为什么样本标准差使用被称为自由度的n-1

自由度的定义：

“自由度（degrees of freedom）”指的是，在一定的约束条件下，样本所能提供的独立的信息的个数。

考虑样本量为n的样本（n个数），如果我们知道样本均值，那么我们只需要知道前n-1个数，就可以得知全部信息，因为最后一个数可以借助均值计算得出。所以，在给定样本均值（约束条件）的情况下，我们相当于在原本n个数的基础上消减了一个自由度，样本提供的信息只有n-1个独立的部分。

当样本数据的个数为n时，若样本平均数 x拔 确定后，则附加给n个观测值的约束个数就是1个，一次只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据不能自由取值。按照这一逻辑，如果对n个观测值附加的约束个数为k个，自由度则为n-k。例如假设样本有3个值，即x1=2,x2=4,x3=9,则当 x拔 =5确定后，x1、x2、x3只有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6,x2=7,那么x3必然取2，而不能取其他值。

样本方差自由度为什么为n-1呢，因为在计算离差平方和 ∑(xi -x)2 时，必须先求出样本平均数 x拔，而 x拔 则是附加给 ∑(xi -x)2 的一个约束，因此，计算离差平方和时只有n-1个独立的观测值，而不是n个。