[摘 要] 数学思想是数学教学的灵魂，但在当前小学课堂教学中既没有引起足够的重视，也没有得到仔细挖掘和充分运用。分析发现，小学数学教材中蕴含着丰富的数学思想，这些数学思想对知识统领、知识贯通、知识创生、方法活化、学科汇通和学习增效都有着不可或缺的作用。认识数学思想、解读数学思想、运用数学思想应成为小学数学教学中的一道风景。对于数学思想的应用可以通过收集整理、合理呈现、多重渗透、编制课程等多重模式来实现。
[关键词] 小学数学；课堂教学；数学思想
什么知识最有价值？这是斯宾塞在1859年提出的一个具有划时代意义的问题。随即，他利用演绎法析出了五个领域的知识。回溯课程发展史可知，斯宾塞问题的最大意义在于推动了学科的发展，是学科发展的导航灯和助推器，正是在此导航灯和助推器的指引推动下，学科发展日新月异，至今已经产生了13个学科门类，100多个一级学科，400多个二级学科。今天重提斯宾塞问题是否会得到原先的结论呢？从时代需要的眼光来看，今天的人们已经不再满足于把保全自身、抚育子女、休闲娱乐等内容作为最有价值的知识了，因为人们学习和发展的核心旨趣已经转移到如何更快更好地获取知识及创造知识上了。对于获取和创造知识的问题，最受推崇的方法是与斯宾塞思维方法相反的归纳法。利用归纳法时会发现，具有一定抽象性和统整性的思想性知识价值更大，更具有启发性和延展性，更具有普遍意义，能够以一驭多、融会贯通多科知识，是活跃在多个学科领域中的灵魂知识。也正因为如此，学科思想在20世纪后半叶被教育界普遍重视，强调学科思想性也成为指导教学工作的第一原则(科学性和思想性相统一的原则)。[1]
对于数学教学来说，学者们历来对数学思想都比较重视。李大潜院士指出：“数学的核心价值不是定理和公式，而是数学思想与数学精神，掌握了数学的思想方法和精神实质，就可以由不多的公式演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力。”[2]日本数学教育家米山国藏也指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学精神、思想、研究方法、推理方法等却随时随地发生作用，终身受益。”[3]故而，刘云章教授断言：“不讲数学思想方法的课不是好课。”[4]如此看来，学者们都把数学思想当做数学教学的内在灵魂。与之呼应，新一轮的课程改革也明确提出“帮助学生学会基本的数学思想方法”要作为数学教学的基本目标。[5]但是，在现实场景中，小学数学教师在数学教学中对数学思想的传授又是如何呢？
图1 苏教版小学《数学》五年级(下)“解决问题的策略”内容截图
图1是笔者参与的某市小学数学优质课竞赛中的一个截图，是一节课的学习重点。但是，让笔者颇为诧异的是，参与比赛的五位教师(“同课异构”模式)都没有把这个知识点讲透。他们仅是在方法层面上对“转化法”做了说明，并且都仅仅介绍了如图所示的一种转化模式。这样的教学状况是存在较大“疏漏的”：第一，都没有把本应是“知识总结与提升模块”(“解决问题的策略”)的知识提高到思想高度；第二，都不约而同地“疏忽”了“变形思想”(上面两图在转化时都有多种变化模式)和“区间思想”(两图在转化时，其切割线的位置不是固定的，是可以在某个区间中自由“运动”的)。引入这两种思想不仅能够提升学生数学素养层次，增加数学思想的厚度和灵活性，而且如此传授知识更具有启发意义，能够使学生的思维眼界开阔起来，思维路径畅通起来，思维模式活泼起来。换言之，这两种数学思想比“转化法”(“转化法”是“转化思想”的下属知识)更精妙，更具有价值和发展意义。
在答辩环节，笔者问到了本节课的数学思想问题，五位教师有四位回答了“转化法”，一位回答了“转化思想”。笔者又问，基本的数学思想有哪些？几位教师想到了“数形结合”“对应思想”“转化思想”等三四种思想，其他思想就比较迷茫了。当时，笔者围绕数学思想与邻座一位市教研员进行了简单交流，他的话很耐人寻味：“追求课堂的生态，追求学生的互动，追求学生的‘自主’是当下教学改革的重点，也是教师教学着眼的方向。对于教学思想，教材中也有，这并不是大家关注的重点，讲多了容易增加学生的负担。”这位教研员的话，既让我诧异，也让我心忧。诧异的是“生态、互动和自主”应是数学教学的核心旨趣吗？