立体几何_异面直线成角求法&习题

构造异面直线所成角的几种方法

异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考．

一、抓异面直线上的已知点

过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．

例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（    ）

A．D1

CB1

ED

G

A1

B．

5

4

C．

5

D．

2

A

C

解：连B1G，则A1E∥B1G，知∠B1G F就是异面直线A1E与GF所成的角．在△B1GF中，由余弦定理，得

F

B1G2?GF2?B1F2   cosB1GF

＝0， ?

2B1G?GF   故∠B1G F＝90°，应选(D)．

评注：本题是过异面直线FG上的一点G，作B1G，则A1E∥B1G，知∠B1G F就是所求的角，从而纳入三角形中解决．

二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点

考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.

例2(2005年全国高考浙江卷)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．

C

图1

图2

解：取AE中点G, 连结GM、BG ∵GM∥ED，BN∥ED，GM＝ ∴ GM∥BN，且GM＝BN． ∴BNMG为平行四边形，∴MN//BG ∵A的射影为B． ∴AB⊥面BCDE． ∴∠BEA＝∠BAE＝45°， 又∵G为中点，∴BG⊥AE． 即MN⊥AE．

∴MN与AE所成角的大小等于90度． 故填90°．

三、平移(或构造)几何体

有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.

例3(2005年全国高考天津卷)如图，PA?平面ABC，?ACB?90?且

11

ED，BN＝ED． 22

P

PA?AC?BC?a，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．

解：将此多面体补成正方体DBCA?D'B'C'P，PB与AC所成的角的

A

B

C

大小即此正方体主对角线PB与棱BD所成角的大小，在Rt△PDB中，

即

tan?DBA?

PD

． DB

D1

A

C1

B点评：本题是将三棱柱补成正方体DBCA?D'B'C'P，从而将问题简化．

C

B

异面直线练习

D

一、选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是                               （    ） （A）不平行的直线              （B）不相交的直线

（C）相交直线或平行直线        （D）既不相交又不平行直线

2．已知EF是异面直线a、b的共垂线，直线l∥EF，则l与a、b交点的个数为    （    ） （A）0     （B）1     （C）0或1     （D）0，1或2 3．两条异面直线的距离是                                                   （    ） （A）和两条异面直线都垂直相交的直线    （B）和两条异面直线都垂直的直线 （C）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长  （D）两条直线上任意两点间的距离

4．设a, b, c是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b是异面直线，b, c是异面直线，则a, c是异面直线；② 如果a, b相交，b, c也相交，则a, c相交；③ 如果a, b共面，b, c也共面，则a, c共面．上述命题中，真命题的个数是                        （    ） （A）3个  （B）2个  （C）1个  （D）0个

5．异面直线a、b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为           （    ）

（A）[30°，90°]   （B）[60°，90°]   （C）[30°，60°]   （D）[60°，120°] 6．如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于                       （    ） B （A）90°（B）45°（C）60°（D）30°   7．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和的 1

中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是             （    ） 1A1334

（A）（B）（C）（D）

10255

C 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，

① BM与ED平行； ②CN与BE是异面直线；

N

②

③CN与BM成60?角；④DM与BN垂直．

DC

M

以上四个命题中，正确命题的序号是                 （    ）

（A）①②③  （B）②④ （C）③④  （D）②③④ EAB

F

9．梯形ABCD中AB//CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是                                                          （    ） （A）平行     （B）平行和异面     （C）平行和相交     （D）异面和相交

10．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE ：EF＝AF ：FD

＝1 ：4，又H、G分别为BC、CD的中点，则                               （    ）                  （A）BD//平面EFGH且EFGH是矩形  （B）EF//平面BCD且EFGH是梯形

（C）HG//平面ABD且EFGH是菱形   （D）HE//平面ADC且EFGH是平行四边形 二、填空题

FCA11．如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，

G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿 H

JDE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为

DE

12．在四面体ABCD中，若AC与BD成60°角，且AC＝BD＝a，则连

I

接AB、BC、CD、DA的中点的四边形面积为                  ．

13．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝4，则异面直线AB1与 A1D所成的角的余弦值为

14．把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，

使A、C的距离等于a，如图所示，则异面直线AC 和BD的距离为             ．  三、解答题

15．已知AB、BC、CD为不在同一平面内的三条线段，AB，BC，CD的中点P、Q、R满足PQ＝2，QR

PR＝3，求AC与BD所成的角．

16．已知P为△ABC所在平面外的一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点． P（1）求证：EF与PC是异面直线； （2）EF与PC所成的角； E（3）线段EF的长．

