz
ax?ay?az?bx?by?bz
2
2
2
2
2
2
k
az,c?a?bsin?.例：线速度：v?w?r.bz
aybycy
az
bz?a?b?ccos?,?为锐角时，
cz
ax
向量的混合积：[abc]?(a?b)?c?bx
cx代表平行六面体的体积。
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平面的方程：
1、点法式：A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0，其中n?{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax?By?Cz?D?0
xyz
3???1
abc平面外任意一点到该平面的距离：d?
Ax0?By0?Cz0?D
A2?B2?C2
x?x0?mt
x?xy?y0z?z0??
0???t,其中s?{m,n,p};参数方程：?y?y0?nt
mnp?z?z?pt
0?二次曲面：
x2y2z2
12?2?2?1
abcx2y2
2??z（,p,q同号）
2p2q3、双曲面：
x2y2z2
2?2?2?1
abcx2y2z2
2?2?2?（马鞍面）1
abc
多元函数微分法及应用
全微分：dz?
z?z?u?u?udx?dy du?dx?dy?dz?x?y?x?y?z
全微分的近似计算：?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y多元复合函数的求导法：
dz?z?u?z?v
z?f[u(t),v(t)]????
dt?u?t?v?t
z?z?u?z?v
z?f[u(x,y),v(x,y)]????
x?u?x?v?x
当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，du?
u?u?v?v
dx?dy dv?dx?dy ?x?y?x?y
隐函数的求导公式：
FxFFdydyd2y??
隐函数F(x,y)?0??2?(?x)＋(?x)?
dxFy?xFy?yFydxdxFyFx?z?z
隐函数F(x,y,z)?0????
xFz?yFz
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