“取对数”在高中数学解题中的应用探析

江苏邳州市明德实验学校(221300)

庄梓印

[摘 要]对数据“取对数”可以将乘方运算转化为乘法运算，将乘法运算转化为加法运算.恰当运用“取对数”，利用等价转化构造函数，利用函数的单调性解题，可以达到化难为易、化生为熟的目的.

[关键词]取对数;高中数学;解题;应用

在高中的函数、数列、不等式学习过程中，“取对数”可以将乘方运算转化为乘法运算，将乘法运算转化为加法运算.恰当运用“取对数”，利用等价转化可以达到化难为易、化生为熟的目的.本文浅谈“取对数”在高中数学解题中的应用.

一、“取对数”在数列中的应用

【例1】 已知等比数列{an}满足：an>0,n=1,2…且a5·a2n-5=2n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=_________.

分析:各项均为正数的等比数列{an}，设它的公比为q，对各项“取对数”可以得log2an+1-log2an=log2

=log2q(为常数)，可以判断{log2an}为等差数列.

解：设{an}公比为q，an>0，log2a2n+1-log2a2n-1=log2

=log2q2为常数，所以{log2a2n-1}为等差数列.又由等比数列的性质可得a1·a2n-1=a5·a2n-5=22n，从而得到原式=

=

=

=n2.

【例2】 已知数列{an}满足

则an=_________.

分析:若由此求an，烦琐且容易出错.可以两边同时“取对数”得lgan+1=3lgan，可以得等比数列{lgan}，再利用等比数列知识就很容易解决问题.

解：由

得lgan+1=3lgan，且lga1=lg2，所以{lgan}是以lg2为首项，以3为公比的等比数列，得lgan=3n-1lg2=lg23n-1，an=23n-1.

二、“取对数”在不等式证明中的应用

【例3】 比较

的大小.

此题比较容易解决，比较a6=8与b6=9的大小，a10=32与c10=25的大小，就可以确定三者的大小关系.在这个问题学习中我们可以进行拓展变换，寻找解决问题的一般方法.

例3拓展 求证：nn+1>(n+1)n,(n≥3).

如能顺利解决这个问题，例3就成了该题的特例，尝试用数学归纳法可以证明，但比较烦琐.若在不等式两边同时“取对数”，发现要证明nn+1>(n+1)n，只要证lnnn+1>ln(n+1)n，只要证

>

，只要构造函数f(x)=

，利用函数的单调性证明该问题即可.

证明：设f(x)=

，求导f′(x)=

，可知f(x)在(0,e)单调递增，在(e,+∞)单调递减.因为n≥3，所以

≥

，(n+1)lnn≥nln(n+1)，lnnn+1>ln(n+1)n，从而得出结论nn+1>(n+1)n,(n≥3).

三、“取对数”在函数零点判断中的应用

【例4】 函数f(x)=ax-logax有2个不同的零点，则实数a的取值范围是_________.

首先将函数的零点个数问题转化为方程ax-logax=0的根的个数问题，进而转化为函数y=ax与y=logax图像交点个数问题.画出草图，我们可以看出当0a<>y=ax与y=logax图像只有一个交点，不符合题意.因此只要研究a>1的情况.数学必修1中有：函数y=ax与y=logax互为反函数，图像关于直线y=x对称.于是判断y=ax与y=logax图像的交点必然在直线y=x上.这样就将函数y=ax与y=logax图像交点个数问题又转化为函数y=ax与y=x图像交点个数问题.问题等价转化为ax=x(a>1,x>0)有2个不同的实根，方程两边同时“取自然对数”，又将问题转化为xlna=lnx在(0,+∞)有2个实根，利用参变量分离得到lna=

，再次将问题转化为直线y=lna与函数y=

的图像的交点问题，画出y=

的图像，容易得到y=

的最大值为

，直线y=lna与函数y=

的图像有2个交点.因此0<>a

，得到

例4拓展 函数f(x)=ax-x2(a>1)有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_________.

利用上面所学方法分析得由函数y=ax(a>1)与y=x2图像在区间(-∞,0)上必有一个交点，知函数在区间(+∞,0)上必有一个零点，问题就转化为函数f(x)=ax-x2(a>1)在区间(0,+∞)上有2个不同的零点，问题转化为方程ax=x2在区间(0,+∞)上有2个不同的解，在方程两边同时“取对数”得lnax=lnx2在区间(0,+∞)有2个不同的实根，参变量分离得到

=

，所以0

，得到

(指导教师：明德实验学校 庄元奋)

(责任编辑 黄桂坚)

[中图分类号] G633.6

[文献标识码] A

[文章编号] 1674-6058(2017)26-0026-01