高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十六 椭圆、双曲线、抛物线

专题十六　椭圆、双曲线、抛物线

1．已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y²＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.  B．4   C．3  D．5

答案： A　[易求得抛物线y²＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，即c＝3，故3²＝4＋b²，∴b²＝5，

∴双曲线的渐近线方程为y

＝±x，∴双曲线的右焦

点到其渐近线的距离为＝.]

2．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y²＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4 ，则C的实轴长为(　　)．

A.  B．2   C．4  D．8

答案：C　[抛物线y²＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，2)在等轴双曲线C；x²－y²＝a²(a＞0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.]

3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x²－y²＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　)．[来源:学|科|网Z|X|X|K]

A.＋＝1                B.＋＝1

C.＋＝1               D.＋＝1

答案：D　[因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c²＝a²，c²＝a²＝a²－b²，所以b²＝a²，即a²＝4b².双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x²＝b²，x＝±b，y²＝b²，y＝±b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b×b＝b²＝16，所以b²＝5，所以椭圆方程为＋＝1.]

4．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y²＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．

解析　直线l的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程得y²－y－4＝0，解得y_A＝＝2(y_B＜0，舍去)，故△OAF的面积为×1×2＝.[来源:Zxxk.Com]

答案　

圆锥曲线与方程是

高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择或者填空题，一个解答题．选择或者填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系．

复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧．

二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，向量与导数的方法来解决问题的能力.

必备知识

椭圆＋＝1(a＞b＞0)，点P(x，y)在椭圆上．

(1)离心率：e＝＝；

(2)过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，其长度为：.

双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，点P(x，y)在双曲线上．

(1)离心率：e＝＝；

(2)过焦点且垂直于实轴的弦叫通径，其长度为：.

抛物线y²＝2px(p＞0)，点C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)在抛物线上．

(1)焦半径|CF|＝x₁＋；

(2)过焦点弦长|CD|＝x₁＋＋x₂＋＝x₁＋x₂＋p，|CD|＝(其中α为倾斜角)，＋＝；

(3)x₁x₂＝，y₁y₂＝－p²；

(4)以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切，以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切．

必备方法

1．求圆锥曲线标准方程常用的方法

(1)定义法

(2)待定系数法

①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y²＝2ax或x²＝2ay(a≠0)，避开对焦点在哪个

半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义．

②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为＋＝1(m＞0，n＞0)．

双曲线方程可设为－＝1(mn＞0)．

这样可以避免讨论和繁琐的计算．

2．求轨迹方程的常用方法

(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程．

(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程．

(3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系．

(4)交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹．

注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.

圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是高考考查圆锥曲线的一个重要命题点，在历年的高考试题中曾多次出现．需熟练掌握．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例1】?已知椭圆＋＝1与双曲线－y²＝1的公共焦点F₁，F₂，点P是两曲线的一个公共点，则cos∠F₁PF₂的值为(　　)．

A.  B.  C.  D.

[审题视点]　

　

[听课记录]

[审题视点] 结合椭圆、双曲线的定义及余弦定理可求．

B　[因点P在椭圆上又在双曲线上，所以|PF₁|＋|PF₂|＝2，

|PF₁|－|PF₂|＝2.

设|PF₁|＞|PF₂|，解得|PF₁|＝＋，|PF₂|＝－，

由余弦定理得cos∠F₁PF₂＝

＝＝.]

 涉及椭圆、双曲线上的点到两焦点的距离问题时，要自觉地运用椭圆、双曲线的定义．涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化到抛物线的准线的距离．

【突破训练1】 如图过抛物线y²＝2px(p＞0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线与点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．

解析　

作BM⊥l，AQ⊥l，垂足分别为M、Q.则由抛

物线定义得，|AQ|＝|AF|＝3，|BF|＝|BM|.又|BC|＝2|BF|，所以|BC|＝2|BM|.由BM∥AQ得，|AC|＝2|AQ|＝6，|CF|＝3.∴|NF|＝|CF|＝.

即p＝.抛物线方程为y²＝3x.

答案　y²＝3x

圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容，主要考查椭圆与双曲线的离心率的求解、双曲线的渐近线方程的求解，难度中档．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例2】以O为中心，F₁，F₂为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足||＝2||＝2||，则该椭圆的离心率为(　　)．

A.  B.  C.  D.

[审题视点]　

　

[听课记录]

[审题视点] 作MN⊥x轴，结合勾股定理可

求c，利用椭圆定义可求a.

C　[过M作x轴的垂线，交x轴于N点，则N点坐标为，并设||＝2||＝2||＝2t，根据勾股定理可知，||²－||²＝||²－|

|²，得到c＝t，而a＝，则e＝＝，故选C.]

