自2000 年起，经济合作与发展组织（OECD）每三年组织一次成员国15岁中学生阅读、数学与科学素养现状的评估测试(PISA)，评估学生已经完成或即将完成义务教育之后，是否掌握能够参与社会所需的知识与技能。2018 年，OECD 发布的《OECD 学习框架2030》指出未来的学生将需要在未知的和不断变化的环境中应用他们的知识。面对这个不确定的、复杂的世界，今天的学生需要掌握什么样的知识、技能、态度和价值观才能塑造和繁荣他们未来要面对的世界？[1]如何在当今的学校数学教学行动中，通过核心素养的培养来体现出教育测评变革的理念，培育满足21世纪技能需求的人才是很多研究者与学科教师一直在探索的问题。
随着教育发展，传统的“授课—作业—考试”的教育样式与学生核心素养的培育要求不相适应，教学方式也需要加以反思和探索。贵州师范大学吕传汉教授针对基础教育领域中学数学教学中存在的应试化现象，结合国际上中学生能力测评变革的背景，于2014 年1 月提出数学教学重在“教思考、教体验、教表达”（简称“三教”）的观点，并在贵州、四川、重庆等省市的中小学教师培训与课堂教学中进行实践，取得了一定的效果。2015 年，又将“三教”推广到语文、英语、物理、化学等其他学科的教学中，其目的：一方面是尝试回应国际数学教育形势变化带来的问题，即数学素养如何从国际的测评走向中国的中小学课堂；另一方面探索用“三教”+“情境与问题”的学科教学模式来促进创新型人才的成长。部分教师在应用“三教”观点指导教学的实践中也产生了一些困惑，如为什么需要“三教”，“三教”与教师专业成长有何关系，如何评价“三教”，民族地区的农村中小学课堂如何实施“三教”等带有反思性的疑问。为回应理念是否符合基础教育“适切性”的问题，针对数学教学中，为什么需要“三教”的疑问，既需要从理论上明析“三教”各个要素的缘起（为什么），又需要结合案例来说明“三教”的现实存在性，为实现数学学科核心素养落地生根提供逻辑支撑。
所谓“三教”是基于创新型人才培养，在学科教学中教学生积极思考、自主体验、善于表达，以此促进学生长见识、悟道理的一种教育理念。“三教”既是一种教育的理念，又是一种培育学生学科核心素养的途径。已有相关研究表明思考、体验、表达等关键的教学行为、策略与学生核心素养的培养具有密切的关系。从数学学科角度来看，教思考，让学生会用数学的眼光观察世界，注重数学抽象和直观想象核心素养的培养。教体验，让学生会用数学的思维分析世界，注重逻辑推理和数学运算核心素养的培养。教表达，让学生会用数学的语言表达世界，注重数学建模和数据分析核心素养的培养。作为理念，“三教”指明了数学课堂教学设计重点突出的方向；作为行动的途径，“三教”的课堂特征概括为：通过“情境激趣，恰当应用学习情境激活学生学习兴趣；问题驱动，引导学生在情境中发现问题、提出问题；积淀体验，解决问题的探究中获取知识学习体验；深化思考，引导学生在交流表达中深化学习思考”等四个环节来实施教学，达成学生数学素养培育的目的。
1.为什么需要“教思考”
思考，是思维的一种探索活动，源于主体对意向信息的加工。《论语》中有“学而不思则罔”，凸显学习中思考的重要性。
数学思考是人类的理性思维形式之一。美国数学史家、数学教育家M·克莱因曾说：“为力图改善我们的物质生活，我们被迫扩展关于外部世界的知识。这样我们必然将感官用到极限。不幸的是，对我们来说，感官不仅是有限的而且具有欺骗性。只相信感官甚至可导致灾难。”[2]因为人的感觉器官和大脑的复杂性，导致感官容易出现错觉；而“至于直觉，实际上是经验、感官印象和粗略猜想的结合，至多能说是浓缩的经验，直觉只是根植于心理惰性的习惯力量”[3]。为避免错误的感觉与直觉，人们在面对新事物、新问题、新现象时，需要持有一种批判性的精神，综合归纳、类比推理、质疑反思，从而获得对事物与规律的理性认识。所以，数学思考是人类十分重要的理性思维。恩格斯指出，数学是人类悟性的自由创造物。因此，数学的创造本性赋予了数学教育重在培育学生创新意识，而创新意识的培养又贵在教思考。
