推理是数学的基本思维方式，也是数学学科的核心素养之一。史宁中教授认为，“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型”[1]。这三个基本数学思想是“让学生学会用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界”的基础和具体体现。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）把“推理能力”作为核心概念之一，确立了推理思想的重要地位。在小学数学教学中所涉及的“推理思想”内容十分丰富，笔者对“推理思想”的内涵与具体体现做了分析梳理，并提出相应的教学策略。
推理是从一个或几个已有的命题得出另一个新命题的思维形式[2]。广义地说，一切数学公式、定理和法则等都是推理的结果。狭义地看，推理是从事实和命题出发，依据规则推出一个命题的思维过程。《课标》指出“推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)和确定的规则(包括运算的定义、法则、顺序等)出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论”[3]。由此可见，合情推理与演绎推理在数学学习中都很重要，不能厚此薄彼。
1.小学数学的合情推理
合情推理包括归纳推理和类比推理。归纳推理是一种从特殊到一般的推理，是一种基于推断的推理。它包括归纳法、简单枚举法、类比法、数据分析法等，通过归纳推理得到的结论是或然的。很多数学结论都是先通过归纳推理得到结论，再以演绎推理加以证明。如费马达定理几百年前就被发现了，到20世纪末才被数学界证明。类比推理，是从特殊到特殊的推理方法，即依据两类事物的相似性，用一类事物的性质去推测另一类事物也具有该性质的推理方法，也叫类比法。
研究表明，体会并逐步掌握合情推理对于培养学生的发现能力和创新意识具有重要意义。如果说归纳更多地依赖于规律的发现，那么类比则更多地依赖于跳跃的联想。
2.小学数学的演绎推理
“能任五棵树镇党委书记，我满怀感恩之心。我当时的想法就是把五棵树镇发展起来，不辜负党组织的信任。”据李青海回忆，他刚任五棵树镇党委书记的几年，一心扑在工作上，能够做到严格自律，拒收贿赂，有人称他是“为理想而奋斗的人”。然而，随着镇经济快速发展，各方面条件改善，李青海飘飘然起来。“我当时错误地认为五棵树镇的发展，完全是自己努力的结果。”
演绎推理是一种由一般到特殊的推理方法[4]。最基本的形式是三段论，它包含大前提、小前提和结论的论证形式。在小学数学教学中，很少涉及数学证明这样严格规范的演绎推理，但演绎推理的思想处处可见。平行四边形面积公式的推导是运用演绎的方式得到的：通过剪拼不难发现拼成后的平行四边形的面积等于长方形的面积，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽，因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高。学生对演绎思想的体悟和感受，不仅有助于建立对数学结论确定性的信念，培养合乎逻辑的表达能力，同时也有助于对数学知识的理解，提高分析和解决问题的能力。
借鉴人教社小学数学编辑室王永春老师在《小学数学与数学思想方法》一书中对推理思想的阐述，笔者对人教版教材的推理思想进一步梳理和归纳。
合情推理在小学数学教学中应用比较广泛。很多运算法则、公式、定律等的推导与应用，都是在列举几个特殊例子的基础上归纳、类比得出的。
1.法则的归纳和类比
