纯数学是逻辑概念的诗篇。人们寻求操作的普遍概念，它能以一个简单的、逻辑的、统一的形式把尽可能多的形式关系汇集到一起。在寻求逻辑美的这个努力中，人们发现了更深刻理解自然定律所需的精神处方。
——爱因斯坦纪念艾米·诺特
假设我随意挑选两个数字。我不会告诉你它们是什么数字，而把它们称为 A 和 B。如果我问你它们的和（A + B）是多少，可是你不知道 A 和 B 是什么数字，因此无法告诉我答案。但是你可以告诉我一件很重要的事情：答案会是个数字。这或许显而易见，但事实上它告诉我们一件关于数字的重要事情。任何两个数字相加都会得到一个数字。这是因为数字在加法运算下会形成所谓的“群”。
△ 矢量相加会得到另一个矢量。（图片来源：One Universe at a Time）
在物理科学中，有许多东西都是群，并且有实际的物理含义。例如，矢量在加法运算下就是群，把几个矢量相加，得到的答案也将是矢量。由于力是矢量，如果把几个施加在一个物体上的力全部加起来，就会得到决定物体如何运动的总力或净力。牛顿的运动定律就依赖于一个简单的事实：矢量是一个群。
基本上，一个群可以是任何东西（数字、矢量等等）的集合，并且这些东西可以跟一些数学运算（加法、乘法等等）相联系。当然，要成为一个群就必须服从一些特定的规则，但关键在于群的成员在它们的运算下是如何联系在一起。虽然我们说数字或矢量是群好像很好理解，但群的概念实际上更加抽象。举个旋转的例子。
△魔方的旋转也可以产生一个群。（图片来源：One Universe at a Time）
旋转可以产生一个群，一个旋转的组合等同于另外旋转的组合。一个代表性的例子就是魔方。如果有人把一个魔方随机转动打乱，在你不知道他旋转的步骤下，你也可以用不同的旋转方法将魔方还原。魔方之所以有解正是因为魔方的旋转形成一个群。你用来还原魔方的旋转的组合等同于原来打乱魔方的旋转的组合。
当你去观察在一个群内相同的东西类型的时候，事情变得越来越有意思。举个例子，在地球上，利用经度和纬度就可以确定地表上某点的精确位置。经度是通过测量其从本初子午线向东或向西经过的角度得到的，而纬度的范围则从赤道的0度到南北极的90度。但假设我们利用一个不同的参考系。我们不用赤道，而是用另一个绕着地球的圆。我们依旧使用原来的纬度和经度，因为比较方便，但我们也可以使用任何其它的坐标系统。事实上，由于我们总是可以从一个坐标系统转移到另一个，因此所有可能的坐标系统的集合就是一个群。如果我们从原来的坐标系转移到一个新的，那么我们的“纬度”和“经度”就会改变，但是在地球上任意两个点的距离都不会改变。在数学上，我们可以说在坐标变换下距离是不变的。
△ 艾米·诺特将守恒定律和对称性联系了起来。（图片来源：PI）
这些不变量跟群的对称性有关。在物理上，对称性就是改变系统的一部分而保持整体一致的能力。举个例子，想象一下你站在一个完美、且无限延伸的平坦表面上。如果你闭上眼睛，并向前走一步，然后打开你的眼睛，你会发现没有任何改变。你的确向前了一步（一个改变），但表面看起来并没有任何改变（对称性）。这就是所谓的平移对称性。换句话说，物理定律不随空间中的位置而变化，它在这里、哪里、任何地方都是一样的。数学上，这意味着一个物体的线性运动在位置改变的情况下保持不变。在物理上这就叫做动量守恒。
因此，自然界中的对称性和守恒定律被联系起来了！！！而将这两者联系在一起正是艾米·诺特，她可以说是史上最具深刻洞见的数学物理学家。
△ 艾米·诺特（1882 - 1935）。在20世纪初的德国，如果妇女想要接受高等教育会受到巨大阻力。当时有地位的学术界人士认为大学接受妇女就相当于一个“道德上软弱的可羞展示”。但艾米·诺特经过坚持终于获得博士学位。不过她无法再获得任何学术职位，虽然大名鼎鼎的数学家希尔伯特在意识到她的能力之后尝试为她取得无报酬讲课的权利，但失败了。即使她做出了如此重要的贡献，但在她的一生中，这个世界没有给她任何东西，除了障碍。（图片来源：PI）
艾米·诺特利用群论的数学展现了在群中每一个描述一个物理现象的对称性都跟一个守恒量相联系。因此，平移对称性就意味着线性动量的守恒。角动量守恒则是源于旋转不变性。能量守恒（跟时间对称性联系）和电荷守恒（跟规范对称性相关），以及电场和磁场间的联系，都是群对称性的结果。这个关系被称为诺特定理。诺特告诉我们的是在宇宙中所有守恒量的存在之所以存在是因为在群这个抽象的数学概念中存在着对称性。某些最优美、最强大的数学跟宇宙如何运作有着深层的物理联系。数学不仅仅只是描述围绕我们的世界。数学中最基本的联系描述了物理过程的基本原理。
△ 对于每个局部作用下的可微对称性，存在一个对应的守恒流。
徐一鸿在《可畏的对称》一书中所写道：
能量、动量和角动量守恒是在物理学中最先学习到的定律。它们支配物理宇宙中一切物体的运动，从星系的碰撞到原子中电子的旋转。曾有很多年，我没有去问这些守恒定律从何而来；它们好像如此基础，不需要解释了。后来我听到诺特的定理，印象非常深刻。这些基础的守恒定律原来是基于物理在昨天、今天、明天，这里、哪里、任何地方，东、西、南、北是完全一样的假设，就像爱因斯坦所说，这个启示对我而言完全是属于精神范畴的。
在我成为物理学家的这些年中，这一个启示属于最难忘怀的。我一直为人类理智理解宇宙的能力所触动，但遇到像诺特这样真实的远见也不是经常的。这样的远见使我快乐、敬畏而又感动，因为作为绝对真理，它们即深刻又简单。但另一方面，作为物理学家，我并不认为原子核和晶体在这样或那样条件下的性质本身多么有趣。在对宇宙的唯象性的感知中，这一代人认为有趣的，下一代人兴趣就小了。这一代基础物理学家已经认为，二十年前粒子物理的奇妙发现是，用爱因斯坦的话说，“这样或那样的现象”。但对称性和守恒定律之间的联系却是永存的。
爱因斯坦认为诺特是数学史上最重要的女性。她的工作彻底改变了我们理解物理理论的方式。如果你下次阅读到关于宇宙暴胀的发现、寻找超对称粒子、或者一切跟万有理论相关的进展，都应该想到艾米·诺特，她的定理是所有这些理论的核心概念。诺特定理不仅改变了我们看待宇宙的方式，同时也告诉了我们，在理解宇宙时，数学的真正威力。
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