2009年高考数学第一轮复习知识点分类指导
一、集合与简易逻辑
1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.
(1)设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a?b|a?P,b?Q},若P?{0,2,5},
(答:8) Q?{1,2,6},则P+Q中元素的有________个。
(2)非空集合S?{1,2,3,4,5},且满足“若a?S,则6?a?S”,这样的S共有_____
个(答:7)
2. “极端”情况否忘记A??:集合A?{x|ax?1?0},B?x|x?3x?2?0,且
A?B?B,则实数a=______.(答:a?0,1,
2
1) 2
3.满足{1,2}??M?{1,2,3,4,5}集合M有______个。 (答:7)
4.运算性质:设全集U?{1,2,3,4,5},若A?B?{2},(CUA)?B?{4},
(CUA)?(CUB)?{1,5},则A=_____,B=___.(答:A?{2,3},B?{2,4})
,集合N=?y|y?x2,x?M?,则
(1,?2?)(?3?,4R),,)M?N?___(答:[4??,);(2)设集合M?{a|a
N?{a|a?(2,3)??(4,5),??R},则M?N?_____(答:{(?2,?2)})
5.集合的代表元素:(1)
设集合M?{x|y?
6.补集思想:已知函数f(x)?4x?2(p?2)x?2p?p?1在区间[?1,1]上至少存在一个实数c,使f(c)?0,求实数p的取值范围。 (答:(?3,)
7.复合命题真假的判断:在下列说法中:⑴“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件;⑵“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件;⑶“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件;⑷“非p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件。其中正确的是____答:⑴⑶)
8.充要条件:(1)给出下列命题:①实数a?0是直线ax?2y?1与2ax?2y?3平行的充要条件;②若a,b?R,ab?0是a?b?a?b成立的充要条件;③已知x,y?R,“若;④“若a和b都是xy?0,则x?0或y?0”的逆否命题是“若x?0或y?0则xy?0”
偶数,则a?b是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______(答:①④);
2
(2)设命题p:|4x?3|?1;命题q:x?(2a?1)x?a(a?1)?0。若┐p是┐q的必要
1
而不充分的条件,则实数a的取值范围是 (答:[0,])
2
9. 一元一次不等式的解法:已知关于x的不等式(a?b)x?(2a?3b)?0的解集为1
(??,?),则关于x的不等式(a?3b)x?(b?2a)?0的解集为_______(答:{x|x??3})
3
2
10. 一元二次不等式的解集:解关于x的不等式:ax?(a?1)x?1?0。
11
(答:当a?0时,x?1;当a?0时,x?1或x?;当0?a?1时,1?x?;当a?1
aa
1
时,x??;当a?1时,?x?1)
a
2
2
32
11. 对于方程ax2?bx?c?0有实数解的问题。(1)?a?2?x?2?a?2?x?1?0对一切
2
x?R恒成立,则a的取值范围是_______(答:(1,2]);(2)若在[0,内有两个不等的实
2
根满足等式cos2x2x?k?1,则实数k的范围是_______.(答:[0,1))
12.一元二次方程根的分布理论。
(1)实系数方程x?ax?2b?0的一根大于0且小于1,另一根大于1且小于2,则取值范围是_________(答:(
2
b?2
的a?1
1
,1)) 4
2
(2)不等式3x?2bx?1?0对x?[?1,2]恒成立,则实数b的取值范围是____(答:?)。
二、函 数
1.映射f: A?B的概念。
(1)设f:M?N是集合M到N的映射,下列说法正确的是 A、M中每一个元素在
N中必有象 B、N中每一个元素在M中必有原象 C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的 D、N是M中所在元素的象的集合(答:A);(2)点(a,b)在映射f的作用下的象是(a?b,a?b),则在f作用下点(3,1)的原象为点________(答:(2,-1));(3)若A?{1,2,3,4},B?{a,b,c},a,b,c?R,则A到B的映射有个,B到A的映射有个,
;(4)设集合M?{?1,0,1},N?{1,2,3,4,5},映射A到B的函数有81,64,81)
,这样的映射f有____个(答:f:M?N满足条件“对任意的x?M,x?f(x)是奇数”
12)
2.函数f: A?B是特殊的映射。若函数y?
12
x?2x?4的定义域、值域都是闭区间2
[2,2b],则b=2)
3.若解析式相同,值域相同,但其定义域不同的函数,则称这些函数为“天一函数”,那么解析式为y?x,值域为{4,1}的“天一函数”共有__个(答:9)
4.研究函数问题时要树立定义域优先的原则): (1)函数
y?
2
lgx?3的定义域是____(答:(0,2)?(2,3)?;(2)设函数(3,)4)
f(x)?lg(ax2?2x?1),①若f(x)的定义域是R,求实数a的取值范围;②若f(x)的值域是R,求实数a的取值范围(答:①a?1;②0?a?1)
(2)复合函数的定义域:(1)若函数y?f(x)的定义域为?,2?,则f(log2x)的定义
2域为__________(答:x|2?x?4);(2)若函数f(x?1)的定义域为[?2,1),则函数f(x)的定义域为________(答:[1,5]).
5.求函数值域(最值)的方法:
(1)配方法―(1)当x?(0,2]时,函数f(x)?ax?4(a?1)x?3在x?2时取得最大值,则a的取值范围是___(答:a??
2
1???
2
1
); 2
(2)换元法(1)y?2sinx?3cosx?1的值域为_____(答:[?4,
2
17
;(2
)])8
y?2x?1?的值域为_____(答:(3,??))
t,t?0。运用换元法时,要
1
特别要注意新元t的范围);3)y?n的值域为____
(答:;isxocs?nisxocs?x?x[?1,)
2
(4
)y?x?4?的值域为____
(答:4]);
3x2sin??12sin??1
(3)函数有界性法―求函数y?,y?,的值域(答: y?
1?3x1?sin?1?cos?
13(0,1)、(??; (??,]、,)22
192
(4)单调性法――求y?x?(1?x?9),y?sinx?的值域为______(答:
x1?sin2x
8011
; (0,)、[,9])
92
y22
(5)数形结合法――已知点P(x,y)在圆x?y?1上,求及y?2x的取值范围
x?2
(答:[?