二是区域差异的形成原因。既有研究发现:地理环境、制度政策、供给、人文社会等多重因素导致了广东区域经济发展差异。陈淳、肖玲将广东区域经济差距归因于自然条件、政策和社会、产业结构、人口素质、基础设施等差异。[6]陈洪将其归因于包括经济制度、人文因素、地理位置、产业基础、政策、观念、产业价值链低端、技术等多种主观、客观因素长期锁定的综合结果。[7]杨英将其归因于改革开放以来广东利用区位条件和政策优势形成了“单极驱动”的发展模式和相应的空间格局。[8]王少剑等认为全球化、简政放权和固定资产投资是影响广东省区域经济发展的三个核心驱动因素，市场化、城镇化水平和储蓄水平是辅助驱动因素。[9]
整数四则运算的法则，都是通过几个有限的由易到难的例子，让学生在理解算理和口算方法的基础上探索计算方法，最后进行算法的总结，这种法则的得出就是运用归纳法，如多位数乘一位数法则的归纳总结，多位数乘多位数的类比。
2.性质的归纳和类比
商不变的性质、小数的性质、分数的性质、比和比例性质、等式的性质等，都是通过几个例子，让学生进行探索、交流，最后归纳总结而得到的。如商不变的性质，让学生计算并观察一组算式，探索并归纳规律。分数、比的基本性质则是在此基础上的类比。
3.公式的归纳和类比
小学数学的数量关系式与计算公式，主要是图形的周长、面积和体积公式，及比、正比例、反比例、比例尺、百分数等的应用和计算，是在学生探索、交流的基础上归纳得到的，如长方形面积的计算公式推导。而三角形、梯形和圆面积公式推导都是在类比平行四边形面积基础上产生的。
4.定律的归纳和类比
小学生最早学习的运算律是关于整数加法和乘法的运算定律，引导学生通过计算几组算式来猜想并归纳规律，由整数运算定律类比推广到小数、分数运算中。
5.规律的归纳和类比
他以为这样的盛世，会是一千年，一万年，他读书学武，游荡在街巷里，母亲在百花谷迎来送往，打情骂俏，达官贵人、三教九流在他们俩的小世界之外活色生香地活。三个月后，回望过去，我们不在其中，那也不过是一场做得有些长、又太过热烈的绮梦罢了，他们真的由梦里醒来了吗？胡子大叔、秀才哥哥，还有胖婶，你们掉在这个流言里，不愿醒来，是想搬去万花谷里继续做梦吧！
小学数学中的规律主要有图形、数列、算式的规律，乘法和除法的变化规律，排列组合的规律，这些规律的发现主要是通过对一些例子的观察、比较、联想，再提出猜想，这是归纳法的典型应用。
6.平面与立体、数与形的类比等
小学数学教材中涉及类比思想的内容还包括数与形的类比、特殊与一般的类比、平面与立体的类比、有限与无限的类比等。学习立体图形有关知识时，可把立体与平面进行类比。如体积与面积进行类比，面积是求一个平面图形所占平面的大小，即含有多少个单位面积；体积是求一个立体图形所占空间的大小，即含有多少个单位体积，本质上都是用单位1 去度量。面积公式和体积公式的探索、推导过程和方法是类似的。
演绎推理作为数学的一种重要证明方法，在小学数学中虽然没有初中类似于数学证明等严密规范的演绎推理，但是很多结论的推导过程中应用了演绎推理的省略形式。小学生在解题时经常不自觉地运用演绎推理，这时，教师经常问学生“为什么”，训练学生叙述推理的依据，养成推理有据的好习惯。小学数学演绎推理的应用见表1[5]。
表1 小学数学演绎推理的应用
思想方法完全归纳法三段论选言推理假言推理关系推理知识点三角形多边形面积公式体积角的相等三角形外角推理数学思考简易方程应用举例三角形内角和的推导多边形内角和的推导正方形面积公式的推导平行四边形面积公式的推导三角形面积公式的推导梯形面积公式的推导圆面积公式的推导正方体体积公式的推导两条直线相交，对顶角相等（六下数学思考）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（六下数学思考）人教版二下数学广角中的“推理”根据概念、性质等进行判断的一些问题大小比较、恒等变形、等量代换等