数学学习与思考是密切相关的。苏霍姆林斯基认为：“如果你想教你的‘头脑迟钝’的学生学会思考，那就请你把他们领到思维的源泉那儿去，那里会展示出现象的链条，一事物的结果成为另一事物的原因。在各种现象的链条中，要一个接一个地进行发现，好比在儿童面前点燃起思考的火花，它们会刺激思维过程活跃起来”[4]。只要用数学思考来点燃这种火花，儿童就想知道更多的数学知识，就想更深入地思考新的数学现象。日本数学教育家米山国藏认为，“在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益。”数学的精神、思维、方法和思想的获得，无疑都与数学的思考活动是密切联系的。
从课程标准呈现的目标来看，对数学思考也提出了明确的要求。国内的《义务教育数学课程标准（2011 年版）》将“数学思考”列为数学课程四大目标之一。学生通过学习“会独立思考问题，表达自己的想法”，同时要求教师“引导学生独立思考、主动探究、合作交流”。《普通高中数学课程标准（2017 年版）》的课程目标也提出“通过高中数学课程的学习，学生能够树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神”。数学的思考性是数学的灵魂。数学的抽象、建模、推理、计算、统计等都离不开思考[5]。在平时的教学中，数学教师要有意识地引导学生去思考，数学教学，也重在教思考。
2.案例分析
课题：一元微积分
两组患者均采取相应的手术方式进行治疗，观察组和对照组分别配合给予手术室围手术期护理和常规护理，观察组的护理措施如下。
微积分在高中新课程标准中的选修课程部分出现，分布在A类、B类和E类课程，其中B类是供有志于学习经济、社会类和部分理工类学生选择的课程，E 类课程中的大学先修课程也包含微积分内容。对于有志于今后从事社会管理类（如大学的行政管理、思政管理、酒店管理等）的高中生（也包括职高生），如何学习这些选修课程，教师又该如何教学？由于微积分等具体知识很少显而易见地直接用到今后人文社科类的专业课程学习上，教师更应该引导选修这些课程的高中生在数学学习中要敢于思考、学会思考，思考学习内容涉及哪些数学思想、形成何种的数学思维、如何提升思辨的能力，从宏观的视野来考虑数学中的基本思想对今后专业的发展有何启示与帮助。
通过分析我们发现可降水量与比湿的结论较为一致(图7),秋季暴雨时段可降水量最大,且不同暴雨强度的可降水量值并没有明显差别;夏季暴雨时段可降水量较秋季略偏低,且70 mm以上暴雨的可降水量比50～70 mm暴雨的可降水量要略高一些;春季的可降水量最小,且暴雨强度强时,可降水量要更小。不同量级暴雨过程时段可降水量四分位数分析见表7。
事实上，表面看来毫无联系的事物，其实是有深刻的内在联系。比如一元微积分这部分内容，对于选修B 类课程的学生，以后在处理很多涉及管理问题的时候也要借助微积分的思想。比如，国家的法律体系建设、医疗卫生体制改革、精准攻坚扶贫、乡村发展战略等都是具体而复杂的工程。中央层面先对这些工程制定大的框架，进行任务序列的分解，每个部委（地方）再制定一个指导性的解决方案，合起来就得到了整个工程的处理思路，最后针对基层因地制宜实施过程在出现的小问题进行微调，逐渐去接近大家期望的完美结果。这正是数学定积分中“分割取近似，求和取极限”思想在工作中的体现。高中生学习经历这样一个“整体与局部”、“近似与精确”辩证融合，科学认识与数学方法相统一的过程，才有利于理解并将其应用于人文社科领域，这才是学生去选修学习微积分的核心思想和意义所在。
(3) 若 G=Mp(n,m,1)则 G′= 〈c〉,G={aibjck:i=1,2,···,pn;j=1,2,···,pm;k=1,2,···,p},其中c∈ Z(G).设aibjck为G的一个p阶元,则有(aibjck)p=(aibj)pckp=(aibj)p=1,由于
1.为什么需要“教体验”
本文选择以上两家案例地基于以下原因：(1)珠三角地区乡村旅游发展具有代表性；(2)两个案例地处于发展的不同阶段，增城万家旅舍相对成熟，顺德逢简水乡尚不完善，两者相互补充，有利于梳理乡村旅游发展过程中的问题与结构性变化；(3)调研具有可进入性。