AC

B

17．如图，AB和CD是两异面直线，BD是它们的公垂线，AB＝CD，M是BD的中点，N是AC的中点．

B

（1）求证：MN⊥AC； A（2）当AB＝CD＝a，BD＝b，AC＝c时，求MN的长．

M

D

18．（如图）已知P、Q是棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的面AA1D1D和A1B1C1D1的中心． C（1）求线段PQ的长； （2）证明：PQ∥AA1B1B． A

D1

1

A1

1

§1 异面直线

一、复习要点

1．本节内容要点为：异面直线的定义和判定，异面直线所成的角，异面直线的距离．   2．异面直线的定义和判定及异面直线所成的角是频考点，也是本节的重点．

3．要把“不同在任何一个平面内的两条直线”和“分别在两个平面内的两条直线”的含义区别开，后者不一定是异面直线．

4．在进一步复习理解异面直线的同时，要注意把这部分内容和平面联系在一起，即和线面、面面平行与垂直的判定联系在一起，以便开阔思路，使解题方法更具灵活性．   5．对异面直线所成的角，要注意：

①深刻理解异面直线所成的角的概念，领悟其所渗透的“空间向平面转化”的思想；

②异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，故有时平移后需求其补角；

③解题时，应首先考虑两条异面直线是否互相垂直，可由三垂线定理及其逆定理或线面垂直来完成；   ④应熟练掌握“平移”这个通法，平移的途径有取中点、作平行线、补体（形）等；   ⑤理科学生应会用反三角函数表示异面直线所成的角．

6．高考求异面直线的距离仅限于给出公垂线的情形．例见1999年高考立体几何解答题的第2问．   二、例题讲解

例1 已知ａ、ｂ、ｃ是两两异面的三条直线，且ａ⊥ｂ，ｄ是ａ、ｂ的公垂线．若ｃ⊥ａ，那么ｃ与ｄ有何位置关系?并说明理由．

 讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点．根据本题的特点，可考虑构造正方体．

 构造正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，如图7-1所示，因为AB与CC１异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记ＡＢ、ＣＣ１、ＢＣ分别为ａ、ｂ、ｄ．

图7-1

因为ｃ与ａ、ｂ均异面，且ｃ⊥ａ，注意到ａ⊥侧面ＡＤＤ１Ａ１，因此侧面ＡＤＤ１Ａ１内的任一直线均与ａ垂直．从图中可以看出，侧面ＡＤＤ１Ａ１内的Ａ１Ｄ１和Ａ１Ｄ均与ａ、ｂ异面，且均与ａ垂直，所以可记Ａ１Ｄ１或Ａ１Ｄ为ｃ．此时由Ａ１Ｄ１∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ知ｃ∥ｄ；由Ａ１Ｄ与BC异面知ｃ与ｄ为异面直线．

 综上可知ｃ与ｄ平行或异面．

 正方体是一个很简单且很重要的几何模型．构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决．  下面一组题目供读者思考练习：

（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（ ）．   A．两条平行直线   B．两条相交直线   C．一条直线和直线外一点   D．两个点

（2）在空间中，记集合M={与直线l不相交的直线}，集合N={与直线l平行的直线}，则M与N的关系是（  ）．   A．M=N B．M  C．M

N N

D．不确定

（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（  ）．   A．若a∥b,b∥c，则a∥c   B．若a⊥b,b⊥c,则a⊥c

C．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交   D．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面

（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（  ）．   A．异面直线   B．相交直线   C．平行直线   D．垂直直线

图7-4

∵ ＡＢ∥＝Ｂ１Ｄ１，

∴ ＡＢ１∥ＢＤ１．

则∠Ｃ１ＢＤ１即为所求异面直线所成的角．

易求得ＢＣ１＝ＢＤ１＝

２２，Ｃ１Ｄ１＝2·２ｓｉｎ60°＝． 又∵ ＢＣ１＋ＢＤ１＝Ｃ１Ｄ１，

∴ ∠Ｃ１ＢＤ１＝90°．

解法3．可从B１作一射线与BC１平行，由于这样一条射线虽然位置确定，并在侧面BB１Ｃ１Ｃ所在平面上，但却位于已知三棱柱外面，因而无法寻求与已知条件的联系．为了解决这一难点，可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱．

