摘 要：在飞轮装配公差设计时，采用蒙特卡洛仿真法进行了模拟计算，并引入“6σ”法则计算公差极限值，得出了更精确的装配公差。使得工艺设计主导了制造过程，改变了传统的设计思维方式，从而降低了成本，为产品设计提供了强有力的技术支撑。
关键词：几何公差；公差设计；蒙特卡洛仿真法
蒙特卡洛仿真法是利用随机数进行统计试验，以求得的统计特征值(如均值、概率等)作为待解问题的数值解。与极值法和概率法相比，蒙特卡洛仿真法适用于装配函数为非线性表达式时，零件参数可以为正态分布或为非正态分布，因此计算精度高且符合实际生产情况，是一种通过随机模拟和统计试验来求解数学、物理和工程技术问题近似解的数值方法。随着现代计算机技术的飞速发展，蒙特卡洛仿真法已经在原子弹工程的科学研究中发挥了极其重要的作用，并正在日益广泛地应用于物理工程的各个方面。
本文采用蒙特卡洛仿真法进行公差设计，将其应用到飞轮产品上具有不同公差设计函数的设计场合，通过与传统极限法对比，验证了蒙特卡洛仿真法在提高装配精度和降低加工成本方面的优越性。
传统的公差设计是单纯的尺寸精度公差，而很少考虑到几何公差，这样得到的公差是有误差的，已经不能满足机械设计、制造和检测的要求[1]。
1.1 按独立原则设计的零件要素
独立原则是尺寸公差和几何公差相互关系遵循的基本原则，图样上给定的各个尺寸和形状、位置要求都是独立的，应该分别满足各自的要求；因此，在建立尺寸链过程中，除了将零件尺寸公差计入尺寸链外，还应将相应的几何公差作为尺寸链的组成环计入。
1.2 几何公差环性质的确定
当零件要素按独立原则设计时，在画尺寸链图的过程中，对于几何公差上、下偏差是对称分布的环(如对称度、同轴度等)，无论将其定为增环还是减环，其对封闭环的影响是相同的，因此，在公差分析过程中，它们的尺寸表示为0±T/2(其中T为封闭环公差)；对于几何公差上、下偏差是非对称分布的环(如平行度、平面度和垂直度等)，在进行公差分析过程中，将其设为减环,它们的尺寸表示为
蒙特卡洛仿真法公差设计的步骤[2]如下：1)明确各组成环尺寸的分布规律；2)根据计算精度要求确定随机模拟次数N；3)根据各组成环尺寸的分布规律和分布范围，分别对其进行随机抽样，从而得到一组组成环尺寸的随机数(A1，A2，…，An)；4)将随机抽样得到的一组各组成环尺寸的随机数(A1，A2，…，An)代入尺寸链方程，计算封闭环尺寸A0，得到该尺寸的一个子样；5)将上述步骤3)、4)重复N次，即可得到封闭环尺寸的N个子样，构成一个样本；6)对所得到的封闭环尺寸样本进行统计处理，从而确定封闭环尺寸的平均值、极限值和公差等。
3.1 确定飞轮装配尺寸分布规律
以飞轮主体结构装配为例，飞轮主体结构装配示意图如图1所示，考虑几何公差的尺寸链图如图2所示。可见，轴向装配尺寸链由A1、A2、A3和A4等4个组成环和1个封闭环A0构成。
图1 飞轮主体结构装配示意图
图2 飞轮主体结构装配尺寸链图
若A0公差设计的太小，则装配失败；反之，则使真空罩尺寸偏大，增加零件加工成本，并影响飞轮产品性能。因此，应确定一个合理的公差值。
不考虑几何公差影响，该轴向尺寸链公差设计函数的表达式为：
A0=A1-(A2+A3+A4)
(1)
式中，A0是封闭环尺寸；A1、A2、A3和A4分别是相应组成环尺寸。
考虑几何公差影响，该轴向尺寸链公差设计函数的表达式为：
A0=A1-(A2+A3+A4+e1+e2+e3)
(2)
式中，e1、e2和e3分别是相应装配面的位置度和平面度，属于非对称分布的组成环，根据理论研究，判定其为减环。
3.2 确定封闭环尺寸的平均值、极限值
3.2.1 计算方法
3.2.1.1 正态分布N(μ，σ2)的组成环尺寸(公差)随机数的产生
批量加工生产的零件，其尺寸(公差)服从正态分布，则尺寸公差A0、A1、A2、A3、A4服从正态分布[3]。
正态分布N(μ，σ2)的随机数与[0，1]均匀分布的随机数之间可以进行变换，假定在[0，1]上有2个相互独立的组成环尺寸(公差)的随机数R1、R2，则符合标准正态分布N(0，1)组成环尺寸(公差)的随机数RN1、RN2为:
(3)
(4)
相对应的正态分布N(μ，σ2)上的随机数T1、T2为：
(5)
(6)
3.2.1.2 瑞利分布组成环尺寸(公差)随机数的产生
某些几何误差、位置误差的分布应属偏心分布[4]，偏心误差e1、e2、e3分布服从瑞利分布。组成环在[0，1]上的随机数为R，则符合瑞利分布N(0，1)组成环尺寸(公差)的随机数R1为：
(7)
3.2.2 计算过程
3.2.2.1 计算封闭环的公差随机数
分别抽样1 000、10 000和50 000次，由式5～式7，结合Excel软件的自带函数，可产生各种分布的随机数。由式1和式2可算出封闭环的公差随机数A0。封闭环公差随机数分布如图3～图5所示，基于蒙特卡洛仿真法的计算过程见表1～表3。
图3 抽样1 000次的公差随机数的分布图
图4 抽样10 000次的公差随机数的分布图
图5 抽样50 000次的公差随机数的分布图
表1 基于蒙特卡洛仿真法的1 000次抽样公差计算过程