; 、[)
33
(a1?a2)2
(6)不等式法―设x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则的取值
b1b2
范围是____________.(答:(??,0]?[4,??))。
32
(7)导数法―求函数f(x)?2x?4x?40x,x?[?3,3]的最小值。(答:-48)
2
(x?1).(x?1)
6.分段函数的概念。(1)
设函数f(x)??,则使得f(x)?1的自变量x的
4x?1)
(x?0)?1
取值范围是____(答:(??,?2]);(2)已知f(x)??,则不等式?[0,10]
(x?0)??1
3
x?(x?2)f(x?2)?5的解集是___(答:(??,])
2
7.求函数解析式的常用方法:
(1)待定系数法―已知f(x)为二次函数,且 f(x?2)?f(?x?2),且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的解析式 。(答:f(x)?
12
x?2x?1) 2
2
x)?sinx,求fx2的解析式___(答
:(2)配凑法―(1)已知f(1?cos
112
f(x2)??x4?2x2,x?[);(2)若f(x?)?x?2,则函数f(x?1)=___(答:
xx
x2?2x?3);
2
(3)方程的思想―已知f(x)?2f(?x)?3x?2,求f(x)的解析式(答:f(x)??3x?);
3
8. 反函数:
(1)函数y?x?2ax?3在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是
A、a????,1? B、a??2,??? C、a?[1,2] D、a????,1???2,??? (答:D)
(2)设f(x)?(
2
x?12
)(x?0).求f(x)的反函数f?
1(x)(答:f?1(x)?x
. x?1))
1
(3)反函数的性质:
①单调递增函数f(x)满足条件f(ax?3)= x ,其中a≠ 0 ,若f(x)的反函数f定义域为?,? ,则f(x)的定义域是____________(答:[4,7]).
aa
(x)的
14???
2x?3
,若函数y?g(x)与y?fx?17
称,求g(3)的值(答:);
2
②已知函数f(x)?
③(1)已知函数f(x)?log3(
1
(x?1)的图象关于直线y?x对
4
; ?2),则方程f?1(x)?4的解x?______(答:1)
x
④已知f?x?是R上的增函数,点A??1,1?,B?1,3?在它的图象上,f?1?x?是它的反函数,那
么不等式f?1?log2x??1的解集为________(答:(2,8));
9.函数的奇偶性。
(1
)①定义法:判断函数y?
____(答:奇函数)。
11
②等价形式:判断f(x)?x(x?)的奇偶性___.(答:偶函数)
2?12
③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称。 (2)函数奇偶性的性质:若f(x)为偶函数,则f(?x)?f(x)?f(|x|).
1
若定义在R上的偶函数f(x)在(??,0)上是减函数,且f()=2,则不等式f(log1x)?2
38
的解集为______.(答:(0,0.5)?(2,??))
a·2x?a?2
④f(0)?0若f(x)?为奇函数,则实数a=____(答:1).
2x?1
f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)
⑤设f(x)是定义域为R的任一函数, F(x)?,G(x)?。①
22
x
判断F(x)与G(x)的奇偶性; ②若将函数f(x)?lg(10?1),表示成一个奇函数g(x)和一
1
个偶函数h(x)之和,则g(x)=____(答:①F(x)为偶函数,G(x)为奇函数;②g(x)=x)
2
10.函数的单调性。
(1)若f(x)在区间(a,b)内为增函数,则f?(x)?0,已知函数f(x)?x?ax在区间
3
[1,??)上是增函数,则a的取值范围是____(答:(0,3]));
(2)若函数f(x)?x?2(a?1)x?2 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数a的取值范围是______(答:a??3));
2
(3)已知函数f(x)?
ax?1
在区间??2,???上为增函数,则实数a的取值范围_____(答:x?2
1
(,??)); 2
2
(4)函数y?log1??x?2x?的单调递增区间是________(答:(1,2))。
2
(5)已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数,若f(m?1)?f(2m?1)?0,求实数
12
m的取值范围。(答:??m?)
23
11. 常见的图象变换
①设f(x)?2,g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y?x对称,h(x)的图像由g(x)的图像向右平移1个单位得到,则h(x)为__________(答: h(x)??log2(x?1))
②函数f(x)?x?lg(x?2)?1的图象与x轴的交点个数有____个(答:2)
x
b
a的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与x?a
原图象关于直线y?x对称,那么
(A)a??1,b?0 (B)a??1,b?R (C)a?1,b?0 (D)a?0,b?R (答:
③将函数y?C)
1
得到a1
的。如若函数y?f(2x?1)是偶函数,则函数y?f(2x)的对称轴方程是_______(答: x??).
2
④函数y?f?ax?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴伸缩为原来的12. 函数的对称性。
①已知二次函数f(x)?ax?bx(a?0)满足条件f(5?x)?f(x?3)且方程f(x)?x
2
12
x?x); 2
x?33
②己知函数f(x)?,(x?),若y?f(x?1)的图像是C1,它关于直线y?x对称
2x?32
图像是C2,C2关于原点对称的图像为C3,则C3对应的函数解析式是_______(答:
x?2
); y??
2x?1
2
③若函数y?x?x与y?g(x)的图象关于点(-2,3)对称,则g(x)=______(答:
有等根,则f(x)=_____(答:?
x2?7x?6)
13. 函数的周期性。
(1)类比“三角函数图像”已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数,则方程
f(x)?0在[?2,2]上至少有__________个实数根(答:5)
(2)由周期函数的定义
(1) 设f(x)是(??,??)上的奇函数,f(x?2)??f(x),当0?x?1时,f(x)?x,则f(47.5)等于_____(答:?0.5);(2)已知f(x)是偶函数,且f(1)=993,g(x)=f(x?1)是奇函数,求f(2005)的值(答:993);(3)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且为周期函数,
S11,S12?都大于0 B、S1,S2?S19都小于0,小于0,S20,S21?都大于0 C、S1,S2?S5
都小于0,S6,S7?都大于0 D、S1,S2?S20都小于0,S21,S22?都大于0 (答:B)
等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为 。(答:225) (2)在等差数列中,S11=22,则a6=______(答:2);(2)项数为奇数的等差数列{an}中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数(答:5;31).
设{an}与{bn}是两个等差数列,它们的前n项和分别为Sn和Tn,若么
Sn3n?1
,那?
