高中数学必修5知识点
第一章：解三角形
1、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R为???C的外接圆的半径，则有
asin?
bsin?
a2R?
csinC
2R．
2、正弦定理的变形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；
②sin??
，sin??
b2R
，sinC?
c2R
；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）
③a:b:c?sin?:sin?:sinC； ④
a?b?csin??sin??sinC
sin?sin?sinC
111
bcsin??absinC?acsin?． 222?
a
b
c
．
3、三角形面积公式：S???C
4、余 定理：在???C中，有a2?b2?c2?2bccos?，b2?a2?c2?2accos?，
c?a?b?2abcosC．
2
2
2
5、余弦定理的推论：cos??
b?c?a
2bc
222
，cos??
a?c?b
2ac
222
，cosC?
a?b?c
2ab
222
．
6、设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则：①若a2?b2?c2，则C?90?为直角三角形；
②若a2?b2?c2，则C?90?为锐角三角形；③若a2?b2?c2，则C?90?为钝角三角形．
第二章：数列
1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数．
3、有穷数列：项数有限的数列．
4、无穷数列：项数无限的数列．
5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
7、常数列：各项相等的数列．
8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列?an?的第n项与序号n之间的关系的公式．
10、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an?1（或前几项）间的关系的公式．
11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个
常数称为等差数列的公差．
12、由三个数a，?，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则?称为a与b的等差中项．若
b?
a?c2
，则称b为a与c的等差中项．
13、若等差数列?an?的首项是a1，公差是d，则an?a1??n?1?d．
通项公式的变形：①an?am??n?m?d；②a1?an??n?1?d；③d?⑤d?
an?amn?m
an?a1n?1
；④n?
an?a1
d
1；
．
14、若?an?是等差数列，且m?n?p?q（m、n、p、q??*），则am?an?ap?aq；若?an?是等差
数列，且2n?p?q（n、p、q??*），则2an?ap?aq；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续m项和构成的数列成等差数列。 15、等差数列的前n项和的公式：①Sn?
n?a1?an?
2
；②Sn?na1?
n?n?1?2
d．
16、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2n?n??*?，则S2n?n?an?an?1?，且S偶?S奇?nd，
S奇S偶
anan?1
．②若项数为2n?1?n??*?，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?S偶?an，
S奇S偶
nn?1
（其中
S奇?nan，S偶??n?1?an）．
17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个
常数称为等比数列的公比．
18、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若G2?ab，则
称G为a与b的等比中项．
n?1
19、若等比数列?an?的首项是a1，公比是q，则an?a1q．
n?m
20、通项公式的变形：①an?amq；②a1?anq
n?1?
；③q
n?1
ana1
；④q
n?m
anam
．
*
21、若?an?是等比数列，且m?n?p?q（m、n、p、q??），则am?an?ap?aq；若?an?是等比数
*
列，且2n?p?q（n、p、q??），则an?ap?aq；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续m
2
项和构成的数列成等比数列。
na1?q?1?
22、等比数列?an?的前n项和的公式：Sn??a1?1?qn?a?aq．
1n??q?1??
1?q?1?q
q?1时，Sn?
a11?q
a11?q
q，即常数项与q项系数互为相反数。
nn
23、等比数列的前n项和的性质：①若项数为2n?n??
*
，则S
S偶
奇
q．
n
②Sn?m?Sn?q?Sm． ③Sn，S2n?Sn，S3n?S2n成等比数列．
24、an与Sn的关系：an??
Sn?Sn?1??S1
n?2??n?1?