体验一词过去常常出现在实践类、艺术课程的学习中。比如艺术家把长期对于生活的感受、观察和思考，来形成艺术创作的基础和前提，乃至触发不可遏制的创作欲望。 依据“体验”的心理学与哲学的释义，所谓“数学体验是主体对其数学活动情境产生的心理感应，从而形成数学的发现、认知和情感”[6]。学习体验，可以理解为学生从经历的学习活动过程中获得的感受、体会、领悟以及由此获得的相关知识、技能、情感与观念等内容有机组合的个性内化经验。为什么对于学生需要“教体验”？
数学学习过程就是一个体验的过程。学习本身就是有机体适应环境的手段，有机体为了生存与适应必须不断地改变自己的行为。要做到学习的有效性，学习主体必须参与学习过程，体验数学知识在创造过程中的萌芽、成长。唯有经历了过程体验的学习者才能从根本上获得持久而有意义的数学知识。大卫·库伯（David Kolb，1984）所开发的体验学习模型，将学习的过程分为具体体验、反思性观察、抽象概念化和主动尝试等四个循环往复的环节[7]。他认为所有这些阶段都是学习必须经历的。世界卫生组织指出，基于体验学习模式的科学学习促进了学生对科学知识的指导，提高了科学观点产生的流畅性和灵活性。“学习者在学校里的学习可以看作是由社会知识向个人知识转化的过程”[8]，要找到社会知识当初所发生的情境或类似情境才可以理解其意义。这就是体验的必要之所在。
教学要为学生的体验学习服务。数学课堂的最高境界是真、善、美，基于审美要求的教学则追求着引导学习者在经验积累的基础上对生命的体验。“因为教育最根本的目的就是培养人不断地领悟世界的意义和人本身存在的意义。体验就是人对生命意义的把握，……体验是以认识为基础，对认识的一种升华和超越。”[9]孙俊三教授认为，在经典的教学理论中,大家将教学理解成一个特殊的认识过程,过分关注教学过程的认知特征（间接性、简捷性和引导性）,而忽视了教学的体验特征（亲历性、过程性和自主性）。荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为，数学是人的一种活动，如同游泳一样，要在游泳中学会游泳，我们必须在做数学中学习数学[10]。因此，教师的教学要为学生提供经历“再创造”数学的体验学习机会。
从数学课程标准来看，国内外都重视数学学习的体验。基于体验的课标理念为联系课堂活动和现实世界提供了指导。《澳大利亚学校数学国家声明书》（Australian Education Council,1990）中提出了学校数学教育的六个培养目标之一便是“培养学生体验数学发展的过程”。中国《义务教育数学课程标准（2011 年版）》提出要让“学生在积极参与教学活动的过程中，通过参与、经历、实践、活动、思考、探索、操作、交流等，逐步积累数学活动经验、感悟数学思想”。而近年国内兴起的STEM 教育理念或者STEAM 理念都强调了，教师要成为课程的组织者与合作者，通过创设问题情境提供具体的载体，鼓励学生大胆质疑、积极实践，形成科学探究的良好品质，在一系列学习体验中学会思考，勇于纠错，不断反思改进，最终形成独创性的研究成果[11]。
2.生动实践了党的群众观。落实以人民为中心的发展理念，拜群众为师，运用基层经验和群众智慧，因地制宜，因人施策，用群众的办法解决群众的问题，才能有效化解矛盾纠纷。如桃花桥社区移民小区通过“听民声、为民用、由民管、贴民意、顺民心”的“五民理念”推动老旧散小区的“居民自主管理”。
2.案例分析
课题：对数函数及其性质（人教版）
从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，且更注重形象思维。由于初中函数教学要求的降低，初中生运算能力的下降，以及高中函数概念的抽象，学生对指数运算、对数运算感觉陌生，这增加了对数函数教学的难度。针对这两方面问题，教师必须认识到，教学中要控制学习难度被人为拔高的情况，关注学习过程。
从教体验的角度，本节课的教学围绕着“对数函数的由来——对数函数的定义——对数函数的图像——对数函数的特征（性质）——对数函数的应用”展开，引导学生经历“为什么学、对数函数是什么、怎么学、图像是什么、有什么用、学得怎么样？”等完整的认知体验与情感交融的过程。具体而言：