Tn4n?3
an6n?2
) ?___________(答:
bn8n?7
(3)等差数列{an}中,a1?25,S9?S17,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。(答:
前13项和最大,最大值为169);(2)若{an}是等差数列,首项a1?0,a2003?a2004?0,
a2003?a2004?0,则使前n项和Sn?0成立的最大正整数n是4006) 4.等比数列的有关概念: (1)等比数列的判断方法:(1)一个等比数列{an}共有2n?1项,奇数项之积为100,偶数
项之积为120,则an?1为____(答:
5
);(2)数列{an}中,Sn=4an?1+1 (n?2)且a1=1,若6
bn?an?1?2an ,求证:数列{bn}是等比数列。
(2)等比数列的通项:设等比数列{an}中,a1?an?66,a2an?1?128,前n项和Sn=
1
或2) 2
(3)等比数列的前n和:(1)等比数列中,q=2,S99=77,求a3?a6???a99(答:44);
126,求n和公比q. (答:n?6,q?(2)
(?C
n?1
k?0
10n
k
n
; )的值为__________(答:2046)
(4)等比中项:已知两个正数a,b(a?b)的等差中项为A,等比中项为B,则A与B的大
小关系为______(答:A>B)
有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数。(答:15,,9,3,1或0,4,8,16)奇数个数成等比,可设为?,
aa
,,a,aq,aq2?(公比为q);但偶数个数成等比时,不能设为?2
aa32
,,aq,aqq,?,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为。 3
5.等比数列的性质:
(1)在等比数列{an}中,a3?a8?124,a4a7??512,公比q是整数,则a10=___(答:512);(2)各项均为正数的等比数列{an}中,若a5?a6?9,则log3a1?log3a2???log3a10? (答:10)。
gxn1loxgn(n?N*),且(1)已知a?0且a?1,设数列{xn}满足loa?1??a
x1?x2???x
100
;(2)在等比?100,则x101?x102???x200?(答:100a100)
数列{an}中,Sn为其前n项和,若S30?13S10,S10?S30?140,则S20的值为______(答:40)
若{an}是等比数列,且Sn?3n?r,则r=(答:-1)
设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn?1,Sn,Sn?2成等差数列,则q的值为-_____(答:-2)
设数列?an?的前n项和为Sn(n?N), 关于数列?an?有下列三个命题:①若
an?an?1
b?R?,则(n?N),则?an?既是等差数列又是等比数列;②若Sn?an2?bn?a、
an?是等差数列;③若Sn?1???1?n,则?an?是等比数列。这些命题中,真命题的序号是
(答:②③)
6.数列的通项的求法:
已知数列3
1111
,5,7,9,?试写出其一个通项公式:__________(答:481632
an?2n?1?
1
) 2n?1
①已知{an}的前n项和满足log2(Sn?1)?n?1,求an(答:an?满足
11114,n?1
) a1?2a2???nan?2n?5,求an(答:an?n?1
2,n?2222
2
3,n?1
);②数列{an}
2n,n?2
数列{an}中,则a3?a5?______(a1?1,对所有的n?2都有a1a2a3?an?n,已知数列{an}满足a1?1,an?an?1?
61
) 16
1n?1?n
2
(n?2),则an=________(答
:
an?1)
已知数列{an}中,a1?2,前n项和Sn,若Sn?nan,求an(答:an?
4
)
n(n?1)
n
3n?1?1)①已知a1?1,an?3an?1?2,求an(答:an?2?;②已知a1?1,an?3an?1?2,
n?1
3求an(答:an?5?
2n?1);
an?11
①已知a1?1,an?,求an(答:an?);②已知数列满足a1=1
,
3an?1?13n?2
1
,求an(答:an?2)
n54,n?1
数列{an}满足a1?4,Sn?Sn?1?an?1,求an(答:an?) n?1
3?4,n?23
7.数列求和的常用方法:
(1)公式法:(1)等比数列{an}的前n项和Sn=2-1,则a1?a2?a3???an=
n
2222
4n?1
_____(答:);(2)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”,
3
如(1101)2表示二进制数,将它转换成十进制形式是1?23?1?22?0?21?1?20?13,那么将二
进制(111?11)2转换成十进制数是_______(答:2
2005
2005个1
1)
n
(2)分组求和法: Sn??1?3?5?7???(?1)(2n?1)(答:(?1)?n)
n
n?1)Cn?n(??1)2(3)倒序相加法:①求证:Cn?3Cn?5Cn???(2;②已知
012nn
x21117
,则=______(答:) f(x)?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f()?f()?f()2
1?x2342
(4)错位相减法:(1)设{an}为等比数列,Tn?na1?(n?1)a2???2an?1?an,已知T1?1,
T2?4,①求数列{an}的首项和公比;②求数列{Tn}的通项公式.(答:①a1?1,q?2;
②Tn?2
n?1
2
n?2);(2)设函数f(x)?(x?1),g(x)?4(x?1),数列{an}满足:
a1?2,f(an)?(an?
an?1)g(an)(n?N?),①求证:数列{an?1}是等比数列;②令h(x)?(a1?1)x?(a2?1)x2
888
(an?1)xn,求函数h(x)在点x?处的导数h?(),并比较h?()与2n2?n的大小。
333
88
(答:①略;②h?()?(n?1)?2n?1,当n?1时,h?()=2n2?n;当n?2时,
33
88
h?()<2n2?n;当n?3时,h?()>2n2?n) 33
n111
(5)裂项相消法:(1)求和:);?????1?44?7(3n?2)?(3n?1)3n?11
(2)在数列{an}中,an?,且Sn=9,则n=_____(答:99);
n?n?1
2n111
(6)通项转换法:求和:1?) ?????1?21?2?31?2?3???nn?1
四、三角函数
的终边关于直线y?x对称,则?=_____。(答:2k??,k?Z) 63
若?是第二象限角,则是第_____象限角(答:一、三);已知扇形AOB的周长是6cm,
2
2
该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。(答:2cm) 2、三角函数的定义:(1)已知角?的终边经过点P(5,-12),则sin??cos?
72m?3 T 的值为__。(答:?);(2)设?是第三、四象限角,sin??, B S
4?m13
3
则m的取值范围是_______(答:(-1,)); O M x 2
3.三角函数线(1)若????0,则sin?,cos?,tan?的大小关系为
8
_____(答:tan??sin??cos?);(2)若?为锐角,则?,sin?,tan?的大
1、?的终边与
小关系为_______ (答:sin????tan?);(3)函数y??2cosx?lg(2sinx?3)的
2?