一些方法：
一、求通项公式的方法：
1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法
①若相邻两项相减后为同一个常数设为an?kn?b，列两个方程求解；
②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为an?an2?bn?c，列三个方程求解； ③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为an?aq2、由递推公式求通项公式：
①若化简后为an?1?an?d形式，可用等差数列的通项公式代入求解； ②若化简后为an?1?an?f(n),形式，可用叠加法求解；
③若化简后为an?1?an?q形式，可用等比数列的通项公式代入求解；
④若化简后为an?1?kan?b形式，则可化为(an?1?x)?k(an?x)，从而新数列{an?x}是等比数列，用等比数列求解{an?x}的通项公式，再反过来求原来那个。（其中x是用待定系数法来求得） 3、由求和公式求通项公式：
①a1?S1 ② an?Sn?Sn?1 ③检验a1是否满足an，若满足则为an，不满足用分段函数写。 4、其他
（1）an?an?1?f?n?形式，f?n?便于求和，方法：迭加；
例如：an?an?1?n?1 有：an?an?1?n?1 a2?a1?3a3?a2?4?
an?an?1?n?1
各式相加得an?a1?3?4???n?1?a1?
n
b，q为相除后的常数，列两个方程求解；
n?4??n?1?
（2）an?an?1
2
anan?1形式，同除以anan?1，构造倒数为等差数列；
an?an?1anan?1
2?
1an?1
例如：an?an?1?2anan?1，则
1?
，即??为以-2为公差的等差数列。 an
an?
1
（3）an?qan?1?m形式，q?1，方法：构造：an?x?q?an?1?x?为等比数列；
例如：an?2an?1?2，通过待定系数法求得：an?2?2?an?1?2?，即?an?2?等比，公比为2。 （4）an?qan?1?pn?r形式：构造：an?xn?y?q?an?1?x?n?1??y?为等比数列；
nn
（5）an?qan?1?p形式，同除p，转化为上面的几种情况进行构造；
因为an?qan?1?pn，则
anp
n
qan?1pp
n?1
1，若
qp
1转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的方
法
二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）
①若?②若?
ak?0
，则Sn有最大值，当n=k时取到的最大值k满足? d?0a?0??k?1
a1?0?a1?0
ak?0
，则Sn有最小值，当n=k时取到的最大值k满足? d?0a?0??k?1
三、数列求和的方法：
①叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；
②错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：an??2n?1??3；
n
③分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：an?
1n?n?1?
1n?
1n?1
，an?
1
2n?1??2n?1?
1?11?
等；
2?2n?12n?1?
④一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：
an?2?n?1等；
n
四、综合性问题中
①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为a?d和a?d类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差； ②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为aq和
aq
类型，这样可以相乘约掉。
第三章：不等式
1、a?b?0?a?b；a?b?0?a?b；a?b?0?a?b．
比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。
2、不等式的性质： ①a?b?b?a；②a?b,b?c?a?c；③a?b?a?c?b?c；
④a?b,c?0?ac?bc，a?b,c?0?ac?bc；⑤a?b,c?d?a?c?b?d； ⑥a?b?0,c?d?0?ac?bd；⑦a?b?0?a?b⑧a?b?0?
nn
n??,n?1?；
n??,n?1?．
3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．
4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式??b?4ac
2
0 ??0 ??0
二次函数y?ax?bx?c
2
a?0?的图象
有两个相异实数根
一元二次方程ax?bx?c?0
2
有两个相等实数根
a?0?的根
ax?bx?c?0
一元二次不等式的解集
2
x1,2?
b?2a
x1?x2??
b2a
没有实数根
x1?x2?
a?0?
ax?bx?c?0
2
xx?x1或x?x2?
b?xx????
2a??
R
a?0?
xx1?x?x2?
5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式． 6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对?x,y?，所有这样的有序数对?x,y?构成的集合．
8、在平面直角坐标系中，已知直线?x??y?C?0，坐标平面内的点??x0,y0?．
①若??0，?x0??y0?C?0，则点??x0,y0?在直线?x??y?C?0的上方． ②若??0，?x0??y0?C?0，则点??x0,y0?在直线?x??y?C?0的下方．
9、在平面直角坐标系中，已知直线?x??y?C?0．
①若??0，则?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0上方的区域；?x??y?C?0表示直线
x??y?C?0下方的区域．
②若??0，则?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0下方的区域；?x??y?C?0表示直线
x??y?C?0上方的区域．
10、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式． 线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解?x,y?．
高中数学必修5知识点
第一章：解三角形
1、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R为???C的外接圆的半径，则有
asin?
bsin?
a2R?
csinC
2R．
2、正弦定理的变形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；
②sin??
