弯扭组合变形问题的计算

下面是去年期末考试中关于弯扭组合变形的强度校核的计算题。
【问题】
空心圆杆AD和BC焊接成整体结构，结构及受力如图所示。AD杆的外径D=140mm，内外径之比

X，材料的许用应力[s] =160MPa。试用第三强度理论校核AD杆的强度。

 
 
 
 
 
 
 
 
【问题分析】
对于这种问题，首先要弄清楚的是，研究对象是谁。
题目中最后一句话说，“试用第三强度理论校核AD杆的强度 。”，因此AD杆才是我们的研究对象。
所以，凡是不是直接作用在AD杆上的力，都要通过力的平移定理或者滑移定理转移到AD上去。而且是转移到AD杆的轴线上。
这里有两个主动力，其中15KN是作用在AD的轴线上，而10KN是作用在BC上。
所以处理这个问题的第一步，就是把10KN平移到B点，然后就不用管BC这根杆件，只是集中精力计算AD就好。
把所有力都转移到AD上后，看看都有些什么外力。
如果外力垂直于轴线，那么它会导致弯曲；
如果外力沿着轴线，会导致拉伸压缩；
如果有力偶。力偶矩矢量的方向沿着轴线，那么，它导致扭转。
此时，需要把原受力图分解成弯曲，扭转，拉伸压缩的受力图。
然后对于各个受力图分别计算外力，并绘制内力图。
内力图绘制出来以后，对比几个内力图，确定危险截面。
然后，直接按照圆形截面的第三强度理论公式来校核。
下面具体说明此问题。
【问题求解】
首先把不在AD杆上的力10KN平移到B点，按照力的平移定理，在B点的力，除了有10KN以外，还要附加一个力偶，该力偶的大小是10*0.8=8(kN.m),如下图。

现在把该外力图分解。垂直于轴线的10KN，15KN两个力导致弯曲；而8KN.M导致扭转。从而得到两个基本的外力图如下。

现在先计算弯曲。目的是找到弯曲变形的危险截面。
首先根据理论力学的静力学方程计算A点这个固定端的反力如下。

然后基于上述计算结果，应用简易法绘制内力图。

然后考察扭转变形。它很简单，AB段被扭转，而BD段则没有变形。

现在对比上述两组内力图，我们明白了，危险截面是A截面，该截面的弯矩和扭矩分别是

现在计算圆截面发生弯扭组合变形时候的第三强度理论的计算应力

由于

显然，

所以AD杆是不安全的。（算错了吗？请大家自己算一遍，如果算错了，及时通知我。）
【小结】

• 每次期末考试的组合变形基本上都是圆杆的弯扭组合。
• 对于组合变形问题，首先要确定的是研究对象。研究对象一定是一根杆件，或者轴什么的。如果在轴上有齿轮，链轮，带轮等，务必注意，它们肯定不是我们的研究对象。
• 请务必把作用在研究对象之外的其它物体上的力使用力的平移定理全部移到研究对象的轴线上去，一旦把主动力移动到研究对象的轴线上后，除了研究对象外的齿轮，带轮，链轮等，一律拿走，只考虑杆件及上面的作用力。
• 对于该杆件及上的主动力，可以拆开成为几个受力图。每个受力图分别是弯曲变形，扭转变形和拉压变形。
• 对于每一种简单变形分别绘制其内力图。从几个内力图的比较中可以知道危险截面的位置及其上弯矩和扭矩的大小。
• 一旦知道危险截面的弯矩和扭矩后，立即使用公式来计算，而不要再做应力状态分析，求主应力等这些步骤。因为公式本身就是这些步骤的最终结果。
• 弯扭组合每次都是丢分最多的一道题。实际上，弄清楚以后相当简单。无非就是把一个复杂的变形拆分成为几个简单变形，得到内力后，立即代公式而已，并不存在什么技巧。