](k?Z))
33
m?34?2m?
4.同角三角函数的基本关系式:(1)已知sin??,cos??则t(????),an?
m?5m?52
5tan?nsi??3cos?
sin2??sin?cos??2=____(答:;(2)已知则=____;?)??1,
tan??1nsi??cos?12
定义域是_______(答:(2k??
,2k??
513?;);(3)已知f(cosx)?cos3x,则f(sin30)的值为______(答:-1)。 35
9?7?
5.三角函数诱导公式(1)cos);??tan(?)?sin21?的值为________
(答:
46
4?
(2)已知sin540(?270)?______,若?为第二象限角,则(???)??,则cos?
5
[sin(180???)?cos(??360?)]243
________。(答:;) ???
tan(180??)5100
=___(答:?
6、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式: (1)下列各式中,值为
1
的是 A、sin15?cos15? B、cos2?sin2 C、1212
tan22.5? D(答:C); 2?
1?tan22.5
(2)命题P:tan(A?B)?0,命题Q:tanA?tanB?0,则P是Q的 A、充要条件 B、
充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件(答:C);(3)已知
37
);(4)sin(???)cos??cos(???)sin??,
那么cos2?的
值为____(答:
525
100
的值是______(答:4);(5)已知tan110?a,求tan50的值(用a表示)?sin101?a2
,乙求得的结果是,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是
2a______(答:甲、乙都对)
7. 三角函数的化简、计算、证明
2?
1?
,tan(??)?,那么tan(??)的值是_____5444
33
(答:);(2)已知?,?为锐角,sin??x,cos??y,cos(
)??,则y与x的
225
43
函数关系为______(答:y?x(?x?1))
55
(2)三角函数名互化(切割化弦),(1)求值sin50(1
)(答:1);(2)已知sin?cos?21
1,tan(???)??,求tan(??
2?)的值(答:)
1?cos
2?38
(3)公式变形使用设?
ABC中,tanA?tanB?AtanB,sinAcosA?(1)巧变角:(1)已知tan(???)?则此三角形是____三角形(答:等边)
(4)三角函数次数的降升函数f(x)?5sinxcosx?x增区间为___________(答:[k??
2
x?R)的单调递?
12
,k??
5?
](k?Z)) 12
sin??tan?
(答:sin?);(2)求证:
cot??csc?
11?tan2cos4x?2cos2x?
1?sin?;(答:1cos2x) (3)化简:?
21?2sin21?tan2tan(?x)sin2(?x)2244
322
(6)常值变换主要指“1”的变换已知tan??2,求sin??sin?cos??3cos?(答:).
5
t2?1
(7)“知一求二”(1)若 sinx?cosx?t,则sinxcosx? __(答:?),特别提醒:
2
4?这里t?[;(2)若??(0,?),sin??cos??,求tan?的值。
(答:?);
23
8、辅助角公式中辅助角的确定:(1)
若方程sinxx?c有实数解,则c的取值范围是___________.(答:[-2,2]);(2)当函数y?2cosx?3sinx取得最大值时,tanx的值是
3
______(答:?);(3)如果f?x??sin?x????2cos(x??)是奇函数,则tan?答:-
2
312
2);(4)求值:??64sin20??________(答:32) 22
sin20?cos20?
9、正弦函数y?sinx(x?R)、余弦函数y?cosx(x?R)的性质:
31
(1)若函数y?a?bsin(3x?)的最大值为,最小值为?,则a?__,b?_(答:
226
1??
;(2)函数f(x)?sinx?3cosx(x?[?,])的值域是____(答:a?,b?1或b??1)
222
[-1, 2]);(3)若2?????,则y?cos??6sin?的最大值和最小值分别是____ 、_____
(5)式子结构的转化(1)tan?(cos??sin?) ?
(答:7;-5);(4)
函数f(x)?2cosxsin(x??x?sinxcosx的最小值是_____,
2
3
此时x=__________(答:2;k??
12
;(5)己知sin?cos??(k?Z))
1
,求t?sin?cos?2
122222
最小值(答:ymax?1,ymin?22?2)。
x
(3)周期性: (1)若f(x)?sin,则f(=___(答:0);1)?f(2)?(3)f???(200f3)
3
44
(2) 函数f(x)?cosx?2sinxcosx?sinx的最小正周期为____(答:?);(3) 设函数
的变化范围(答:[0,]);(6)若sin??2sin??2cos?,求y?sin??sin?的最大、
f(x)?2x?),若对任意x?R都有f(x1)?f(x)?f(x2)成立,则|x1?x2|的最小
25
值为____(答:2)
5??
2x?的奇偶性是______(答:偶函数);(2)2??
3
已知函数f(x)?ax?bsinx?1(a,b为常数),且f(5)?7,则f(?5)?______(答:-5);
(4)奇偶性与对称性:(1)函数y?sin?
个单位,即得到函数y?2cos2x的图像。其中正确结论是_______(答:12
②④);(5)已知函数f(x)?2sin(?x??)图象与直线y?1的交点中,距离最近两点间的距
离为,那么此函数的周期是_______(答:?)
3
,而y?sin2x,y?sinx的周期都是?, 但y?sinx?cosx的周期为2
1?
,(y3?|tanx)|的周期不变; y?|2sinx??)?y|,?|?sin2|
626
ABC中,若sin2Acos2B?cos2Asin2B?sin2C,判断?ABC的形状(答:直角
④图像向左平移三角形)。
(1)?ABC中,A、B的对边分别是a、
b,且A=60, a? b?4,那么满足条件的
;(2)在?ABC?ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定(答:C)
中,A>B是sinA?sinB成立的_____条件(答:充要);(3)在?ABC中,
1
;(4)在?ABC中,a,b,c分别(1?tanA)(1?tanB)?2,则log2sinC=_____(答:?)2
是角A、B、C所对的边,若(a?b?c)(sinA?sinB?sinC)?3asinB,则?C=____(答:222?
;(5)在?ABC中,
若其面积S?,则?C=____(答:30);(6)在?ABC60)
中,A?60, b?1,
则?ABC外接圆的直径是_______
(7)在△ABC中,a、b、c是角A、B、C
的对边,a?A?的最大值为 (答:
;1B?C
b2?c2,则cos2
32
19
;(8)在△ABC中AB=1,BC=2,则角C的取值范围是;)32
6
. ?AOB,?BOC,?