 作直三棱柱Ａ１Ｂ１Ｃ１-Ａ２Ｂ２Ｃ２，使Ｃ１为ＣＣ２之中点（图7-5），连结Ｂ１Ｃ２、ＡＣ２，

图7-5

 ∵ ＢＢ１∥＝Ｃ１Ｃ２，

 ∴ Ｃ１Ｂ∥Ｃ２Ｂ１，则∠ＡＢ１Ｃ２即为所求异面直线所成的角．

 易求得∠ＡＢ１Ｃ＝90°．

 究竟选择体内还是体外平移，应“因图而异”，总之以简洁、直观为宜．若能注意到知识间的相互渗透，本题也可通过建立直角坐标系，利用解析法求解，请读者不妨一试．

 例3 正四面体ABCD的棱长为a,E为CD上一点，且CE／ED＝1／2，求异面直线AE与BC间的距离．   讲解：求异面直线间的距离通常有三种方法，一是定义法，二是公式法，三是转化法．这里宜用方法

三．异面直线间的距离可转化为平行线面间的距离，进而可以转化为点到面的距离，再用等体积法求解．   如图7-6，在面BCD内过点E作EF∥BC交BD于F．连结AF，则BC∥面AEF，所以异面直线BC与AE间的距离就等于BC到平面AEF的距离，也就等于点B到平面AEF的距离，设其为d，连结BE，设正四面体的高为

h.

图7-6

∵VB-AEF＝ＶＡ-ＢＥＦ，

∴（1／3）S△AEF·d=（1／3）S△BEF·h，

∴d=（S△BEF·h／S△AEF）.

过点A作AO⊥面BCD于O，∵DE／EC＝2／1且EF∥BC，∴O必在EF上．

∵h=（／3）a，易求得EF=（2／3）a，

／9）a，

／6）a.

／6）a. ２  S△AEF＝（1／2）EF·AO＝（  S△BEF＝（／18）a，∴d=（２  即异面直线AE与BC间的距离为（

用等体积法求点到面的距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面内某个三角形为底面的三棱锥．其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则．

三、专题训练

1．ａ、ｂ是异面直线，过不在ａ、ｂ上的任一点Ｐ，

 ①一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都相交；

 ②一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都垂直；

 ③一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都平行；

 ④一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都异面．

 其中正确的个数是（  ）．

Ａ．0

Ｂ．1

Ｃ．2

Ｄ．3

2．如图7-7，正三棱锥Ｖ-ＡＢＣ中，D、E、F分别是ＶＣ、ＶＡ、ＡＣ的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（  ）．

图7-7

Ａ．π／6

Ｂ．π／3

Ｃ．π／2

Ｄ．随P点的变化而变化

3．将锐角B为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，若θ∈［60°，120°］，则两条对角线之间的距离的最值为（  ）．

A．dmax=（3／2）a,dmin=（

B．dmax=（3／4）a,dmin=（／4）a ／4）a

C．dmax=（

D．dmax=（／4）a,dmin=（1／4）a ／2）a,dmin=（3／4）a

4．图7-8是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①ＢＭ与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．

图7-8

以上四个命题中，正确命题的序号是（  ）．

Ａ．①②③

Ｂ．②④

Ｃ．③④

Ｄ．②③④

5．如图7-9，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等．如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于

____________.

图7-9

6．空间四边形ABCD中，ＡＤ＝ＢＣ，Ｍ、Ｎ分别为AB、CD的中点，又MN和AD成30°角，则AD和BC所成角的度数是____________．

 7．异面直线ａ、ｂ所成的角为θ（0＜θ＜（π／2）），Ｍ，Ｎ∈ａ，Ｍ１，Ｎ１∈ｂ，ＭＭ１⊥ｂ，ＮＮ１⊥ｂ，若ＭＮ＝ｍ，则Ｍ１Ｎ１＝____________．

8．如图7-10，不共面的三条直线ａ、ｂ、ｃ相交于P，Ａ、B∈ａ，Ｃ∈ｂ，Ｄ∈c， 且Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均异于P．证明：直线AD与BC异面．

图7-10

9．如图7-11，拼接一副三角板，使它们有公共边BC，且使两个三角板所在平面互相垂直．若∠CAB＝90°，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＣＢＤ＝90°，∠ＢＤＣ＝60°，求AD与BC所成的角．

