全等三角形常见模型总结

模型一　平移型

图形特点：沿同一条直线平移可得两三角形重合 .

【例题1】如图，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB.

求证：∠F＝∠C.

第1题图

证明：

∵ DA＝EB，

∴ DA＋AE＝EB＋AE，

∴ DE＝AB.

在 △DEF 和 △ABC 中，

EF＝BC，DF＝AC， DE＝AB ，

∴ △DEF ≌ △ABC ( SSS )，

∴ ∠F＝∠C.

模型二　翻折 ( 对称 ) 型

图形特点：沿公共边或者公共顶点所在某条直线折叠可得两三角形重合 .

【例题2】如图，∠A＝∠D＝90°，∠OBC＝∠OCB，AC、BD 相交于点 O .

求证：OA＝OD.

第2题图

证明：

∵ ∠OBC＝∠OCB，AC、BD 相交于点 O，

∴ OB＝OC，∠AOB＝∠COD，

在 △AOB 和 △DOC 中，

∠A = ∠D，∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，

∴ △AOB ≌ △DOC ( AAS )．

∴ OA＝OD.

模型三　旋转型

图形特点：共顶点，绕该顶点旋转可得两三角形重合 .

【例题3】如图，在 △ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD 是斜边 BC 上的高，点 E 为 AB 边上 一点，连接 ED，过点 D 作 DF⊥DE 交 AC 于点 F.

求证：△BDE ≌ △ADF.

第3题图

证明：

∵ ∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，

∴ ∠B＝∠DAC＝45°，BD＝AD.

又 ∵ DE⊥DF，

∴ ∠BDE＋∠EDA＝∠ADF＋∠EDA＝90°.

∴ ∠BDE＝∠ADF.

∴ △BDE ≌ △ADF ( ASA )．

模型四　组合型 ( 平移＋折叠、平移＋旋转 )

图形特点：将其中一个三角形平移至与另一个三角形对应顶点重合，然后两三角形可关于这点所在直线对称变换后重合或者绕该顶点旋转后重合 .

【例题4】如图，D 是 AC 上一点，AB＝AD，DE∥AB，∠B＝∠DAE .

求证：BC＝AE.

第4题图

证明：

∵ DE∥AB，

∴ ∠CAB＝∠EDA，

在 △CBA 和 △EAD 中，

∠B＝∠DAE，AB＝AD，∠CAB＝∠EDA，

∴ △CBA ≌ △EAD ( ASA )，

∴ BC＝AE.

模型五　三垂直型

图形特点：已知三个直角，相等的线段 .

【例题5】如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BD＝BC，CE⊥BD 于点 E.

求证：AD＝BE.

第5题图

证明：

∵ AD∥BC，∠ABC＝90°，

∴ ∠ADB＝∠DBC，∠A＝∠ABC＝90°.

∵ CE⊥BD，

∴ ∠BEC＝90°，

∴ ∠A＝∠BEC＝90°.

∵ BD＝BC，

∴ △ABD ≌ △ECB ( AAS )．

∴ AD＝BE.