COA的面积满足关系式S?AOB?S?BOC??COA,求?A(答:45?)
答:0?C?
);(9)设O是锐角三角形ABC的外心,若?C?75,且
19.求角的方法(1)若?,??(0,?),且ant的值______(答:
则求???tan?是方程x2?5x?6?0的两根,?、
3?
);(2)?ABC中,3sinA?4cosB?6,4sinB?3cosA?1,则?C=4?
_______(答:);(3)若0???????2?且sin??sin??sin??0,
3
2?). cos??cos??cos??0,求???的值(答:3
(1)向量的概念:已知A(1,2),B(4,2),则把向量AB按向量a=(-1,3)平移后得
到的向量是_____(答:(3,0))
五、平面向量
1、向量有关概念:
下列命题:(1)若a?b,则a?b。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,
终点相同。(3)若A,则A是平行四边形。(4)若是平行四边形,则BD?CAB?DC。BCDABCD
(5)若a?b,b?c,则a?c。(6)若a//b,b//c,则a//c。其中正确的是_______(答:(4)(5))
1?3?
2、向量的表示方法:(1)若a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2),则c?______(答:a?b);
22?????
(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 A. e1?(0,0),e2?(1,?2) B. ???????????????13
e1?(?1,2),e2?(5,7) C. e1?(3,5),e2?(6,10) D. e1?(2,?3),e2?(,?)(答:B);(3)
24????????????????????????
已知AD,BE分别是?ABC的边BC,AC上的中线,且AD?a,BE?b,则BC可用向量a,b表示
2?4?
为_____(答:a?b);(4)已知?ABC中,点D在BC边上,且CD?2DB,
33
CD?rAB?sAC,则r?s的值是___(答:0)
4、实数与向量的积
5、平面向量的数量积:
(1)△ABC中,|AB|?3,|AC|?4,|BC|?5,则AB?BC?_________(答:-9);
1?1???
(2)已知a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b,c与d的夹角为,则k等于____(答:1);
224????????
b??3,则a?b等于____
(3)已知a?2,b?5,a?;(4)已知a,b是两个非零向
量,且a?b?a?b,则a与a?b的夹角为____(答:30?)
已知|a|?3,|b|?5,且a?b?12,则向量a在向量b上的投影为______(答:
12) 5
(1)已知a?(?,2?),b?(3?,2),如果a与b的夹角为锐角,则?的取值范围是______
41(答:???或??0且??);(2)已知?OFQ的面积为S,且OF?FQ?1,若
33
1??
S?,则OF,FQ夹角?的取值范围是_________(答:(,));(3)已知2243
a?(cosx,sixnb)?,?????
(cyos,syian与b之间有关系式ka?b??kb,其中k?0,①用k表
k2?1??
示a?b;②求a?b的最小值,并求此时a与b的夹角?的大小(答:①a?b?(k?0);②
4k
最小值为
1?
,??60) 2
6、向量的运算: (1)几何运算:
(1)化简:①AB?BC?CD?___;②AB?AD?DC?____;
③(AB?CD)?(AC?BD)?_____(答:①AD;②CB;③0);(2)若正方形ABCD的边长
为1,AB?a,BC?b,AC?c,则|a?b?c|=_____
(答:;(3)若O是?ABC所在
平面内一点,且满足OB?OC?OB?OC?2OA,则?ABC的形状为____(答:直角三角
形);(4)若D为?ABC的边BC的中点,?ABC所在平面内有一点P,满足
且OA?OB?CO?0,则△ABC的内角C为____(答:120);
(2)坐标运算:(1)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP?AB??AC(??R),则当?
|AP|
,则?的值为___(答:2);(5)若点O是△ABC的外心,PA?BP?CP?0,设|PD|
=____时,点P在第一、三象限的角平分线上(答:
1);(2)已知2
1??????
;A(2,3),B(1,4),且AB?(sinx,cosy),x,y?(?,),则x?y?(答:或?)
22262?
(3)已知作用在点A(1,1)的三个力F1?(3,4),F2?(2,?5),F3?(3,1),则合力F?F1?F2?F3的终点坐标是 (答:(9,1))
1???????????
设A(2,3),B(?1,5),且AC?AB,AD?3AB,则C、D的坐标分别是__________(答:
3
11
; (1,),(?7,9))
3
已知向量a=(sinx,cosx), b=(sinx,sinx), c=(-1,0)。(1)若x=量、的夹角;(2)若x∈[?
,求向3
3??1
,],函数f(x)???的最大值为,求?的值(答:842
1
; (1)150?
;(2)或1)
2???????
已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a?3b|=_____
; ??????????????
OP?xe?yee,e这样定义的:若12,其中12分别为与x轴、y轴同方向的单位向量,则P点斜
坐标为(x,y)。(1)若点P的斜坐标为(2,-2),求P到O的距离|PO|;(2)求以O为圆
心,1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。(答:(1)2;(2)x?y?xy?1?0);
7、向量的运算律:下列命题中:① a?(b?c)?a?b?a?c;② a?(b?c)?(a?b)?c;
如图,在平面斜坐标系xOy中,?xOy?60,平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是
22
③ (a?b)?|a|?2|a|?|b|?|b|;④ 若a?b?0,则a?0或b?0;⑤若a?b?c?b,则
2?2?2??2?2???2?2?2a?bb
a?c;⑥a?a;⑦2?;⑧(a?b)?a?b;⑨(a?b)?a?2a?b?b。其中正确的
2
2
2
a
是______(答:①⑥⑨)
a
知a?(1,1),b?(4,x),u?a?2b,v?2a?b,且u//v,则x=______(答:4);(3)设????????????
PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k),则k=_____时,A,B,C共线(答:-2或11)
3
(1)已知OA?(?1,2),OB?(3,m),若OA?OB,则m? (答:);(2)以原点
(1)若向量a?(x,1),b?(4,x),当x=_____时a与b共线且方向相同(答:2);(2)已
2
O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,?B?90?,则点B的坐标是________ (答:
(1,3)或(3,-1));(3)已知n?(a,b),向量n?m,且n?m,则m的坐标是________ (答:
(b,?a)或(?b,a))
10.线段的定比分点:
37
若点P分AB所成的比为,则A分BP所成的比为_______(答:?)
