高中数学必修五第一章《解三角形》知识点归纳及单元测试题

第一章 解三角形单元测试

一 选择题：

1.已知△ABC中，A?30，C?105，b?8，则等于                    （    ） A  4

B

2. △ABC中，B?45，C?60，c?1，则最短边的边长等于            （    ）

1A

B           C  2

D

3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为                         (    ) A  90°       B    120°       C    135°        D  150°

abc

4. △ABC中，cosAcosBcosC，则△ABC一定是                  （    ）

A 直角三角形    B  钝角三角形   C  等腰三角形     D  等边三角形

5. △ABC中，B?60，b?ac，则△ABC一定是                      （    ） A  锐角三角形    B  钝角三角形   C  等腰三角形     D  等边三角形

6.△ABC中，∠A=60°, a=6 , b=4, 那么满足条件的△ABC                (    ) A  有 一个解      B   有两个解      C   无解        D  不能确定

2

S?，则?A等于              （    ）

7. △ABC中，b?

8，c?

ABC

A 30           B 60         C 30或150      D 60或120

a?b?c

8.△ABC中，若A?60，a?sinA?sinB?sinC等于           （    ）

1A 2           B  2

2

C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，9. △ABC中，A:B?1:2，则cosA?（    ）

113

A            B         C           D 0 324

10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为     （    ） A  锐角三角形 B 直角三角形  C 钝角三角形  D 由增加的长度决定 11 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（     ） A.

4003

米   B. 米      C. 2003米   D. 200米 33

12 海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和

A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 (    )

A.10 海里            B.5海里       C. 56 海里        D.53 海里 二、填空题：

13.在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC?2:3:4，那么cosC等于          。

14.在△ABC

中，已知b?，c?150，B?30，则边长a?        。

15.在钝角△ABC中，已知a?1，b?2，则最大边c的取值范围是          。

6016.三角形的一边长为14，这条边所对的角为，另两边之比为8：5，则这个三角形的

面积为             。

三、解答题：

cosAb4

17（本题10分）在△ABC中，已知边c=10, 又知cosBa3，求边a、b 的长。

18（本题12分）在△ABC中，已知2a?b?c，sinA?sinBsinC，试判断△ABC的形状。

2

19（本题12分）在锐角三角形中，边a、b是方程x－3 x+2=0的两根，角A、B满足： 2sin(A+B)－3 =0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。

20（本题12分）在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）

2

高中数学必修五  第一章   解三角形知识点归纳

1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c;  a-b<c

3、三角形中的基本关系：sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC,

A?BCA?BCA?BC

cos,cos?sin,tan?cot 222222

4、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R为???C的外接圆的半径，

abc

2R． 则有

sin?sin?sinC

sin

5、正弦定理的变形公式：

①化角为边：a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；

abc，sin??，sinC?； 2R2R2R

③a:b:c?sin?:sin?:sinC；

a?b?cabc

④．

sin??sin??sinCsin?sin?sinC

②化边为角：sin??

6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其

中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）) 7、三角形面积公式：

111abcr(a?b?c)

S???C?bcsin??absinC?acsin?．=2R2sinAsinBsinC===

2224R2

p(p?a)(p?b)(p?c)

8、余弦定理：在???C中，有a?b?c?2bccos?，b?a?c?2accos?，

2

2

2

2

2

2

c2?a2?b2?2abcosC．

b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2

9、余弦定理的推论：cos??，cos??，cosC?．

2bc2ab2ac

10、余弦定理主要解决的问题：

①已知两边和夹角，求其余的量。 ②已知三边求角）

11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式

设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则： ①若a?b?c，则C?90； ②若a?b?c，则C?90； ③若a?b?c，则C?90． 12、三角形的五心：

垂心——三角形的三边上的高相交于一点      重心——三角形三条中线的相交于一点      外心——三角形三边垂直平分线相交于一点      内心——三角形三内角的平分线相交于一点

旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

2

2

2

2

2

2

2

2

2

第一章 解三角形单元测试参考答案

一、选择题

BABDD    CCACA    C 二、填空题（4?4） 13?

1

14

、

15

c?3     16

、4

三、解答题

15、（本题8分） 解：由

cosAbsinBbcosAsinB

，??,可得 ，变形为sinAcosA=sinBcosB

sinAcosBacosBsinAa

∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π－2B,  ∴A+B=由a+b=10和

2

2

2

. ∴△ABC为直角三角形. 2

b4

，解得a=6, b=8。 a3

abcab

2R得：sinA?，sinB?， sinAsinBsinC2R2R

16、（本题8分） 解：由正弦定理

sinC?

c。 2R

2sinA?sinBsinC可得：(a)2?b?c，即：a2?bc。 所以由

2R2R2R

又已知2a?b?c，所以4a2?(b?c)2，所以4bc?(b?c)2，即(b?c)2?0， 因而b?c。故由2a?b?c得：2a?b?b?2b，a?b。所以a?b?c，△ABC

为等边三角形。 17、（本题9分）

解：由2sin(A+B)－3 =0，得sin(A+B)=

3

∵△ABC为锐角三角形 2

2

∴A+B=120°,  C=60°, 又∵a、b是方程x－23 x+2=0的两根，∴a+b=23 ,

1133

∴c=6 ,  S?ABC?absinC=×2 =。

2222   a·b=2, ∴c=a+b－2a·bcosC=(a+b)－3ab=12－6=6,

1133

∴c=6 ,  S?ABC?absinC=×2 =。

2222

18、（本题9分）

解： 设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t，球速为v，则∠AOB＝15°，OB＝vt，AB?

在∴

△AOB

中

，

由

正

弦

定

理

，

得

2

2

2

2

v

t。 4OBAB

sin?OABsin15?

，

OBvtsin15?

而ABvt/44

2?8?8?4?1.74?1，即sin∠OAB>1,∴这样的∠OAB不存在，因此，游击手不

sin?OAB?

能接着球.

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