由“逐差法”到“中间时刻法”

浙江宁波滨海国际合作学校(315830)

[摘 要]在匀变速直线运动的研究中，教师常常引入“逐差法”，在一定程度上“逐差法”确实有其优越性。教学研究发现，学生对“逐差法”的掌握和应用存在一些不足，故提出“中间时刻法”解决“逐差法”在学生实际应用中的问题。

[关键词]中间时刻法；匀变速；逐差法

美国著名教育心理学家奥苏泊尔认为：影响学习最重要的因素是学生已经知道什么。在组织教学时，教师首先应考虑如何在学生已有知识基础上进行新知识的教学，让新的认识在学生已有认识中得到拓展和顺应。在利用纸带测匀变速直线运动加速度的教学上，通过多年教学实践，发现不少学生对“逐差法”的实际应用存在一些不足，为此，本文提出一种替代方法——“中间时刻法”。

一、“逐差法”的形成原理与不足分析

1.“逐差法”的形成原理

在用匀变速直线运动纸带处理加速度问题的过程中，一般会提到“逐差法”测加速度的方法。如研究匀变速直线运动的一段纸带，记录了下列六组数据(如图1)：

图1

运用匀变速直线运动位移差公式：Δs=s2-s1=s3-s2=…=sn-sn-1=aT 2

a1=

，a2=

，a3=

，a4=

，a5=

加速度平均值为：

=

=

这种求平均方法的缺点是：未充分利用数据，可能带来较大随机性偶然误差。那么怎样才能充分利用数据减少偶然误差呢？当然就是“逐差法”。

其计算原理推导过程如下：

a1=

，a2=

，a3=

，

加速度平均值为

这样计算的优点是：数据全都被利用了，能最大限度地减少随机性偶然误差。当然，前提是这些数据都是精心测定的。

2.“逐差法”在运用中的不足分析

(1)“逐差法”推导过程烦琐，记忆难度大

从上述“逐差法”的推导步骤来看，学生要掌握和应用并不容易，学生多是被动接受相关知识。站在学生的角度思考，“逐差法”的结果要么记忆，要么推导。如果公式仅靠记忆，则会因公式长，而影响记忆效果，另外，当实验数据段数发生变化时，公式中数字系数也发生变化，因而特别难记；如果选择推导，就要耗费较长的时间，而在有限的训练和测试时间内，往往达不到高效解题的目的。因此“逐差法”在学生大量习题训练和考试的实际应用中，常常出现运用不到位，正确率较低等情况。

(2)舍弃原始数据是“逐差法”的一大诟病

逐差法，因为其对称性导致运算只能分析偶数段数据。若测量的线段总段数为五段、七段、九段等奇数段，则用逐差法解决问题时，一般要舍弃一段，再用偶数段进行逐差。可问题是，舍弃哪一段呢？数据能这样舍弃吗？这不是跟物理学科要求严谨、细致，对原始数据保持谨慎态度不相符了吗？

二、“中间时刻法”的原理及其应用

1.“中间时刻法”的原理和本质

将前面的纸带分成两大段，利用匀变速直线运动的平均速度等于中间时刻的瞬时速度有

得出这段时间中间时刻的瞬时速度。由加速度定义式a=

可知，用后一段中间时刻的瞬时速度v2减去前一段中间时刻的瞬时速度v1，除以此过程的时间间隔Δt，得到加速度。

以前面的六段数据的纸带为例：AD时间为3T，中间时刻距A点的时间间隔为1.5T，DG时间为3T，中间时刻F点距A点的时间间隔为4.5T，

vD G中间时刻=

，

vAD中间时刻=

，

a=

=

不难看出，推导出的加速度与“逐差法”并无不同，但“中间时刻法”却显示出很多优越性。

2.“中间时刻法”的优越性

(1)立足学生的基础，推导过程源于定义式

此公式从加速度的公式出发，学生理解起来非常简单，几乎不用记忆，公式的计算结果却与“逐差法”有异曲同工之妙。同时，该方法在应用中立足学生的学习基础，紧紧围绕加速度的定义，学生掌握起来很容易，计算时自然更有信心，故应用和推广显得非常有意义。

(2)“中间时刻法”运算过程具有开放性，有利于培养学生的创造性思维

用这种方法还可以得到很多结果，答案是开放的。如，将B点的速度作为初速度，E点的速度作为末速度，可以求得:

a=

=

=

纵观近几年高考试题和各地市的模拟题，在纸带类测加速度问题上，往往只给出唯一的答案，其实这对学生探究思维和创造力的发展是不利的。

(3)不舍弃原始数据，有利于培养学生科学、严谨的态度

若出现奇数段数据，“逐差法”选择舍弃一组数据，而利用“中间时刻法”则可以不舍弃任何数据。

【例1】 如图2所示，在研究匀变速直线运动中，实验中某同学测定了五段数据，已知打点计时器的周期为T，请根据实验数据求出加速度。

图2

vO C中间时刻=

，vD=

a=

=

=

可以看出，所有数据均得到充分利用，无须纠结于哪段数据的取舍，最大限度地减少了随机误差。

(4)适用范围广，有效突破问题难点

【例2】 在匀变速直线运动中，某同学记录下纸带上的几个点(如图3)，测定了AB距离s1和BD距离s2，已知打点计时器的打点周期为T，求加速度a。

图3

“逐差法”在间隔时间不相等的条件下，不适用。

这时，可用“中间时刻法”解题，为此，找出AB的中间时刻距A点时间为0.5T，BD的中间时刻C距A点时间为2T，由加速度定义式a=

，

vAB中间时刻=

，vC=

，a=

=

=

，这样，很方便就能求解。

接下来再看几个例子，会发现“中间时刻法”在处理匀变速直线运动问题时确实有不少妙用。

【例3】 一物体做匀加速直线运动，初速度为10 m/s，第3秒内的位移为20 m，求物体的加速度。

常规解法是：设加速度为a，第3秒内的位移为前3秒位移减去前2秒位移。

可求得a=4 m/s2。

用“中间时刻法”法求解。第3秒内的中间时刻是2.5 s瞬间，第3秒内为1秒钟的时间，故v2.5=

=20 m/s,a=

=4(m/s2)，较之常规解法更简洁明了。

【例4】 (2011年安徽高考)一物体做匀加速直线运动，通过一段位移所用的时间为t1，紧接着通过下一段位移所用时间为t2。则物体运动的加速度为( )。

A.

B.

C.

D.

解析：常规解法，设初速度为v0，加速度为a，第一段位移

前两段位移和2Δx=v0(t1+t2)+

a(t1+t2)2联解，由于出现平方项计算，因此解题过程较复杂，需耗费大量时间。

“中间时刻法”，第一个Δx内中间时刻的瞬时速度即平均速度v1=

，第二个Δx内的中间时刻的瞬时速度即平均速度v2=

，则由物体的加速度定义式a=

=

，故A正确，相比常规解法，省时易算，准确性高。

三、“中间时刻法”对教与学的意义

1.抓住本质，突显“以人为本”

“中间时刻法”的教学一方面抓住了加速度定义式，展示了定义式的强大作用；另一方面它不是以知识的传授为中心，而是以学生掌握和应用知识的能力为中心，让学生不光“知道”而且“会用”。

2.大道至简，体现物理美

霍金曾说：“每增加一个数学公式都会让我的读者减半。”物理的学习莫不是如此，一个晦涩难懂的物理公式同样会挫伤学生的积极性，降低学生学习的求知欲。实际教学中，教师应当研究如何把繁杂的知识内容通过合适的载体以一种学生乐意接受的方式呈现出来。