(mm)
NA1A2A3A4e1e2e3A0A0(考虑几何公差)1110.037517.0009277.0187315.539050.0170760.0029110.0054890.4787630.453288…………………………1000109.917516.9499276.9587315.494050.0086140.0012960.0076060.5147610.497244
表2 基于蒙特卡洛仿真法的10 000次抽样公差计算过程 (mm)
NA1A2A3A4e1e2e3A0A0(考虑几何公差)1110.079217.0186677.039615.55470.0125950.0055840.01580.4662410.432262…………………………10000110.027316.9966177.0136615.535250.0123210.0058980.0096390.4818030.453944
表3 基于蒙特卡洛仿真法的50 000次抽样公差计算过程 (mm)
NA1A2A3A4e1e2e3A0A0(考虑几何公差)1109.992916.9819976.9964615.522340.0113550.0041610.0029630.4921250.473646…………………………50000110.026916.9964577.0134715.535110.0187550.0022370.015260.4819160.445664
3.2.2.2 计算封闭环的平均值、标准偏差
平均值是指在批量加工过程中为每个加工件的额定值规定的一个批量平均值，用μ表示。标准偏差是指加工件在加工过程中设定的标准误差值，用σ表示。σ在统计学上是指标准差，标准差主要用于描述各种可能的结果相对于期望值的波动程度。σ的表达式为：
(8)
由表1～表3计算的A0结果，计算出平均值μ和标准偏差值σ(见表4)。
表4 基于蒙特卡洛仿真法的公差计算结果 (mm)
抽样次数均值μ1均值μ(考虑几何公差)标准偏差σ1标准偏差σ(考虑几何公差)装配间隙A0装配间隙A0(考虑几何公差)极限法A0110000.4897680.4673890.0205040.0219380+0.551+0.4280+0.533+0.4016100000.4899140.4674260.0201410.0213240+0.550+0.4290+0.531+0.40350+0.93+0.05500000.4900760.4675080.0201210.0213050+0.550+0.4300+0.531+0.4036
3.2.2.3 确定封闭环尺寸的极限值
6σ表示6倍标准差，就公差分析而言，6σ是用来解决问题和消除偏差的有效工具，采用“6σ”法则，则封闭环尺寸公差T为：
(9)
(10)
由式9和式10计算封闭环尺寸极限值A0max、A0min，结果见表4中第7列的上、下偏差。
3.3 计算结论
由表4可以看出，抽样次数越多，装配间隙的计算结果越精确。抽样次数>10 000次时，计算结果差别不大。1)与极限法相比，蒙特卡洛仿真法计算的装配公差更精确，降低了零件的加工精度要求，可放大组成环公差，节约成本；2)在计算中考虑几何公差，得到的装配公差精度更高。
本文提出了基于蒙特卡洛仿真法的装配公差设计方法，进行了蒙特卡洛仿真在飞轮装配公差设计的实例验证，并引入“6σ”法则计算该公差极限值，得到的公差精度更高，使工艺设计主导了制造过程，改变了传统设计思维方式，从而降低了产品加工成本，提高了设计能力。
参考文献：
[1] 李仲辉,鲁世红. 考虑形位公差的装配公差分析[J]. 机械工程与自动化，2010(3):105-107.
[2] 王太勇,等. 蒙特卡洛仿真法在尺寸及公差设计中的应用[J].农业机械学报,2005,36(5):101-104.
[3] 董银月. 基于蒙特卡洛方法和改进PSO算法的装配公差优化设计[D]. 武汉:华中科技大学,2011.
[4] 刘明霞. 基于瑞利分布的形位误差统计过程控制比较研究[J]. 山东理工大学学报，2008,22(2)：53-56.
责任编辑 郑练
Application of MonteCarlo Method in Assembly Tolerance Design of Flywheel
XIONG Mei, HU Ying
(Shanghai Institute of Spaceflight Control Technology, Shanghai 201109, China)
Abstract：The MonteCarlo simulation method is used to simulate the flywheel assembly tolerance design, and the “6σ” rule is introduced to calculate the tolerance limit v
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