休闲之事古已有之。休闲一般是指在非劳动及非工作时间内以各种“玩”的方式求得身心的调节与放松，达到生命保健、体能恢复、身心愉悦目的一种业余生活。因此，休闲有消遣、娱乐和修养身心的涵义。它不仅仅是娱乐，而是与文化水平的提高相辅相成，它具有独特的文化精神底蕴，它是人的生命状态的一种形式。休闲质量的高低将直接影响到社会的全面发展与进步，影响到个人能否全面、健康地发展自己[1]。
（1）函数概念形成的体验，从情境（碳14 含量P 与生物死亡时间t）—提取数学信息—探究P 与t的关系，形成概念，达到初步理解对数函数概念的目标。
（2）函数性质理解的体验，借助数形结合思想、类比指数函数研究的策略，学生经历了“作图—观察—比较—归纳”的数学思维学习的过程，达到初步理解对数函数性质的目标。
本文指标原始数据来源于2002—2016年《新疆统计年鉴》《中国统计年鉴》。个别指标是通过间接计算得出，年份缺失的指标则采用插值法补齐。利用TOPSIS模型分别计算得到2001—2015年新疆产城融合发展水平指数值（见表2）。
（3）对数函数应用的体验，学生在求解定义域、比较对数大小，汇报、争辩、质疑、补充对话的过程中完成求解，体会函数模型思想，达到应用的目标。
1.为什么需要“教表达”
表达是指在个人方面将内心之情感、情绪、意念或观念的意义用语言、文字、符号、行动或艺术作品表现出来。威尔金森（Louise Wilkinson，2018）认为，数学表达既涉及学生使用语言的多种表达方式，如说话、倾听、阅读、书写等，同时又包括使用到的一系列特定的数学词汇，如直径、斜边、垂直等，同时它的语法也比较复杂[12]。表达看似人人都运用自如的基本生存技能，为什么还需要对学生的数学表达进行专门的教学指导？
数学表达是数学交流的前提。弗赖登塔尔(1973)认为数学学习的过程就是要通过数学语言，用它特定的符号、词汇、句法去交流，去认识世界。教师的主要目标是为学生创造有意义的学习情境，然后将其引入数学表达，这些问题情境为学生提供数学化经验和建构数学知识的机会[13]。“学生的数学思考具有内隐性，让学生的思维看得见摸得着的一种重要方法就是数学表达——学生和老师可以积极讨论他们是如何着手处理各种问题的以及为什么这样做，可以帮助课堂上的每个学生理解某一特定的概念或方法”[14]。因此，数学表达是数学和数学教育中非常关键的一部分，通过交流能澄清困惑和分享数学观点。教学活动本身就是一种师生间相互交往交融的过程，交往的前提是参与者要有一定的表达能力。
数学问题解决过程实质是一个数学表达的过程。温特（Heinrich Winter，1995）谈到数学教育应该带来三种基本的普遍经验：了解自然、社会和文化中的本质现象；理解以语言、符号、图形和公式表示的数学对象和关系；提高参与问题解决的能力[15]。数学表达的经验是提高问题解决能力的前提。从数学问题解决过程看，学生首先需要通过阅读来理解有待于解决的问题；其次，需要使用数学表征以及操纵符号表达式（包括一些形式化操作）[16]，才能给出答案，并进行解释。在正式测验中，看似简单的问题情境，在语言理解方面对部分学生来说是具有一定的难度，比如在“计算2+2=?，并给出你使用的方法”这样的题目中，学生不仅需要给出答案，而且还要使用数学表达阐述其完整的思考路径[17]。
从数学课程标准来看，教表达是课程标准的应然要求。因为在问题解决过程中有交流、倾听、争执、协调以及答案的确定，所以处处都需要语言表达。郑毓信教授2004 年就提出将熟练掌握数学语言，帮助学生学会数学地表达、数学地理解（包括批判地倾听）作为数学教育的一个基本目标[18]。美国《学校数学教育的原则与标准》（2000 年）要求K12的学生都能够产生并使用合理的表达方法去组织、记录和交流思想；选择、使用和转换各种数学表达方法解决问题；使用合理的表达方法去模拟和解释物质的、社会的和数学自身的现象。最近几年的美国私立高中联盟在学生综合素质评价模式中，将口头和书面表达等复杂沟通能力作为评价学生学习的八个指标之一[19]。中国澳门2017 年6 月颁布的《高中教育数学基本学力要求》将“培养学生数学表达和交流能力”作为五条核心课程目标之一；中国《义务教育数学课程标准（2011 年版）》要求学生通过数学学习在数感方面能够表述具体情境中的数量关系，在符号意识方面能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律，……理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