《课标》指出“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。……推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。”[6]因此，教师应把握渗透推理思想的基本原则：适时适当、贯穿始终。“适时适当”指在合适的时机做合适的事，数学思想方法该露脸时就露脸，根据需要，对数学思想方法进行提炼、归纳和概括。“贯穿始终”首先指推理思想的渗透应该是一个长期的动态发展过程；其次指推理思想渗透融合在整个教学过程中，落实到“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个领域的内容之中。
例如，平面图形面积计算公式的推导中，推理思想贯穿始终，逐级上升。在“长方形和正方形的面积计算”教学时，作为学习平面图形面积计算的起始课，突出对面积计算的意义理解，建立计算公式与乘法意义的联系，初步体验归纳思想。在推导“平行四边形的面积计算公式”中着重突出“转化（即化归）”思想；在探索“三角形面积”时，通过对三角形分类研究，突出归纳推理；而当学习“梯形面积”时，放手让学生自主探索梯形面积计算公式，自觉运用归纳和类比推理。到学习“圆的面积”时，通过“类比”将圆“转化”为学过的图形，感受化曲为直过程中的类比、极限等思想。并在解决组合图形面积问题时，强化归纳、类比等思想，从而提升对推理思想的认识。
因此，教师应根据学生与教材实际，准确把握教学要求和渗透推理思想的“度”与“量”，进行合理准确的目标定位，做到有意识、有目的地凸现推理思想。
根据《课标》关于“数学思考”分阶段的目标要求，以及不同年龄学生推理能力的发展水平，建构分层次、分阶段的目标体系（参见表2、表3）。
推理思想渗透要求学生自己“悟”，不应强行灌输，这种“悟”只有在亲历数学活动中才能进行。因此，教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比等“做数学”活动探索发现，经历生动直观的数学活动过程，发展合情推理和演绎推理能力。
1.经历合情推理到演绎推理的过程
著名心理学家朱智贤说过：“小学生思维是以形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式。”因此，在小学数学推理教学中，教师既要允许学生“大胆猜测”，又要引导学生“小心求证”，逐步意识到结论的正确性需要演绎推理的确认，从而由合情推理过渡到演绎推理，感悟推理思想。
表2 小学合情推理教学目标
学段第一学段第二学段合情推理教学目标1.在操作、观察等活动中学会进行简单的分析、比较，找到简单事物的共性和差异，提出一些简单的猜想2.知道什么是规律，探索简单情境下的变化规律3.能对事物进行简单的分类4.逐步学会有根据、有条理地思考问题1.在观察、实验、猜想等活动中能够进行分析、比较，找到事物的共性和差异，发展归纳与类比推理能力2.探索给定情境中隐含的规律或变化趋势3.能进行有条理、有根据的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果4.知道通过归纳与类比推理得出的结论的或然性，培养验证或说理的意识，简单解释归纳与类比推理的过程和依据
表3 小学演绎推理教学目标
学段第一学段第二学段演绎推理教学目标1.根据法则进行计算、根据四则运算的意义解决简单的问题2.结合数的相等关系、不等关系的传递性，体会关系推理思想3.结合简单的“数独”，体会选言推理思想4.逐步学会有根据、有条理地思考问题1.在几何图形的面积、体积公式推导的过程中，把归纳法和演绎推理结合起来，得出结论2.根据法则、公式、定律、性质等进行计算、解决问题3.能有条理、有根据地进行思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果4.培养说理的意识，学会简单的三段论推理
案例1：“三角形内角和”教学中的推理片段
第一环节：游戏导入，引发猜想
（1）课件出示三角形的一个角，猜猜是什么三角形？复习三角形的分类，认识三角形的“内角”。
