指数函数、对数函数及幂函数
1.指数运算法则：（1）aras?ar?s； （2）?ar??ars； （3）?ab??arbr；
s
r
m
n
（4
）a?
（5
）a
mn
a,n奇 （6
）???
|a|,n偶
2. 指数函数：
【基础过关】
类型一：指数运算的计算题
此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便 1
、5?______________________ 2、 已知a?2，a
A．3
n
mn
16，则m的值为??????????????????( )
3
6
B．4 C．a D．a
b?(a?b3、
化简
的结果是????????????( )
D
、2ba
A
、a
、a
a
43
13
a?8ab
4、已知a?
0.001，求：a?4b
2323
(1?=_________________
32
32
5、已知x?x
1
3，求（1）x?x=________________（2）x?x=_________________
1
2
12
y?yy?yx?1,y?0x?x?______________ x?x?6
、若，其中，则
类型二：指数函数的定义域、表达式
指数函数的定义域主要涉及根式的定义域，注意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数
的图像及性质 函数y?a
f(x)
的定义域与f(x)的定义域相同
1、若集合A={
xy?
13},B={
xs?则A?B?
____________________
1?x
y?f(x)[1,2]y?f(2)的定义域是________ 2、如果函数的定义域是,那么函数
1
3、下列函数式中，满足f(x+1)=2f(x)的是?????????????????( )
1
x?1?A、2
B、
x?
1
4
C、2
x
D、2
x
则实数a的取值范围是????????????( ) 4、
A、a?2
B、a?
1
2
C、a?
1 2
D、任意实数
类型三：复合函数 1形如a○
2x
b?ax?c?0的方程，换元法求解
f(x)2函数y?a的定义域与f(x)的定义域相同 ○
f(x)
f(x)y?a3先确定的值域，再根据指数函数的值域，单调性，可确定的值域 ○
涉及复合函数的单调性问题，应弄清函数是由那些基本函数符合得到的，求出复合函数的定
义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间，注意“同增异减”
（1）外函数是二次函数，内函数是指数函数
xx
y?2?3?9?1的值域 1、求函数
2、当?1?x?0时，函数y?2
x?2
3?4x的最大值是______________，最小值是__________
11
13、已知x?[-3,2]，求f(x)=42的最大值是______________，最小值是______________
（2）外函数是指数函数，内函数是二次函数
1
2x2?8x?1
1、函数y=(3) (-3?x?1)的值域是______________，单调递增区间是__________ 1
x2?2x?5
2、已知函数y=(3)，求其单调区间_____________________及值域_______________
类型四：奇偶性的判定
利用奇偶性的定义，注意计算过程中将根式化为分式指数幂后通分
x2?x
f(x)?(1?a)?a1、函数是?????????????????( )
A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数
ax?1
(a?1)a?12、已知函数f(x)=
(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明f(x)是R上的增函数。
a?2x?a?2
(x?R)2?1?3、设aR,f(x)= ，试确定a的值，使f(x)为奇函数
类型五：分类讨论思想在指数函数中的应用
x
a?0a?1a1、已知，且，解不等式
2
6
a5x
2、已知f(x)=ag(x).
2x2?3x?1
,g(x)=a
x2?2x?5
(a＞0且a≠1),确定x的取值范围,x?1使得f(x)＞
1、对数的运算：
1、互化：ab?N?b?logaN 2、恒等：alogaN?N 3、换底：
logab?
logcb logca
推论1 logab?
1 logba
推论2 logab?logbc?logac
nn
log?logab(m?0) mb 推论3 a
m
M4、logaMN?logaM?logaN log?log?aaM
N
laNog
5、logaMn?n?logaM
2对数函数：
【基础过关】
类型一：对数的基本运算
此类习题应牢记对数函数的基本运算法则，注意
1常用对数：将以10为底的对数叫常用对数，记为lgN ○
2自然对数：以e=2.71828?为底的对数叫自然对数，记为lnN
○
1、若loga2?m,loga3?n,则a3m?2n?_________ 2、若a?1且0?b?1，则不等式a
logb(x?3)
1的解集为________
11
3、已知3a?5b?A,且??2，则A的值是________
ab
4、已知3a?2，那么log38?2log36用a表示是…………………………( ) A、a?2 B、5a?2 C、3a?(1?a)2 D、 3a?a2 【能力提升】
类型三：对数函数的定义域与解析式
注意复合函数的定义域的求法，形如y?f?g(x)?的复合函数可分解为基本初等函数
y?f(u),u?g(x)，分别确定这两个函数的定义域。
y1、函数____________
5
f(log3(x?))?2x?2
22、已知，则f(0)=___________
6
3、已知f(x)?log2x，那么f(8)=____________
类型四：对数函数的值域
注意复合函数的值域的求法，形如y?f?g(x)?的复合函数可分解为基本初等函数
y?f(u),u?g(x)，分别确定这两个函数的定义域和值域。
y?log1(x2?6x?17)
1. 函数
2
的值域是________
1
f(x)?logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为2，则
2. 设a?1，函数
a=___________
x
f(x)?a?loga(x?1)在[0,1]上最大值和最小值之和为a，则a的值为
3. 函数
_______________
类型五：对数函数的单调性、奇偶性
21、函数的单调递增区间是_______ ; 函数的递增
区间是_______________
2、下列各函数中在（0，1）上为增函数的是……………………………………………( )
y?lgx
y?log1(x2?3x?2)
y?log1(x?1)
A.