，sin??
b2R
，sinC?
c2R
；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）
③a:b:c?sin?:sin?:sinC； ④
a?b?csin??sin??sinC
sin?sin?sinC
111
bcsin??absinC?acsin?． 222?
a
b
c
．
3、三角形面积公式：S???C
4、余 定理：在???C中，有a2?b2?c2?2bccos?，b2?a2?c2?2accos?，
c?a?b?2abcosC．
2
2
2
5、余弦定理的推论：cos??
b?c?a
2bc
222
，cos??
a?c?b
2ac
222
，cosC?
a?b?c
2ab
222
．
6、设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则：①若a2?b2?c2，则C?90?为直角三角形；
②若a2?b2?c2，则C?90?为锐角三角形；③若a2?b2?c2，则C?90?为钝角三角形．
第二章：数列
1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数．
3、有穷数列：项数有限的数列．
4、无穷数列：项数无限的数列．
5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
7、常数列：各项相等的数列．
8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列?an?的第n项与序号n之间的关系的公式．
10、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an?1（或前几项）间的关系的公式．
11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个
常数称为等差数列的公差．
12、由三个数a，?，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则?称为a与b的等差中项．若
b?
a?c2
，则称b为a与c的等差中项．
13、若等差数列?an?的首项是a1，公差是d，则an?a1??n?1?d．
通项公式的变形：①an?am??n?m?d；②a1?an??n?1?d；③d?⑤d?
an?amn?m
an?a1n?1
；④n?
an?a1
d
1；
．
14、若?an?是等差数列，且m?n?p?q（m、n、p、q??*），则am?an?ap?aq；若?an?是等差
数列，且2n?p?q（n、p、q??*），则2an?ap?aq；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续m项和构成的数列成等差数列。 15、等差数列的前n项和的公式：①Sn?
n?a1?an?
2
；②Sn?na1?
n?n?1?2
d．
16、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2n?n??*?，则S2n?n?an?an?1?，且S偶?S奇?nd，
S奇S偶
anan?1
．②若项数为2n?1?n??*?，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?S偶?an，
S奇S偶
nn?1
（其中
S奇?nan，S偶??n?1?an）．
17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个
常数称为等比数列的公比．
18、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若G2?ab，则
称G为a与b的等比中项．
n?1
19、若等比数列?an?的首项是a1，公比是q，则an?a1q．
n?m
20、通项公式的变形：①an?amq；②a1?anq
n?1?
；③q
n?1
ana1
；④q
n?m
anam
．
*
21、若?an?是等比数列，且m?n?p?q（m、n、p、q??），则am?an?ap?aq；若?an?是等比数
*
列，且2n?p?q（n、p、q??），则an?ap?aq；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续m
2
项和构成的数列成等比数列。
na1?q?1?
22、等比数列?an?的前n项和的公式：Sn??a1?1?qn?a?aq．
1n??q?1??
1?q?1?q
q?1时，Sn?
a11?q
a11?q
q，即常数项与q项系数互为相反数。
nn
23、等比数列的前n项和的性质：①若项数为2n?n??
*
，则S
S偶
奇
q．
n
②Sn?m?Sn?q?Sm． ③Sn，S2n?Sn，S3n?S2n成等比数列．
24、an与Sn的关系：an??
Sn?Sn?1??S1
n?2??n?1?