（2）演示拉动三角形顶点，使高慢慢增长或缩短，观察：拉动过程中，三角形的三个内角会有什么变化？想象一下：不断上拉或下拉，内角会怎么样？在讨论中形成猜想：内角和可能是固定的，可能180度等。
结果显示，入院后6～12小时两组患者SAS、SCL-90、SDS和VAS评分差异均无显著性（P＞0.05），见表1～3；围手术期对患者进行心理护理后于出院前一天对两组再次进行心理评估，干预组SAS、SCL-90、SDS评分较对照组明显下降，差异有显著性（P＜0.05）；VAS评分差异无显著性（P＞0.05）。
（3）聚焦问题：如何来验证我们的猜想？
当下提笔，题目暂定《与往事干杯》。写完便请宝钗审阅，宝钗手指点腮，说，“你看如今的畅销书，春树那样的小孩都将两情相悦的细节描写得特真实，现在的读者，精着呢，你不全抖给他们，他们才不买账呢。”于是，宝玉又将如何相约乃至如何渐渐发展至深不能自拔，最后，写至动情处已欲罢不能，索性将黛玉前胸的一颗朱砂痣也写了进去。宝钗看了，又是咬牙，又是笑。几经修改，最后定好书名《我和林妹妹不得不说的事》。书的封面是黛玉送宝玉珍藏的一帧半裸体己照。并附红字介绍：本书情色炫然，描写大胆真实之类。
第二环节：操作实验，推理验证
（1）讨论用什么样的材料验证。三角形有无数个，对哪些三角形验证才能说明问题？得出按角分类的三角形作为研究材料，分类验证。
（2）讨论验证方法，学生先说说打算用哪些方法。
（3）小组合作探究。提供各种类型的三角形和几张长方形、正方形纸片。
艾瑞克走向赛场中央，他的动作很慢，双手抱胸，站到克里斯蒂娜身旁，轻声说了句：“抱歉，你刚才说什么？你投降？”
（4）全班交流汇报。①测量的方法，展示各种三角形测得的度数，讨论这种方法有什么问题？如何避免误差？
模型的可视化使得进度控制变得更加容易，对项目管理非常有利。在模型审查中，一些多专业交叉的问题会暴露出来，设计人员可以及时修改设计。仪表专业施工中发生概率较高的电缆槽板与管道碰撞等问题，通过三维建模和模型审查，完全可以在设计阶段发现和解决，从根本上杜绝了该类问题的发生。
②剪拼的方法。分别剪下三角形三个角拼成平角；折拼成平角的。
③初步推理。通过沿长方形对角线对折得到两个三角形，推理得到每个直角三角形的内角和。质疑：你怎么知道两个直角三角形完全相同？这样做证明了什么？锐角和钝角三角形不能像这样正好拼成长方形，它们的内角和是180°怎么来说明呢？学生结合图示验证：在三角形内作高，分成两个直角三角形验证。
（5）课件演示剪拼、推理过程，介绍发现这一规律的科学家帕斯卡。再用几何画板动态演示不同形状三角形内角度数，使学生感受到三角形内角和与三角形大小形状无关。
以上过程，提供充足的探究时间和材料，引导学生经历“猜想——操作——验证——再操作——再验证”的推理过程。第一环节的演示观察、形成猜想是合情推理的过程，第二环节的剪拼法则是演绎推理的过程。这样教学，学生不再停留于表面现象，而通过抓住转化为平角的本质，探索各类三角形的内角和规律。不仅呈现了知识发现与形成过程，更加关注由合情推理过渡到演绎推理，两者有机融合，促进和谐发展。
2.经历归纳推理到类比推理的过程
数学中归纳和类比往往相辅相成，经过归纳推理得到的结论需要进一步通过类比拓展运用。因此，教师既要注重新旧知识间的联系转化，又要让学生经历归纳到类比推理的过程，运用类比推理解决新问题，发现新规律，提高推理能力。
案例2：“多边形的内角和”教学片段
第一环节：探索四边形的内角和
（1）出示一个三角形，如果剪掉一个角，剩下的是什么图形？大胆猜想一下四边形的内角和是多少度？
五是通过微博推广。凭借内容短小、发布快捷的特点，微博成为互联网极具影响力的信息发布平台。微博运营门槛低、信息发布迅速，是乡村旅游推广的有效手段。
（2）验证猜想，解决问题
③为避免大坝中部面板（受压区）破坏，选择10条面板受压缝采用沥青杉板嵌缝充填，以嵌缝沥青杉板变形吸收挤压力，防止面板破坏。