传授数学思想就是增加学生负担吗？心忧的是如此认识水平如何去指导学生提高数学素养和数学能力！经过一段时间的评课及与多位学者进行沟通之后，笔者产生了这样一个认识：许多中小学数学教师缺乏数学思想方面的素养，他们不但对数学思想的价值理解认识不到位，而且所掌握的数学思想也很有限。为验证如此结论，笔者又在随后参与的几次省级(多个省份)中小学骨干教师培训班中进行了试探性问询，结果屡屡让人失望，只有个别教师能说出五种以上的数学思想，但也不超过八种，大部分教师的表现都难以让人满意。调查分析也表明，数学思想方法层面是教师们最薄弱的环节。[6]寻诸文献发现，数学思想在数学课堂中正逐渐走向边缘化。[7]如此一再说明，数学思想在一些地方的课堂教学中正逐渐式微。
小学数学中的数学思想真的就那三五种吗？为验证“大家”的“共识”(一些教师和教研员)，笔者以苏教版小学三年级数学教材为例，对其中比较明显的也比较重要的数学思想，分页码、分章节地进行了分析和总结(如表1、表2所示)。
经过解构分析发现，仅小学三年级数学教材中就包含了16种比较明显的数学思想，这还不包括藏身隐蔽的类比思想、运动思想、集合思想、守恒思想、函数思想、假设思想、迭代思想等10余种思想。如此看来，小学数学中的数学思想并不只是三五种，而是有着20多种较明显且意义重要的数学思想。
表1 苏教版小学《数学》三年级数学思想总结
思想名称上册页码下册页码转化思想(化归思想)1,21,23,30,39,40,43,9812,13,14,20,21,22,23,24,25,27,41,51,52,53,54,55,56,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,87,88,89,104代换思想2,10,26,27,292,3,6,8整体思想3,4,5,7,8,9,35分解思想(分割思想)6,48,49,50,55,64,69,94,96,9776,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,105程序思想11,12,13,14,15,16,17,18,19,22,51,52,53,54,56,57,58,59,60,61,62,63,65,66,67,68,74,76,991,4,5,7,9,34,35,36,37,38,39,40,42,43,92,93推理思想(递推思想)20,25,34,70,71,72,73,75,77,10110,17,57,95模型思想(建模思想)28,36,37,38,78,79,80,81,8226,58,59比较思想31,32,33,95数形结合41,42,44,10229,31,32,33,90,91,94,106,107变换思想(变形思想)45守恒思想46,47可逆思想(逆推思想)73对称思想83,84,85,100对应思想87,88,89,90,91,92,9315,16结构思想28,30统计思想44,45,46,47,48,49,50,96,97,98,99,100,101,102,103,108
表2 苏教版小学《数学》三年级数学思想总结
教材单元名称主要思想应用说明三年级上册一 两、三位数乘一位数程序思想利用程序思想来指导多位数乘法运算二 千克与克比较思想和转化思想对克和千克这些单位进行比较以及相互转化三 长方形和正方形模型思想和数形结合思想在学生脑海中建立各种模型图式,利用数形结合来解决问题四 两三位数除以一位数程序思想利用程序思想来指导除法运算五 解决问题的策略推理思想利用推理思想来解决问题六 平移、旋转和轴对称模型思想和对称思想认识平移和旋转的基本图式,认识对称图式的基本特征七 分数的初步认识(一)分割思想和比较思想把一个整体分割成不同的部分,比较不同分数之间的大小八 期末复习多种思想总结并灵活运用该学期的各种思想三年级下册一 两位数乘两位数程序思想和代换思想利用程序思想来指导多位数乘法运算,把复杂算式用简单算式来代换二 千米和吨转化思想米和千米、千克和吨之间的数量转化三 解决问题的策略数形结合利用数形结合来强化认知图示,并解决问题四 混合运算程序思想利用程序思想来指导混合运算五 年、月、日统计思想和分类思想对数据进行分类统计六 长方形和正方形的面积化归思想把不规则图形划归为规则图形,利用公式计算周长和面积七 分数的基本认识(二)分割思想把整体按照要求分割成不同的部分八 小数的初步认识转化思想把小数转化成整数或分数来解决问题九 数据的收集和整理(二)统计思想对数据进行分类统计十 期末复习多种思想总结并灵活运用该学期的各种思想