一些方法：
一、求通项公式的方法：
1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法
①若相邻两项相减后为同一个常数设为an?kn?b，列两个方程求解；
②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为an?an2?bn?c，列三个方程求解； ③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为an?aq2、由递推公式求通项公式：
①若化简后为an?1?an?d形式，可用等差数列的通项公式代入求解； ②若化简后为an?1?an?f(n),形式，可用叠加法求解；
③若化简后为an?1?an?q形式，可用等比数列的通项公式代入求解；
④若化简后为an?1?kan?b形式，则可化为(an?1?x)?k(an?x)，从而新数列{an?x}是等比数列，用等比数列求解{an?x}的通项公式，再反过来求原来那个。（其中x是用待定系数法来求得） 3、由求和公式求通项公式：
①a1?S1 ② an?Sn?Sn?1 ③检验a1是否满足an，若满足则为an，不满足用分段函数写。 4、其他
（1）an?an?1?f?n?形式，f?n?便于求和，方法：迭加；
例如：an?an?1?n?1 有：an?an?1?n?1 a2?a1?3a3?a2?4?
an?an?1?n?1
各式相加得an?a1?3?4???n?1?a1?
n
b，q为相除后的常数，列两个方程求解；
n?4??n?1?
（2）an?an?1
2
anan?1形式，同除以anan?1，构造倒数为等差数列；
an?an?1anan?1
2?
1an?1
例如：an?an?1?2anan?1，则
1?
，即??为以-2为公差的等差数列。 an
an?
1
（3）an?qan?1?m形式，q?1，方法：构造：an?x?q?an?1?x?为等比数列；
例如：an?2an?1?2，通过待定系数法求得：an?2?2?an?1?2?，即?an?2?等比，公比为2。 （4）an?qan?1?pn?r形式：构造：an?xn?y?q?an?1?x?n?1??y?为等比数列；
nn
（5）an?qan?1?p形式，同除p，转化为上面的几种情况进行构造；
因为an?qan?1?pn，则
anp
n
qan?1pp
n?1
1，若
qp
1转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的方
法
二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）
①若?②若?
ak?0
，则Sn有最大值，当n=k时取到的最大值k满足? d?0a?0??k?1
a1?0?a1?0
ak?0
，则Sn有最小值，当n=k时取到的最大值k满足? d?0a?0??k?1
三、数列求和的方法：
①叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；
②错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：an??2n?1??3；
n
③分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：an?
1n?n?1?
1n?
1n?1
，an?
1
2n?1??2n?1?
1?11?
等；
2?2n?12n?1?
④一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：
an?2?n?1等；
n
四、综合性问题中
①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为a?d和a?d类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差； ②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为aq和
aq
类型，这样可以相乘约掉。
第三章：不等式
1、a?b?0?a?b；a?b?0?a?b；a?b?0?a?b．
比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。
2、不等式的性质： ①a?b?b?a；②a?b,b?c?a?c；③a?b?a?c?b?c；
④a?b,c?0?ac?bc，a?b,c?0?ac?bc；⑤a?b,c?d?a?c?b?d； ⑥a?b?0,c?d?0?ac?bd；⑦a?b?0?a?b⑧a?b?0?
nn
n??,n?1?；
n??,n?1?．
3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．
4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式??b?4ac
2
0 ??0 ??0
二次函数y?ax?bx?c
2
a?0?的图象
有两个相异实数根
一元二次方程ax?bx?c?0
2
有两个相等实数根
a?0?的根
ax?bx?c?0
一元二次不等式的解集
2
x1,2?
b?2a
x1?x2??
b2a
没有实数根
x1?x2?
a?0?
ax?bx?c?0
2
xx?x1或x?x2?
b?xx????
2a??
R
a?0?
xx1?x?x2?
5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式． 6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对?x,y?，所有这样的有序数对?x,y?构成的集合．
8、在平面直角坐标系中，已知直线?x??y?C?0，坐标平面内的点??x0,y0?．
①若??0，?x0??y0?C?0，则点??x0,y0?在直线?x??y?C?0的上方． ②若??0，?x0??y0?C?0，则点??x0,y0?在直线?x??y?C?0的下方．
9、在平面直角坐标系中，已知直线?x??y?C?0．
①若??0，则?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0上方的区域；?x??y?C?0表示直线
x??y?C?0下方的区域．
②若??0，则?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0下方的区域；?x??y?C?0表示直线
x??y?C?0上方的区域．
10、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式． 线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解?x,y?．
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