①思考：我们学过的四边形有哪些？出示长方形、正方形、平行四边形、梯形等。你准备用什么方法验证你的猜想？（生：用量角器量；剪拼法；分割法。）
1.4疗效判定标准[2]患者PANSS减分率≥70%为痊愈;PANSS减分率在50%~69%为显著进步;PANSS减分率在30%~49%为好转;不满足上述标准者均视为无效,总有效率=(痊愈+显著进步+好转)/总例数×100%。
②小组合作，选择你喜欢的方式来验证。
③交流反馈：你们组是怎么研究的？得出什么结论？
（3）回顾与反思：刚才证明了四边形的内角和是360°，最好的办法是怎样的？把这个四边形分割成两个三角形，两个三角形的内角和为什么就是四边形的内角和呢？
第二环节：类推多边形内角和
（1）思考：如何求五边形、六边形的内角和？
（2）分析：多边形内角和与三角形个数有什么关系呢？是否存在规律？学生小组讨论，通过列表观察、推理，发现多边形边数与分割成的三角形个数之间的关系：多边形边数比三角形个数多2，即n边形可分为（n-2）个三角形，最终得出公式：n 边形的内角和=180°×（n-2）。
上述过程中，探究四边形内角和环节，学生自主猜想、用不同方法验证不同的四边形内角和，由特殊四边形到一般四边形，经历不完全归纳推理的过程，同时感悟转化思想，经历“再创造”。
在此基础上，借助探究四边形内角和的经验，运用“转化”策略，将多边形分割成若干个三角形，类比推理多边形的内角和，体验内角和公式的猜想与归纳过程，从而体会感悟归纳思想，实现思维能力的提升。
由于数学思想方法具有概括性和层次性，为避免数学思想方法教学在同一水平上反复，有必要根据学习内容的特点，围绕问题解决，理清内在的逻辑层次，把握好推理思想教学的层次性和差异性，经历自主探索问题、解决问题的过程，不断激发学生的创造潜能，锻炼学生逻辑思维能力。
1.经历“猜想——验证”过程，体现层次性
学生对数学思想的认识是在反复理解和运用中形成的，是一个低级到高级螺旋上升过程。因此，对同一种数学思想的体悟，应注意不同阶段的再现，甚至在一节课的不同阶段，呈现不同的层次与形式，强化对数学思想的理解。
案例3 人教版四下“三角形的三边关系”
第一环节：提出猜想，生成问题
通过“倒过来说”的游戏，引出一个挑战性问题——三条线段一定能围成一个三角形吗？
生1：能围成一个三角形。
生2：不一定能，当两条很短的线段和一条长的线段围起来时，不能围成。
生3：有的能，有的不能，要看线段的长度。
在教师的教学风格中，有的擅长于“情”，善于调动学生的情感，使学生爱学、乐学；有的擅长于理，通过符合逻辑性教学程序的安排和有很强逻辑性的讲述，使学生掌握知识和学会学习。据心理学研究，上述两种风格的教学都可以取得较好的效果。学生的学习有两个心理系统在起作用：一是动力系统，如兴趣、情感、动机；二是认识系统在起作用，如观察、记忆、思维、想象。善于煽情的，促使学生动力系统起作用；长于说理的，则促使学生认知系统起作用。在教学中，应力求把两者结合起来，形成混合型的风格。善于煽情的要学习有条理的讲述，靠逻辑的力量提高教学效率；善于“说理”的要努力激发学生的兴趣，调动学生的情感，使学生爱学、乐学。
师：三条线段到底能不能围成一个三角形呢？我们可以动手做一做来验证。
第二环节：操作感悟，发现规律
首先只提供两根吸管，让学生独立思考、操作，通过小组合作，展示交流两种围不成的情况。着重讨论“两条线段的和等于第三条”时，提供4、6、10 厘米的线段，让学生展开想象，通过课件演示来验证，发现“较短两条线段的和等于第三条时，围不成一个三角形”。
在此基础上，发现“较短的两条线段小于或等于第三条时，不能围成三角形”，“较短的两条线段大于第三条时，能围成三角形”，归纳得出：任意两条线段的和大于第三条，能围成一个三角形。
生：把左边3个2圈起来是6，在竖式中就是3和个位的2相乘，积得6，就在积的个位上写6，再把左边的3个十圈起来是30，在竖式中就是3和十位上的1相乘积是30，就在积中写30，再把两层积加起来，就是12乘3的积。