43
1
(2)已知A(a,0),B(3,2,直线y?ax与线段AB交于M,且AM?2MB,则a等于?a)
2
_______(答:2或-4)
11.平移公式:(1)按向量a把(2,?3)平移到(1,?2),则按向量a把点(?7,2)平移到点______
(答:(-8,3));(2)函数y?sin2x的图象按向量a平移后,所得函数的解析式是
1???7(1)若M(-3,-2),N(6,-1),且MP??MN,则点P的坐标为_______(答:(?6,?));
33
y?cos2x?1,则a=________(答:(?
4
,1))
12、向量中一些常用的结论:
若⊿ABC的三边的中点分别为(2,1)、(-3,4)、 (-1,-1),则⊿ABC的重心的坐标为_______(答:(?
24
; ,))
33
平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(?1,3),若点C满足
OC??1OA??2OB,其中?1,?2?R且?1??2?1,则点C的轨迹是_______(答:直线AB)
六、不等式 1、不等式的性质:
(1)对于实数a,b,c中,给出下列命题:①若a?b,则ac?bc②若ac?bc,则a?b;③若a?b?0,则a?ab?b;④若a?b?0,则
2
2
2
2
2
2
;
11
;ab
baab
⑤若a?b?0,则?; ⑥若a?b?0,则a?b;⑦若c?a?b?0,则;?
abc?ac?b11
⑧若a?b,?,则a?0,b?0。其中正确的命题是______(答:②③⑥⑦⑧);
ab
(2)已知?1?x?y?1,1?x?y?3,则3x?y的取值范围是______(答:1?3x?y?7);
2. 不等式大小比较的常用方法:比较1+logx3与2logx2(x?0且x?1)的大小(答:当
444
1+logx3>2logx2;当1?x?时,1+logx3<2logx2;当x?时,0?x?1或x?时,333
1+logx3=2logx2)
3. 利用重要不等式求函数最值
21
(1)下列命题中正确的是A、y?x?的最小值是2 B
、y?的最小值是2
x44
C、y?2?3x?(x?
0)的最大值是2? D、y?2?3x?(x?
0)的最小值是
xx
xy
2?C);(2)若x?2y?1,则2?4的最小值是______
(答:;(3)正数
11
; x,y满足x?2y?1,则?的最小值为______
(答:3?xy
4.常用不等式有:如果正数a、b满足ab?a?b?3,则ab的取值范围是_____(答:
9,???)
5、证明不等式的方法:
(1)已知a?b?c,求证:ab?bc?ca?ab?bc?ca ;(2) 已知a,b,c?R,求证:ab?bc?ca?abc(a?b?c);(3)已知a,b,x,y?R,且证:
2
2
2
2
2
2
222222
11
,x?y,求ab
xy222222
;(4)已知a,b,c?R,求证:ab?bc?ca?abc(a?b?c); ?
x?ay?b
2
6.简单的一元高次不等式的解法:(1)解不等式(x?1)(x?2)?0。(答:{x|x?1或
;(2)
不等式(x??0的解集是____(答:{x|x?3或x??1});(3)x??2})
设函数f(x)、g(x)的定义域都是R,且f(x)?0的解集为{x|1?x?2},g(x)?0的解集为
;(4)要使满足关于x的?,则不等式f(x)?g(x)?0的解集为____(答:(??,1)?[2,??))
不等式2x?9x?a?0(解集非空)的每一个x的值至少满足不等式
2
x2?4x?3?0和x2?6x?8?0中的一个,则实数a的取值范围是_____.(答:[7,
7.分式不等式的解法:(1)解不等式
81
)) 8
5?x
; ??1(答:(?1,1)?(2,3))
x2?2x?3
ax?b
(2)关于x的不等式ax?b?0的解集为(1,??),则关于x的不等式?0的解集
x?2
为____________(答:(??,?1)?(2,??)).
8.绝对值不等式的解法:解不等式|x|?|x?1|?3(答:(??,?1)?(2,??));若不等式
4
(答:}) |3x?2|?|2x?a|对x?R恒成立,则实数a的取值范围为______。
3
22
9、含参不等式的解法:(1)若loga?1,则a的取值范围是_____(答:;a?1或0?a?)
33
ax21
x(a?R)(答:a?0时,{x|x?0};a?0时,{x|x?或x?0};(2)解不等式
ax?1a1
;(3)关于x的不等式ax?b?0 的解集为(??,1),则不a?0时,{x|?x?0}或x?0})
a
x?2等式(-1,2)) ?0的解集为__________(答:
ax?b
22
11.恒成立问题(1)设实数x,y满足x?(y?1)?1,当x?y?c?0时,c的取值范围是______
(答:1,??);(2)不等式x?4?x?3?a对一切实数x恒成立,求实数a2
的取值范围_____(答:a?1);(3)若不等式2x?1?m(x?1)对满足m?2的所有m都成
7?13?1(?1)n?1n立,则x的取值范围_____(答:(,));(4)若不等式(?1)a?2?对
22n
点P关于直线x?y?0对称,则点Q的坐标为_______(答:(b,a));(2)已知直线l1与l2的夹角平分线为y?x,若l1的方程为ax?by?c?0(ab?0),那么l2的方程是___________(答:;(3)点A(4,5)关于直线l的对称点为B(-2,7),则l的方程是_________bx?ay?c?0)(答:y=3x+3);(4)已知一束光线通过点A(-3,5),经直线l:3x-4y+4=0反射。如果反射光线通过点B(2,15),则反射光线所在直线的方程是_________(答:;18x+y?51?0)(5)已知ΔABC顶点A(3,-1),AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0,∠B的平分线所在的方程为x-4y+10=0,求BC边所在的直线方程(答:2x?9y?65?0);(6)直线2x―y―4=0上有一点P,它与两定点A(4,-1)、B(3,4)的距离之差最大,则P的坐标是______(答:(5,6));(7)已知A?x轴,B?l:y?x,C(2,1),?ABC周长的最小值为______
。
9、简单的线性规划: 已知点A(—2,4),B(4,2),且直线l:y?kx?2与线段AB恒相交,则k的取值范围是__________(答:?-?,-3???1,+??)