众所周知，教学的意义除了是给学生传授必要的学科知识之外，更重要的是锻炼学生的思维、完善学生的思想。而传授学科思想是锻炼学生思维、完善学生思想最便捷和最有效的手段，且只有传授完善的学科思想，才能保证学生形成较为完善的个人思想，而学科思想的残缺也将导致学生思想的残缺。
数学思想十分重要，仅就教学活动来说就起着六种不可替代的作用。一是知识统领作用。知识是永远学不完的，在当今信息时代，每天创造出来的知识比过去几十年都多。数学习题也是做不完的，仅靠“刷题”去学习数学是一种“高能耗、低效益”的学习方法。数学思想具有统领作用，只要教师站在思想的高度把一种问题讲透，学生借助思想这个有力武器把一种问题吃透，就可以掌握一个问题域，以一驭多，以少量的练习领会与之相关的大量知识。例如，数列问题就是利用推理思想找到了通项公式，然后化繁为简，触类旁通。二是知识贯通作用。知识是学不完的，快速驾驭和掌握这些知识要靠思想。思想也是知识，但其是高阶知识，是经过抽象提炼后的精华知识，具有贯通相关数学知识的超强作用。贯通的第一步是形成良好的数感和数觉，第二步是融汇多个知识模块(数域)，第三步是整合多个知识板块(数系)。例如，乘法口诀就是古人对乘法运算经过归纳之后的思想体现(归纳思想)，所有的二项式系数都可以运用杨辉三角来演绎(演绎思想)；再如，数形结合思想就是衔接代数和几何这两大板块的直通桥梁。三是知识创生作用。知识学习的意义不仅在于掌握，更在于升华和创生。知识创生的路径往往不是直线前进的，而是思想引导下的灵感顿生。也即，在知识创生的过程中，思想的激发、催化不可或缺。换言之，思想是创生的高台，只有“跳出庐山看庐山”，才能把庐山看清楚，若一直在简单知识的泥沼中游弋，只能是坐井观天。例如，高斯算法的快速获得，就是其掌握了等差级数的对称性特点(对称思维)，然后快速得到答案。四是方法活化作用。方法是工具性知识，从层次上看，是处于一般知识和高阶知识(思想)之间的知识。学习方法的重要性众人皆知，但是掌握学习方法的诀窍却非人所共知。如果靠从一般知识中归纳提取方法，那要比从高阶知识中演绎析出方法要增加多倍的工作量。换言之，若从思想高度来获得学习方法将会事半功倍；并且，有的数学思想本身就“自备”了多种方法，只要掌握了思想，那么其蕴含的方法就会破茧而出。例如，代换思想就涵盖了替换法、换元法、消元法等多种方法，从思想的高地去掌握这些方法将会更加快速、便捷。五是学科汇通作用。冠之以“数学思想”是侧重于数学视角来说的，其实所有学科的思想是相通的，所有的数学思想都可以运用到其他学科当中，只不过表述方法不同，知识结构有异而已。学科的划分只是对世间万物在视角和领域上做了细致划分，是为了把思想表述得更精确、更具体而产生的，但是它们的运行机理、变化规律在本质上是一致的。如此机理和规律就是思想，它们是联系不同学科的纽带，是学科相谐相生的血脉。例如，对称思想既可以用在数学中，还可以用在物理、化学和生物之中，甚至经济学、政治学、文化学和社会学领域也是其驰骋疆域。因此谷超豪院士曾言：“数学最令人兴奋之处就在于可以用它来解说或解答各门学科中的重要问题。”[8]六是学习增效作用。如果说方法是学习的重要工具，那么思想就是学习中更高级、更重要的工具，它对学生在智力和非智力两方面都起着有力的推动作用。从智力因素来看，相对于一般知识和方法，思想更凝练、更简约、更到位、更透彻，便于学生理解和记忆，也更能激发学生思维，启发学生想象；从非智力因素来看，思想具有引领性、愿景性、统括性特征，更能开启学习心智，激活学习动机，激发探究兴趣，激起成就愿望，如此能够让学生以更积极的心态、更宽阔的视野、更兴奋的动力去学习。二者结合，能够使学习更加清晰、准确、快速，从而提升学习效能。给学生传授数学思想绝不是给学生堆积了一座山(增加学生学习负担)，而是给学生打开了一扇门。把数学思想和数学知识充分融合的教学形态乃是数学教学的基本旨归。[9]