2.案例分析
课题：用坐标表示平移（人教版）
用坐标表示平移, 是学生在已经学习了图形的平移（从形的角度理解平移），以及平面直角坐标系（研究的工具）之后，需要学习的新内容（即从数的角度刻画平移）[20]。本节课的教学重点是引导学生发现并归纳图形的平移与坐标变化关系；难点在于让学生结合图形，将自己发现的规律用文字语言来描述，再转化成符号语言，实现三种数学语言表征的灵活转化。
教学设计片断：如图1，已知A（-2 ,-3），根据下列条件，在相应的坐标系中分别画出平移后的点，写出它们的坐标，并观察平移前后点的坐标变化。
图1
（1）将点A 向右平移3 个单位长度，得到点B；将点A向右平移5个单位长度，得到点C；（2）将点A向上平移4 个单位长度,得到点B′；将点A 向上平移5 个单位长度, 得到点C′；（3）将点A 先向上平移3个单位，再向右平移5 个单位长度到点B'；（4）将点A 先向右平移5 个单位长度,再向上平移3 个单位长度到C'，你有什么发现？
财务报销流程可分为核算和结算两大类岗位，核算工作是结算工作的基础，结算工作是核算工作的延续，两者相辅相成，缺一不可。对多数业务而言，报销款项只有转入经办人银行账户才意味着核算工作真正办结。但是，若核算与结算实行分头管理、各司其职，有时会出现工作脱节的情况。
分析：此环节主要是引导学生探究点的坐标变化与点的平移规律。教学过程中注重让学生明确，将哪个点沿着什么方向，平移几个单位后，得到的是哪个点。教学设计时，充分考虑到给学生提供表达与交流的机会。比如，通过动画演示，引导学生发现问题（1）中点的平移引起点的坐标变化的情况；再放手让学生自主探究问题（2）、（3）、（4）并总结规律。在学生探究交流完成后，教师安排部分学生上台表达（包括学习单展示、黑板上画点、口头讲述等形式），其他学生提出质疑。通过生生、师生互相质疑，促进问题再思考，加深体验，深化知识理解，从而突破教学的难点，即“学生能够用文字语言、图形语言、坐标表示三种方式来描述平移现象”。
江西省粮食局有关负责人认为，“粮食银行”是介于金融和实体之间的新型农业产业化模式，跟商业银行一样，存入粮食农民得利息，通过物物兑换也可获利。这种基于农民与经营者之间的相互关系的新生模式，在国家尚未出台相关的法律法规之时，农户把粮食存入，粮食市场的价格波动使之存在一定风险。
教育不是工业流水线下的“快餐”式的知识传授，而是一种慢艺术，是一种期待，一种守望。这是“三教”理念在认识论中的基点，生命观的起点。数学教学要重在“教思考、教体验、教表达”，既是回应教育哲学对人成长的关切，又是回答核心素养如何走进课堂的疑问。无论从理论思辨角度看，“三教”有存在的应然性，还是从教学实践看，“三教”有存在的实然性。
生物类实验室包括生物学、生理学、分子生物学、微生物学、病理学、毒理学、药理学、临床药学、中药药理、药物植物学、生物技术、细胞房、动物房、同位素等实验室，其中生化试剂、有毒有害物质、病原微生物、动物传染病、遗传伤害物质等是安全环保防控点。
课堂教学重在提供给学生思考、体验、表达的机会，创设更多学生能够提问的机会，给予学生充分的表达思考过程与学习体验的时间；指导学生数学思考、表达的策略，才能发展学生的思维，促进学生的表达能力，培育学生的核心素养。
课堂教学要基于学生的思考与体验。教师了解学生的现有思维水平与体验状态越深刻，学生能学习到的知识才会越多！如果教师能潜心研究课堂，每一节课做一点改变与尝试，如从关心学生、减少控制、澄清主题、适当挑战、教学激趣等方面入手，学生学习才有从表层理解走向深层和概念性理解的可能，并成长为复杂世界中情感积极、善于表达、深思熟虑的批判性参与者！▲
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