图7-11

10．已知ａ、ｂ是两条异面直线，那么空间是否存在这样的直线ｌ，使ｌ上任意一点P到ａ、ｂ的距离都相等．若存在，给出证明，若不存在，说明理由．

惠州市第一中学立体几何（异面直线）测试题

一．选择题：

1．直线a, b是异面直线是指

① a∩b=?, 且a与b不平行；② a?面α，b?面β，且平面α∩β=?；③ a?面α，b?面β，且a∩b=?；④ 不存在平面α，能使a?α且b?α成立。上述结论正确的有

（A）①④  （B）②③  （C）③④  （D）②④

2．直线a, b都垂直于直线l，则直线a, b的位置关系是

（A）平行  （B）相交  （C）异面  （D）三种可能都有

3．两条异面直线的距离是

（A）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B）和两条异面直线都垂直的线段

（C）它们的公垂线夹在垂足间的线段长 （D）两条直线上任意两点间的距离

4．若a, b是异面直线，c是a, b的公垂线，d//c, 则d和a, b的公共点的个数是

（A）1  （B）最多为1  （C）2  （D）1或2

5．若两条直线a, b异面垂直，两条直线b, c也异面垂直，则a, c的位置关系是

（A）平行  （B）相交、异面  （C）平行、异面  （D）相交、平行、异面

6．若a, b, c是两两互相垂直的异面直线(每两条成异面直线)，直线d是a, b的公垂线，那么c与d的位置关系是

（A）相交  （B）平行  （C）相交或垂直  （D）垂直

7．已知a, b是一对异面直线，且a, b成60°角，则在过P点的直线中与a, b所

成的角均为60°的直线有

（A）1条  （B）2条  （C）3条  （D）4条

8．空间四边形ABCD的各边与两条对角线的长均为1，点P在边AB上移动，点Q在边CD上移动，则点P和点Q的最短距离为

（A）312  （B）  （C）  （D） 2422

9．在正方体ABCD－A’B’C’D’的各个面上的对角线中，与面对角线AB’成60°角的异面直线有

（A）1条  （B）2条  （C）3条  （D）4条

10．在棱长a为的正方体AC’中，与其中一条棱所在的直线异面，并且距离为a的棱共有

（A）4条  （B）5条  （C）6条  （D）7条

二．填空题：

11．异面直线所成的角为θ，则θ的取值范围是。

12．和两条异面直线都垂直的直线有相交的直线有            条。

13．在正方体ABCD－A’B’C’D’中，异面直线AA’和BC’所成的角为AC与BC’所成的角为

14．在棱长a为的正方体AC’中，异面直线BD’与AA’的距离为；BD’与AC的距离为          。

15．AB是异面直线a, b的公垂线段，AB=2cm，a, b所成的角为90°，A, C∈a，B,D∈b，AC=4cm, BD=4cm，那么C, D两点间的距离为

16．在正方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱中，与对角线AC1所成的角的正弦值

为              条。 3

17．空间四边形ABCD中，E F, G, H分别是AB, BC, CD

,

Q在线段CD上，则点P与Q的最小距离是

（A）a  （B）132a  （C）a  （D）a 222

2．若异面直线a, b所成的角为80°，则过空间任一点P可做不同的直线与a, b所成的角都是50°，可做直线的数目为

（A）1条  （B）2条  （C）3条  （D）4条

3．ABCD是空间四边形，边AB, BC, CD, DA所在直线中，

互相垂直的直线至多有

（A）3对  （B）4对  （C）5对  （D）6对

4．如图， ABC－A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1, E1

分别是A1B1, A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AE1

所成的角的余弦值是

（A

1  （B

（C）  （D

25．异面直线a, b，a⊥b，c与a成30°角，则c与b所成的角的大小范围是

（A）[60°, 90°]  （B）[30°, 90°]  （C）[60°, 120°]  （D）[30°, 120°]

6．在正方体AC1中，E, F分别是AB, BB1的中点，则A1E与C1F所成的角的余弦值是

（A）212  （B）  （C）  （D

252

二．填空题：

7．在空间四边形ABCD中，E, F, G, H分别是AB,BC, CD, DA的中点，如果AC=BD，则四边形EFGH是；如果EG=FH，则AC与BD的位置关系是               ；如果∠EFG=130°，则异面直线AC与BD所成的角是           。

8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E, F, G, H, M, Q分别是棱AB, BC, CD, CC1, C1D1, DD1的中点，CM则AA1与所成的角的正切值等于             ；