(1)线性目标函数z=2x-y在线性约束条件
1
||xy||??1
下,取最小值的最优解是____(答:
(-1,1));(2)点(-2,t)在直线2x-3y+6=0的上方,则t的取值范围是_________(答:
2
);(3)不等式|x?1|?|y?1|?2表示的平面区域的面积是_________(答:8);(4)如3
x?y?2?0
果实数x,y满足?x?y?4?0,则z?|x?2y?4|的最大值_________(答:21)
2x?y?5?0t?
10、圆的方程:
(1)圆C与圆(x?1)?y?1关于直线y??x对称,则圆C的方程为____________(答:
2
2
x2?(y?1)2?1);(2)圆心在直线2x?y?3上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是
__________(答:(x?3)?(y?3)?9或(x?1)?(y?1)?1);(3)
已知P(?是圆
2
2
2
2
x?rcos?(?为参数,0???2?)上的点,则圆的普通方程为________,P点对应的?值
y?rsin?
2?
22
为_______,过P点的圆的切线方程是___________(答:x?y=4;;x?4?0);
3
(4)如果直线l将圆:x2+y2-2x-4y=0平分,且不过第四象限,那么l的斜率的取值范围是____
12
(答:[0,2]);(5)方程x2+y-x+y+k=0表示一个圆,则实数k的取值范围为____(答:;k?)
2
x?3cos?(?为参数,0????)},N??(x,y)|y?x?b?,若
(6)若M?{(x,y)|
y?3sin?
M?N??,则b的取值范围是_________
(答:-)
11、点P(5a+1,12a)在圆(x-1)+y2=1的内部,则a的取值范围是______(答:|a|?
2
1
) 13
12、直线与圆的位置关系:(1)圆2x?2y?1与直线xsin??y?1?0(??R,??
22
2
22
;(2)若直线ax?by?3?0与圆x?y?4x?1?0切k?z)的位置关系为____(答:相离)
k?,
于点P(?1,2),则ab的值____(答:2);(3)直线x?2y?0被曲线x?y?6x?2y?15?0所截得的弦长等于
(答:;(4)一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是4);(5)已知M(a,b)(ab?0)是圆O:x?y?r
2
22
222
内一点,现有以M为中点的弦所在直线m和直线l:ax?by?r,则A.m//l,且l与圆相交 B.l?m,且l与圆相交 C.m//l,且l与圆相离 D.l?m,且l与圆相离(答:
22
C);(6)已知圆C:x?(y?1)?5,直线L:mx?y?1?m?0。①求证:对m?R,直线L与圆C总有两个不同的交点;②设L与圆C交于A、B
两点,若AB?L的倾斜角;③求直线L中,截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. (答:②60?或120? ③最长:y?1,最短:x?1)
13、圆与圆的位置关系
x2y2
双曲线2?2?1的左焦点为F1,顶点为A1、A2,P是双曲线右支上任意一点,则分别
ab
以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为 (答:内切)
14、圆的切线与弦长:
设A为圆(x?1)?y?1上动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程为__________(答:(x?1)?y?2); (2)弦长问题: 八、圆锥曲线
1.圆锥曲线的两个定义:
(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:(1)已知定点F1(?3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A.PF1?PF2?4 B.PF1?PF2?6 C.PF1?PF2?10 D.PF1
2
22
22
PF2
2
12(答:C)
程
表8示的曲线是_____(答:双曲线的左支) 2?
x2
(2)第二定义已知点Q(22,0)及抛物线y?上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是
4
_____(答:2)
2.圆锥曲线的标准方程
x2y2
(1)椭圆:(1)已知方程??1表示椭圆,则k的取值范围为____(答:
3?k2?k
1122
;(2)若x,y?R,且3x2?2y2?6,则x?y的最大值是____,x?y(?3,?)?(?,2))
22
的最小值是___
2)
x2y25
(2)双曲线:(1)双曲线的离心率等于,且与椭圆??1有公共焦点,则该双曲
942
x2
线的方程_______(答:;(2)设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,?y2?1)
4
离心率e?2的双曲线C过点P(4,?),则C的方程为_______(答:x2?y2?6)
(3)抛物线:
3.圆锥曲线焦点位置的判断:
x2y2
1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答:椭圆:已知方程
m?12?m
3
(??,?1)?(1,))
2
4.圆锥曲线的几何性质:
25x2y2(1)椭圆(1)若椭圆,则m的值是__(答:3或);(2)??1的离心率e?
35m5
以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答:22)
(2)双曲线(1)双曲线的渐近线方程是3x?2y?0,则该双曲线的离心率等于______
(答:
122或);(2)双曲线ax?by?
1a:b4或);2
34
x2y2
(3)设双曲线2?2?1(a>0,b>0)中,离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值
ab
范围是________(答:[
; ,])
32
2
(3)抛物线;设a?0,a?R,则抛物线y?4ax的焦点坐标为________(答:(0,
1
; ))16a
x2y2
5、点P(x0,y0)和椭圆2?2?1(a?b?0)的关系:
ab
6.直线与圆锥曲线的位置关系:
22
(1)若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______
x2y2??1恒有公共点,则m的取值范围(答:(-,-1));(2)直线y―kx―1=0与椭圆
35m
x2y2
是_______(答:[1,5)∪(5,+∞));(3)过双曲线??1的右焦点直线交双曲线于
12
A、B两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____条(答:3);
x2y2
(2)过双曲线2?2=1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:
ab
①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲
线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;
(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。(1)过点(2,4)作直线与抛物线y?8x只有一个公共点,这样的直线有______
2
x2y2
(答:2);(2)过点(0,2)与双曲线??1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为
916
y2?42
______
(答:??,;(3)过双曲线x??1的右焦点作直线l交双曲线于A、B)
32????