最后，“反过来说”得出“要围成一个三角形，必须任意两条线段的和大于第三条”的新猜想。
作为Lumix系列相机的全新旗舰，这台无反相机使用了一块4700万像素的全画幅传感器，机内防抖系统以及60fps的4K视频拍摄能力，XQD+SD双储存卡的设置则保证了数据储存的安全性。S1R是松下与适马以及徕卡结成联盟（详见右页）之后发布的第一款产品，使用的镜头卡口为徕卡L卡口。
第三环节：再次猜想，验证结论
追问：是不是任意一个三角形的三条边之间，都具有这样的关系呢？你可以想什么办法来验证？ 让学生通过画任意三角形、算一算等方法自主收集例证，进一步理解、验证规律。
上述过程，经历两次“猜想——验证——结论”的丰富而完整的不完全归纳的问题解决过程。在发现问题、研究问题、解决问题的过程中积累推理经验，锻炼逻辑推理的严谨性，促进学生思维水平的不断提升。
2.体验多种表征方式，体现差异性
学生之间的差异是客观存在的，教师应根据不同学生的认知特点，提供展示交流的机会，引导学生用多种方式表达问题解决的过程，展示各自的推理与思考过程，锻炼初步的推理能力。
案例4 人教版二下“数学广角——推理”例1教学片段
例1 猜书游戏中有3个条件——每人各拿一本书（共3 本），小红拿了语文书，小丽拿的不是数学书。为了帮助学生顺利梳理信息间的相互关系，可以用课件动态呈现“有语文、数学和品德三本书，下面三人各拿一本”，再分别出示小红和小丽所说的话，最后出示问题，引导学生分析题目的已知条件和问题。学生独立思考后，引导他们用自己喜欢的方式记录解决问题的过程。学生交流反馈：
生1：我是根据“小红拿的是语文书”先确定小红拿了语文书；根据“小丽拿的不是数学书”确定小丽拿了品德书，最后小刚拿的是数学书。
生2：我用的是连线方法得到的（参见图1）。
图1
生3：我是列表解决的（参见表4）。
表4
小红小丽小刚数学××√语文√××品德×√×
教师引导学生总结比较三种表征方法，学生发现用列表方法辅助推理，不但能把情境图中复杂的信息简洁、有序地呈现出来，而且能简化解决问题的思路，过程清晰，一目了然。三种表征方法都要抓住关键信息，有序分析，直到推出结论。
在巩固练习环节，为帮助学生学会不同策略解决问题，最后设计“接力比赛顺序”一题：明明、丁丁、小杰和小松代表班级参加接力比赛。明明说“我不是第一棒。”丁丁说“我不是第一棒，但是我也不是最后一棒。”小杰说：“我是第3棒。”你知道他们是怎么排的？
由于信息的增加，引发学生列表整理信息的内在需求，引导学生在比较中体会列表方法的价值，从而自觉地应用列表策略解决问题，为后续学习复杂推理问题奠定了基础，积累推理经验。
总之，推理思想的渗透与各领域知识的学习是一个有机结合的过程，这种渗透不是一朝一夕之事，需要“随风潜入夜，润物细无声”。教师要充分挖掘教材中蕴含推理思想的素材，让学生在掌握知识与技能的同时，感悟推理思想，发展思维能力，形成终生受用的数学思想方法，促进数学素养的不断提升。▲
参考文献：
[1]史宁中.数学思想概论：数量与数量关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2008.
[2][4] 曹思齐.数学推理能力研究综述[J].中学数学月刊，2018（1）：9-13.
[3] [6]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2011年版[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[5]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014.
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