EF

与GH所成的角为            ；BH与HQ所成的角为            。

9．空间四边形ABCD连对角线构成一个正四面体，E, F分别是AB, CD上的点，并且AECF???(??0)，若EF分别与AC, BD所成的角为α和β，则α+β的大EBFD

小为

10．在正方体ABCD－A1B1C1D1的各面的12条对角线中，与正方体的对角线A1C垂直的共有               条。

三．解答题：

11．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=2a, AA1=a，E,H分别是A 1B 1和BB1的中点，求EH与AD 1所成角的余弦值。

12．长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB=AD=2, AA1=1，E是AA1的中点，

（1）求证：AC1, BD1, CA1, DB1共点于O，且互相平分；

（2）求证：EO⊥BD1, EO⊥AA1；

（3）求异面直线AA1和BD1所成

角的余弦值；

（4）求异面直线AA1和BD1间的距离。

参考答案

求异面直线所成的角

祁正红

求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。

例：长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。

解法1：平移法

设A1C1与B1D1交于O，取B1B中点E，连接OE，因为OE//D1B，所以∠C1OE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角△C1OE中

15A1C1?22

113OE?BD1??22?22?1?222OC1?

222CE?BC?BE??1?2 1111

2OC1?OE2?C1E2

所以cos?C1OE?2OC1?OE2

2??3?????????2??2????32??22

5?5    22?2

5所以?C1OE?arcc5

所以异面直线A1C1与BD1所成的角为arccos

5

图1

解法2：补形法

在长方体ABCD—A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将AC平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，BE?5，D1E?42?22?5

2BD1?BE2?D1E2

cos?D1BE?2BD1?BE

32?

5???2?222?3?5     ??

所以异面直线A1C1与BD1所成的角为arccos5

5

图2

解法3：利用公式cos??cos?1?cos?2

设OA是平面α的一条斜线，OB是OA在α内的射影，OC是平面α内过O的任意一条直线，设OA与OC、OA与OB、OB与OC所成的角分别是?、?1、?2，则cos??cos?1?cos?2（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC换成平面α内不经过O点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D1B在平面ABCD内射影是BD，AC看作是底面ABCD内不经过B点的一条直线，BD与AC所成的角为∠AOD，D1B与BD所成角为∠D1BD，设D1B与AC所成角为?，cos??cos?D1BD?cos?AOD，cos?D1BD?BD5?BD15。

OD2?OA2?AD2

cos?AOD?2OD?OA

12?2??2?3??????5552??22

cos??cos?D1BD?cos?AOD

53?355

5 22

所以??arccos5

5

所以异面直线A1C1与BD1所成的角为arccos5

图3

图5

解法6：利用公式

AD2?BC2?AB2?DC2

cos??

2AC?BD

定理：四面体A—BCD两相对棱AC、BD间的夹角?必满足

AD2?BC2?AB2?DC2

cos?

2AC?BD

图6

解：连结BC1、A1B在四面体B?A1C1D1中，异面直线A1C1与BD1所成的角是?，易求得A1C1?

BC1?,A1B?22,BD1?3

图7

A1D1?BC1?A1B2?D1C1

cos??

2A1C1?BD1

由定理得：

12?5

5

22

5???22?

2

2

22

2??3

所以

arccos

5

异面直线及其所成的角

【教学目标】1. 掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直

线的判定定理证明两直线异面；

2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角。

【教学重点、难点】异面直线的概念、判定及计算它们所成的角。 【教学过程】 （一）复习：

1．公理4及等角定理；

2．同一平面内两直线的位置关系，观察空间两直线的位置关系。

（二）新课讲解：

1．异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。

2．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。 A 推理模式：A??,B??,l??,B?l?AB与l是异面直线。 B证明 ：假设 直线AB与l共面，

∵B??,l??,B?l，∴点B和l确定的平面为?， ∴直线AB与l共面于?，∴A??，与A??矛盾， 所以，AB与l是异面直线． 3．异面直线的画法：

b

a

例1．如图，已知不共面的直线a,b,c相交于O点，M,P是直线a上的两点，N,Q分别是

b,c上的一点。

求证：MN和PQ是异面直线。 证（法一）：假设MN和PQ不是异面直线，则MN与PQ在同一平面内，设为?， ∵M,P?a,M,P??，∴a??，又o?a，∴o??， ∵N??,O?b,N?b， ∴b??，