 离心率的范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到关于a，c的不等式，由这个不等式确定e的范围．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【突破训练2】 设抛物线y²＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,

2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．

解析　抛物线的焦点F的坐标为，线段FA的中点B的坐标为代入抛物线方程得1＝2p×，解得p＝，故点B的坐标为，故点B到该抛物线准线的距离为＋＝.

答案　

轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合，着重考查分析问题、解决问题的能力，对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例3】在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a>b>0)为动点，F₁，F₂分别为椭圆＋＝1的左、右焦点．已知△F₁PF₂为等腰三角形．

(1)求椭圆的离心率e；

(2)设直线PF₂与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF₂上的点，满足A·B＝－2，求点M的轨迹方程．

[审题视点]　

　

[听课记录]

[审题视点] (1)根据|PF₂|＝|F₁F₂|建立关于a与c的方程式．

(2)可解出A、B两点坐标(用c表示)，利用·＝－2可求解．

解　(1)设F₁(－c,0)，F₂(c,0)(c>0)．

由题意可得|PF₂|＝|F₁F₂|，即＝2c.

整理得2²＋－1＝0，

得＝或＝－1(舍)，所以e＝.

(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x²＋4y²＝12c²，

直线PF₂方程为y＝(x－c)．

A，B两点的坐标满足方程组

消去y并整理，得5x²－8cx＝0，解得x₁＝0，x₂＝c，得方程组的解

不妨设A，B.

设点M的坐标为(x，y)，则A＝，

B＝(x，y＋c)．由y＝(x－c)，得c＝x－y.

于是A＝，

B＝(x，x)．由题意知A·B＝－2，即

·x＋·x＝－2，

化简得18x²－16xy－15＝0.

将y＝代入c＝x－y，得c＝

>0，

所以x>0.

因此，点M的轨迹方程是18x²－16xy－15＝0(x>0)．

 (1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解．

(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．

【突破训练3】如图，动点M与两定点A(－1,0)、B(2,0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB.设动点M的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程；

(2)设直线y＝－2x＋m与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．

解　(1)设M的坐标为(x，y)，显然有x＞0，且y≠0.

当∠MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3)．

当∠MBA≠90°时，x≠2，且∠MBA＝2∠MAB，

有tan∠MBA＝，即－＝，

化简可得3x²－y²－3＝0.

而点(2，±3)在曲线3x²－y²－3＝0上，

综上可知，轨迹C的

方程为3x²－y²－3＝0(x＞1)．

(2)由消去y，可得

x²－4mx＋m²＋3＝0.(*)

由题意，方程(*)有两根且均在(1，＋∞)内．

设f(x)＝x²－4mx＋m²＋3，

所以解得m＞1，且m≠2.

设Q、R的坐标分别为(x_Q，y_Q)，(x_R，y_R)，

由|PQ|＜|PR|有x_R＝2m＋，x_Q＝2m－.

所以＝＝＝

＝－1＋.

由m＞1，且m≠2，有1＜－1＋＜7＋4 ，且－1＋≠7.所以的取值范围是(1,7)∪(7,7＋4 )．

在高考中，直线与圆锥曲线的位置关系是热点，通常围绕弦长、面积、定点(定值)，范围问题来展开，其中设而不求的思想是处理相交问题的最基本方法，试题难度较大．

【例4】?已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点．当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为.

(1)求a，b的值；

(2)C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

[审题视点]　

　

[听课记录]

[审题视点] (1)由直线l的斜率为1过焦点F，原点O到l的距离为可求解；(2)需分直线l的斜率存在或不存在两种情况讨论．设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由条件＝＋可得P点坐标，结合A、B、P在椭圆上列等式消元求解．

解　(1)设F(c,0)，当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0，O到l的距离为＝，故＝，c＝1.

由e＝＝，得a＝，b＝＝ .

(2)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立．由(1)知C的方程为2x²＋3y²＝6.设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

(i)当l不垂直于x轴时，设l的方程为y＝k(x－1)．

C上的点P使＝＋成立的充要条件是P点的坐标为(x₁＋x₂，y₁＋y₂)，且2(x₁＋

x₂)²＋3(y₁＋y₂)²＝6，

整理得2x＋3y＋2x＋3y＋4x₁x₂＋6y₁y₂＝6，

又A、B在椭圆C上，即2x＋3y＝6,2x＋3y＝6，

故2x₁x₂＋3y₁y₂＋3＝0.①

将y＝k(x－1)代入2x²＋3y²＝6，并化简得

(2＋3k²)x²－6k²x＋3k²－6＝0，

于是x₁＋x₂＝，x₁·x₂＝，

y₁·y₂＝k²(x₁－1)(x₂－1)＝.

代入①解得k²＝2，此时x₁＋x₂＝.

于是y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂－2)＝－，即P.