反过来说，如果教师在教学时，对学科思想不重视，或是思想表达不到位，那么所产生的思想漏洞不是简单地靠多教基本知识、多搞互动活动和多做补充作业就能弥补的。在很大程度上可以说，醉心于“灌输化”“娱乐化”和“表演化”等舍本逐末式的数学教育是一种“半教育”。因为“隐藏”学科思想往往导致学生思想的萎缩，这样舞台化、平面化的教学只会使学生变得“有”知识而无思想，或者少方法又乏思想(思想的短板是学生学习困难的重要原因，学生多元思维的形成是建立在扎实思想基础和良好思维习惯之上的)，继而发展起来的世界观、人生观和价值观也将是残缺和浅薄的。
1.收集整理
教师是教学的领头羊，是开展教学的第一原动力。所以，收集整理数学思想工作要成为教师的重要工作。对于收集工作，有经验的教师可以直接通过分析教材来获得数学思想，若要避免“疏漏”，则可以通过查阅教材、文献阅读、网络查询、求助同事、请教专家等方式获得。[10]为了更好地获得，在多积累、多实践、多反思和多内化的同时还要多参与、多观摩、多聆听、多请教和多拜访名家。整理的过程是对收集来的资料进行加工的过程，有的资料比较粗糙，需要仔细地打磨；有的资料是其他学段的(中学的或大学的)，需要良好地接地；有的资料存在漏洞，需要进一步地分析论证。
2.合理呈现
思想是抽象的，越是抽象的思想越要以形象的形式传授给学生，特别是对于逻辑思维能力还不健全的小学生来说尤为重要。笔者认为，“小贴士”形式和“地图”形式是两种比较好的展示形式。“小贴士”形式是总结各章节的数学思想，并以与练习结合的形式呈现出来，让学生通过做练习来品味数学思想(教师先介绍数学思想)，并把用数学思想分析、解决问题作为一种学习习惯。“小贴士”可以根据学生的年龄特点编制成口诀式、诗歌式、短文式等多种形式。“地图”的形式就是把多种数学思想绘制成“知识地图”，如此类似于地理中的国家地图、化学中的化学元素周期表、历史中的历史朝代顺序表一样。绘制“数学思想地图”可以借助思维导图这个有力工具来绘制，也可以动员学生来演练，既可以绘制成地图形式，也可以绘制成植物模型图、动物模型图、卡通模型图，甚至人物肖像图。
3.多重渗透
数学思想是高阶知识，仅靠图示、图片的展示来表达还是不够的，而课堂动态形式的渗透、学生参与模式的融入是更重要的传授形式。学生对于数学思想的学习不能停留在简单的欣赏和练习层面，而应提升到参与和扮演层面(这与学生的年龄特征和接受能力密切相关)。并且，数学思想的特色呈现、特色活动的设计展现可以作为数学教师特色课程、特色教学的重要形式。这种特色教学可以设计成头脑风暴形式——教师抛出一个问题，学生或独立思考，或小组合作，总之学生通过思考、研讨、辩论等多种形式来解答问题、内化思想。当然，还可以做成“每天一个思想家”的形式——教师协助一名学生完成一种数学思想的整理，学生在课堂某个时段展示出来，这样日积月累，聚沙成塔。还可做成“专题活动”的形式，利用一节课的时间来组织数学思想话剧活动，让班级多名学生来扮演数学思想(或是每个学习小组选派一名代表)，这种拟人化的手法既充满童趣，又具有启发、昭引作用，同时还让抽象、枯燥的数学课堂充满富有生命色彩。坚持不懈，百炼成钢，日积月累将会成为教师特色教学中的重要抓手。
4.课程编制
特色化教学和特色化课程之所以是教学改革的重点，是因为其顺应了教育发展的生命逻辑，因为特色化是形式教育的主要组成(相对于实质教育)，而走特色化的道路，大到国家层面，小至个体层面，都是事物发展的重要选择(无特色的发展是不可持续的发展)。对于教师来说，走特色化的发展道路，除了打造特色课堂之外，一个与之携手并进的形式就是编制特色课程。着眼当下，国内外以数学思想为主题的特色课程编制还处于起步阶段，谁能抢占如此高地，就具有更多的发言权，也会获得更多的发展空间和发展领地。况且，编制特色课程是打造特色课堂的基础，没有特色课程的支持，任何特色课堂只能是空中楼阁。数学思想特色课程的编制可以借鉴教材的编制模式，即把小学数学教材的知识模块重整，重新构建板块架构、逻辑层次和知识顺序。可以按照形象思维、抽象思维和直觉思维的层次逐层深入，也可以按照抽象、推理和模型的板块来逐步梳理。当然，简便的方式就是把数学思想融入原有的知识结构体系，使之丰满充实。
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