两点,若AB?4,则满足条件的直线l有____条(答:3);(4)对于抛物线C:y2?4x,我们称满足y0?4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部,若点M(x0,y0)在抛物线的内部,则直线l:
2
(答:相离);(5)过抛物线y?4x的焦点Fy0y?2(x?x0)与抛物线C的位置关系是_______
2
作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则
11
_______(答:pq
x2y2
1);(6)设双曲线??1的右焦点为F,右准线为l,设某直线m交其左支、右支和右
169
准线分别于P,Q,R,则?PFR和?QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:
等于);(7)求椭圆7x2?4y2?28上的点到直线3x
2y?16?0的最短距离(答:
2
2
);(8)13
直线y?ax?1与双曲线3x?y?1交于A、B两点。①当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?②当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:
①;②a??1);
x2y2
7、焦半径(1)已知椭圆??1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线
2516
352
);(2)已知抛物线方程为y?8x,若抛物线上一点到y轴的距离等于3
5,则它到抛物线的焦点的距离等于____;(3)若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M
x2y2
的坐标为_____(答:7,(2,?4));(4)点P在椭圆??1上,它到左焦点的距离是它到
259252
右焦点距离的两倍,则点P的横坐标为_______(答:);(5)抛物线y?2x上的两点A、
12
x2y2
B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴的距离为______(答:2);(6)椭圆??1
43
内有一点P(1,?1),F为右焦点,在椭圆上有一点M,使MP?2MF 之值最小,则点M的坐
的距离为____(答:标为_______(答:(
26
; ,?1))
3
8、焦点三角形(1)短轴长为5,离心率e?
2
的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直线3
交椭圆于A、B两点,则?ABF2的周长为________(答:6);(2)设P是等轴双曲线
x2?y2?a2(a?0)右支上一点,F1、F2是左右焦点,若PF2?F1F2?0,|PF1|=6,则该双曲线
x2y2
1的焦点为F1、F2,点P为椭圆的方程为 (答:x?y?4);(3)椭圆94
→→
)上的动点,当PF2 ·PF1 <0时,点P的横坐标的取值范围是
(答:(;(4)6
双曲线的虚轴长为4,离心率e=,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支
2
交于A、B两点,且AB是AF2与BF2等差中项,则AB=__________
(答:;(5)
2
2
已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且?F1PF2?60,
S?PF1F2
x2y2
123.求该双曲线的标准方程(答:??1);
412
2
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: 10、弦长公式:(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8);(2)过抛物线y?2x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3);
x2y2
11、圆锥曲线的中点弦问题:(1)如果椭圆??1弦被点A(4,2)平分,那么这
369
条弦所在的直线方程是 (答:x?2y?8?0);(2)已知直线y=-x+1与椭圆x2y2
2?1(a?b?0)相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭2ab
x2y2
圆的离心率为_______
(答:);(3)试确定m的取值范围,使得椭圆??1上有不
243
同的两点关于直线y?4
x?m对称(答:?;
)??
特别提醒:因为??0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验??0!
12.你了解下列结论吗?
x2y2
与双曲线??1有共同的渐近线,且过点(?3,23)的双曲线方程为_______(答:
916
4x2y2
1) 94
13.动点轨迹方程:
已知动点P到定点F(1,0)和直线x?3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:
y2??12(x?4)(3?x?4)或y2?4x(0?x?3));
线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m?0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以
x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为(
答:
y2?2x);
(1)由动点P向圆x?y?1作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60,则动点P的轨迹方程为
2
2
2
2
2
(答:x?y?4);(2)点M与点F(4,0)的距离比它
2
22
到直线l:x?5?0的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ (答:y?16x);(3) 一动圆与两圆⊙M:x?y?1和⊙N:x?y?8x?12?0都外切,则动圆圆心的轨迹为 (答:双曲线的一支);
动点P是抛物线y?2x?1上任一点,定点为A(0,?1),点M分PA所成的比为2,则M的
1
轨迹方程为__________(答:y?6x2?);
3
(1)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点使|OP||?MN|P,
,求点P的轨迹。(答:x?y?a|y|);(2)若点P(x1,y1)在圆x?y?1
2
2
2
2
2
22
上运动,则点Q(x1y1,x1?y1)的轨迹方程是____(答:y?2x?1(|x|?));(3)过抛物
1
2
果a、b是异面直线,P是不在a、b上的任意一点,下列四个结论:①过点P一定可以作直线l与a、b都相交; ②过点P一定可以作直线l与a、b都垂直;③过点P一定可以作平面α与a、b都平行; ④过点P一定可以作直线l与a、b都平行。其中正确的结论是_____(答:②);(5)如果两条异面直线称作一对,那么正方体的十二条棱中异面直线的对数为_____(答:
24);(6)已知平面??平面??a,b??,b?a?A,c??且c//a,求证:b、c是异面直线.
5、异面直线所成角?的求法:(1)正四棱锥P?ABCD的所有棱长相等,E是PC的中点,那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于____(答:);(2)在正方体AC1中,3
M是侧棱DD1的中点,O是底面ABCD的中心,P是棱A1B1上的一点,则OP与AM所成的角的大小为____(答:90°);(3)已知异面直线a、b所成的角为50°,P为空间一点,则过P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有____条(答:2);(4)若异面直线a,b所成的角为?
3,且直线c?a,则异面直线b,c所成角的范围是____(答:[??; ,])62
6、异面直线的距离的概念:(1)ABCD是矩形,沿对角线AC把ΔADC折起,C1D使AD⊥BC,求证:BD是异面直线AD与BC的公垂线;(2)如图,在正方体BABCD—A1B1C1D1中,EF是异面直线AC与A1D的公垂线,则由正方体的八个顶点A1
所连接的直线中,与EF平行的直线有____条(答:1); DC7直线与平面的位置关系:(1)下列命题中,正确的是 A、若直线a平行于平
F面?内的一条直线b , 则 a// ? B、若直线a垂直于平面?的斜线b在平面?内AB的射影,则a⊥b C、若直线a垂直于平面?,直线b是平面?的斜线,则a与
b是异面直线 D、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等,且所有侧面与底面所成的角也相等,则它一定是正棱锥(答:D);(2)正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是___________(答:线段B1C)。
10、直线与平面平行的判定和性质:
(1)α、β表示平面,a、b表示直线,则a∥α的一个充分不必要条件是 A、α⊥β,a⊥β B、α∩β=b,且a∥b C、a∥b且b∥α D、α∥β且a?β(答:D);
(2)正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN,求证:MN∥面AA1B1B。
11、直线和平面垂直的判定和性质:(1)如果命题“若x?y,y∥z,则x?z”不成立,那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形一定是_____(答:x、y是直线,z是平面);(2)已知a,b,c是直线,α、β是平面,下列条件中能得出直线a⊥平面α的是 A、a⊥b,a⊥c其中b?α,c?α B、a⊥b ,b∥α C、α⊥β,a∥β D、a∥b,b⊥α(答:
D);(3)AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一点,AD⊥面ABC,AE⊥BD于E,AF⊥CD于F,求证:BD⊥平面AEF。
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