因此，当k＝－ 时，P，l的方程为x＋y－ ＝0；

当k＝时，P，l的方程为x－y－＝0.

(ⅱ)当l垂直于x轴时，由＋＝(2,0)知，C上不存在点P使＝＋成立．综上，C上存在点P使＝＋成立，此时l的方程为x±y－＝0.

 本小题主要考查直线、椭圆、分类讨论等基础知识，考查学生综合运用数学知识进行推理的运算能力和解决问题的能力．此题的第(2)问以向量形式引进条件，利用向量的坐标运算，将“形”、“数”紧密联系在一起，既发挥了向量的工具性作用，也让学生明白根与系数的关系是解决直线与圆锥曲线问题的通性通法．

【突破训练4】 设椭圆E：＋＝1(a，b＞0)过点M(2，)，N(，1)两点，O为坐标原点．

(1)求椭圆E的方程；

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由．

解　(1)将M，N的坐标代入椭圆E的方程得

解得a²＝8，b²＝4.

所以椭圆E的方程为＋＝1.

(2)假设满足题意的圆存在，其方程为x²＋y²＝R²，其中0＜R＜2.

设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)两点，当直线AB的斜率存在时，令直线AB的方程为y＝kx＋m，①

将其代入椭圆E的方程并整理得(2k²＋1)x²＋4kmx＋2m²－8＝0.

由方程根与系数的关系得

x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.②

因为⊥，所以x₁x₂＋y₁y₂＝0.③

将①代入③并整理得(1＋k²)x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝0.

联立②得m²＝(1＋k²)．④

因为直线AB和圆相切，因此R＝.

由④得R＝，所以存在圆x²＋y²＝满足题意．

当切线AB的斜率不存在时，易得x＝x＝，

由椭圆E的方程得y＝y＝，显然⊥.

综上所述，存在圆x²＋y²＝满足题意．

讲讲离心率的故事

椭圆、双曲线的离心率是一个重要的基本量，在椭圆中或在双曲线中都有着极其特殊的应用，也是高考常考的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率的值；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围．

一、以离心率为“中介”

【示例1】?(2012·湖北)如图，双曲线－＝1(a，b＞0)的两顶点为A₁，A₂，虚轴两端点为B₁，B₂，两焦点为F₁，F₂.若以A₁A₂为直径的圆内切于菱形F₁B₁F₂B₂，切点分别为A，B，C，D.则

(1)双曲线的离心率e＝________；

(2)菱形F₁B₁F₂B₂的面积S₁与矩形ABCD的面积S₂的比值＝________.

解析　(1)由题意可得a ＝bc，∴a⁴－3a²c²＋c⁴＝0，∴e⁴－3e²＋1＝0，∴e²＝，∴e＝.

(2)设sinθ＝，cosθ＝，＝＝＝＝e²－＝.

答案　(1)　(2)

老师叮咛：离心率是“沟通”a，b，c的重要中介之一，本题在产生关于a，b，c的关系式后，再将关系式转化为关于离

心率e的方程，通过方程产生结论.

【试一试1】A，B是双曲线C的两个顶点，直线l与双曲线C交于不同的两点P，Q，且与实轴垂直，若·＝0，则双曲线C的离心率e＝________.

解析　不妨设双曲线C的方程－＝1(a＞0，b＞0)，则A(－a,0)，B(a,0)．设P(x，y)，Q(x，－y)，

所以＝(a－x，－y)，＝(x＋a，－y)，

由·＝0，得a²－x²＋y²＝0.

又－＝1，所以－＝1，

即y²＝0恒成立，所以－＝0.[来源:学科网]

即a²＝b²，所以2a²＝c².从而e＝.

答案　[来源:学科网]

二、离心率的“外交术”

【示例2】已知c是椭圆＋＝1(a ＞b＞0)的半焦距，则的取值范围是(　　)．

A．(1，＋∞)            B．(，＋∞)[来源:学,科,网]

C．(1，)                D．(1， ]

解析　由＝＝＋e，又0＜e＜1，设f(x)＝＋x,0＜x＜1，则f′(x)＝1－＝.令y′＝0，得x＝，则f(x

)在上单调递增，在上单调递减，∴f(x)_max＝＋＝，f(0)＝1，f(1)＝1.∴1＜f(x)≤，故1＜≤.

答案　D

老师叮咛：离心率“外交”在于它可以较好地与其他知识交汇，本题中，如何求\f(b＋c,a)的取值范围？结合离心率及关系式a²＝b²＋c²，将待求式子转化为关于e的函数关系式，借助函数的定义域(即e的范围)产生函数的值域，从而完成求解.

【试一试2】 (2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．

解析　由题意得m＞0，∴a＝，b＝.

∴c＝，由e＝＝，得＝5，解得m＝2.

答案　2