2
B.
y?log2
C.
y?log3
1y?log1(x2?4x?3)x D.3
2?
y?lg??1?
1?x?的图像关于………………………………………………………( ) 3、函数
A、x轴对称 B、y轴对称 C、原点对称 D、直线y?x对称 4
、函数
f(x)?lg
x
是 （奇、偶）函数。
10x?10?xf(x)?x
10?10?x，判断f(x)的奇偶性和单调性。 5、已知函数
类型六：对数中的不等关系
比较同底数的两个对数值的大小；比较两个同真数的对数值的大小
1、设a?log0.70.8b?log20.9c?log45，则a,b,c的大小关系是_______
2
a?lge,b?(lge),c?a,b,c的大小关系是_______ 2
、设
3、如果4、如果
log
3
1m5，那么m的取值范围是______
loga3?logb3?0，那么a,b的关系是…………………………………………( )
A. 0?a?b?1 B. 1?a?b C. 0?b?a?1 D. 1?b?a
2log(x?1)?loga(2x?4)?0，则不等式解集为_______ a5、已知
6、若
f(x)?logax在[2,??)上恒有f(x)?1，则实数a的取值范围是________
类型七：其它题型（奇偶性，对数方程，抽象函数）
2f(x)?lg(?a)
1?x1、设是奇函数，则使f(x)?0的x的取值范围是________
2
2、已知集合
其中c= ______.
A??xlogx?2?,B?(??,a)
x
，若A?B则实数a的取值范围是(c,??)，
3、若
x1
满足2x+2=5,
x2
满足2x+2log2(x?1)=5,
x1x2
+
＝………………………( )
57
A.2 B.3 C. 2 D.4
一、幂函数图象的作法：
根据幂函数y?x的定义域、奇偶性，先作出其在第一象限的图象，再根据其奇偶性作出其他象限的图形.如果幂函数的解析式为y?x或y?x
nm
nm
k
（m、n?N，m?2，m、
n互质）的形式，先化为y?xn，或y?
1
x
n
的形式，再确定函数的定义域、奇偶性、
单调性等性质，从而能比较准确地作出幂函数的图象. 二、幂函数图象的类型：（共有11种情况）
三、幂函数图象特征：
（1）当k?0时，在第一象限内，函数单调递减，图象为凹的曲线；
（2）当k?0时，图象是一条不包括点（0，1）的直线；
（3）当0?k?1时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凸的曲线； （4）当k?1时，图象是一、三象限的角平分线；
（5）当k?1时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凹的曲线. （6）幂函数图象不经过第四象限；
（7）当k?0时，幂函数y?xk的图象一定经过点（0，0）和点（1（8）如果幂函数y?xk的图象与坐标轴没有交点，则k?0；
nm
（9）如果幂函数
y?x
(?1)p
（m、n、p都是正整数，且m、n互质）的图象不经过
第三象限，则p可取任意正整数，m、n中一个为奇数，另一个为偶数. 四、幂函数典型问题： 1．概念问题：
【例1】1．已知幂函数，当
时为减函数，则幂
函数__________．
【变式】当m为何值时，幂函数y=(m2-5m+6)和(1，1).
2．定义域问题：
12
35
的图象同时通过点(0，0)
【例2】函数y?x?x
(x?2)0的定义域为
【例5】利用函数的图象确定不等式的解集：
（1） 不等式x?2(x?1)的解集为3
1
3（2） 不等式x?x的解集为说明：先在同一坐标系中作出不等式两边函数的图象，并确定交点的坐标，从而能较容易地写出不等式的解集
5．函数图象的平移、对称、翻折变换问题：
说明：很多较复杂函数的图象，都是通过将下列函数的图象经过平移、对称、翻折变换而得到 4
y?11kk；y??；y?(k?0,k?1)；y??(k?0,k?1) xxxx
【例6】作出下列函数的大致图象，并结合图象写出函数的值域、奇偶性和单调区间.
（1）y?x?2x?1 （2）y? x?12?x
42x?1，x?(??,1)?[2,5) （4）y?，x?[0,??) x?1x?1
1（3）y??1（5）y? （6）y?(x?2)3 1?x
【例7】已知幂函数y?f(x)是偶函数，且在区间(0,??)上单调递增，若f(a2?1)?f(2a2?a?1)，则实数a的取值范围是 .
6.比较幂函数值大小
【例8】．比较 ，的大小. ，
【例9】．已知幂函数，
，
，
在第一象限内的图象分别是C1，C2，C3，C4，(如图)，则n1，n2，n3，n4，0，1的大小关系
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