同理c??，∴a,b,c共面于?，与已知a,b,c不共面相矛盾， 所以，MN和PQ是异面直线。

O（法二）：∵a?c?O，∴直线a,c确定一平面设为?，

∵P?a,Q?c，∴P??,Q??， ∴PQ??且M??,M?PQ，

又a,b,c不共面，N?b，∴N??， 所以，MN与PQ为异面直线。

4．异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a?//a,b?//b，a?,b?所成的角的大小与点O的选择无关，把a?,b?所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）．

说明：为了简便，点O通常取在异面直线的一条上。

5．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a,b 垂直，记作a?b．

D 例2．正方体ABCD?A?B?C?D?中．

A? （1） 那些棱所在的直线与直线BA?是异面直线？

（2） 求BA?与CC?夹角的度数．

（3） 那些棱所在的直线与直线AA?垂直？ 解：（1）由异面直线的判定方法可知，

与直线BA?成异面直线的有直线B?C?,AD,CC?,DD?,DC,D?C?， （2）由BB?//CC?，可知?B?BA?等于异面直线BA?与CC?的夹角，

D

C

A所以异面直线BA?与CC?的夹角为45．

（3）直线AB,BC,CD,DA,A?B?,B?C?,C?D?,D?A?与直线AA?都垂直。

例3．空间四边形ABCD中，AD?BC?2，E,F分别是AB,CD的中点，EF? 求异面直线AD,BC所成的角。

解：取BD中点G，连结EG,FG,EF，∵E,F分别是AB,CD的中点，

A E11

AD?1,FG?BC?1， 22

∴异面直线AD,BC所成的角即为EG,FG所成的角，

∴EG//AD,FG//BC,且EG?

2

2

2

D

EG?FG?EF1

， 在?EGF中，cos?EGF?

2EG?FG2 ??

∴?EGF?120，异面直线AD,BC所成的角为60．

说明：异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形?EGF内角?EGF是钝角时，表示异面直线AD,BC所成的角是它的补角。

B

五．巩固练习：课本 练习1，2，3，4．

六．小结：1．异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；

2．证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答”。

七．作业：

1．已知平面?,?相交于直线a，直线b在?内与直线a相交于A点，直线c在平面?内，且c//a，求证：b,c是异面直线。

2．空间四边形ABCD中，对角线AC?8，BD?6，M,N分别为AB,CD的中点，且

GMN?5，求异面直线AC,BD所成的角。

3．在空间四边形ABCD中，BD?4，AC?6，且AC?BD，M,N分别为AB,CD的中点，求MN及MN与BD所成角的正切值。

【易错点61】在求异面直线所成角，直线与平面所成的角以及二面角时，容易忽视各自所成角的范围而出现错误。

例61、如图，在棱长为1的正方体

ABCD?A1BC11D1中，M，N，P分别为A1B1,BB1,CC1的中点。

求异面直线D1P与AM,CN与AM所成的角。 [易错点分析]异面直线所成角的范围是?

00,900??，在利用余弦定理求异面直线所成角时，若出现角

的余弦值为负值，错误的得出异面直线所成的角为钝角，此时应转化为正值求出相应的锐角才是异面直线所成的角。 解析：如图，连结则PN//

A1N，由N,P为BB1,CC1中点，

ADM

1

A1D1,PN?A1D1,从而A1N//D1P

AM和D1P所成的角。

N

D

A

B

P C

故AM和D1P所成的角为

易证Rt?AA1M≌Rt?A1B1N。所以故D1P与AM所成的角为90。 又设AB的中点为Q，则B1Q//就是?PBQ。 1（或其补角）

A1N?AM，

AM,B1Q?AM.又?CN//B1P,CN?B1P,从而CN与AM所成的角

易求得B1Q?B1P?

2PQ?在?PB1Q中，由余弦定理得cos?PB1Q?，

5故CN与AM所成的角为arccos

2

。 5

【知识点归类点拨】在历届高考中，求夹角是不可缺少的重要题型之一，要牢记各类角的范围，两条异面直线所成的角的范围：0取值范围：0

900；直线与平面所成角的范围：00???900；二面角的平面角的

1800。同时在用向量求解两异面直线所成的角时，要注意两异面直线所成的角与两

向量的夹角的联系与区别。

【练61】（济南统考题）已知平行六面体

ABCD--A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的的正方形，

侧棱

（1）求对角线AC1的长（2）求直线AA1的长为2，且侧棱AA1和AB与AD的夹角都等于120?，

（1BD1与AC的夹角值。答案：

2）（提示采用向量方法，以AA1、AB、AD

为一组基底，求得cosBD1,AC?）

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